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1、量子光学第一讲、 经典电磁场的量子化问题 （part I）Dr. Shutian Liu HIT2简介?量子光学的地位?量子光学的发展?量子光学的领域范畴?光场的量子统计性质?光与物质相互作用的微观理论?现代光学领域研究的三大特点?相干性?非线性?量子性Dr. Shutian Liu HIT3参考书目1. 郭光灿,量子光学, 高等教育出版社, 1990.2. 彭金生, 李高翔, 近代量子光学导论, 科学出版社, 1996.3. W. H. 路易塞尔, 辐射的量子统计性质, 科学出版社, 1982.4. M. O. Scully, M. S. Zubairy, Quantum Optics, C
2、ambridge University Press, 1997.5. D. F. Walls, G. J. Milburn, Quantum Optics, Springer-Verlag, 1995.6. P. Meystre, M. Sargent III, Elements of Quantum Optics, Springer-Verlag, 1992.7. C. W. Gardiner, P. Zoller, Quantum Noise, Springer, 2000.Dr. Shutian Liu HIT4经典电磁场?Maxwell 场方程 0,0,.tt= =BBEDDH0000
3、21,c =BH DE引入电磁场的矢势和标势来求解电磁场，令A( )V r( ),.Vt= = BAAErDr. Shutian Liu HIT5经典电磁场利用矢势和标势表示电磁场的目的是将场矢量和用一个变量表 示。一般矢势和标势通过某些规范可与场量和一一对 应。对于库仑规范，要求：EB A( )V rEB0=A将场分解成横向场和纵向场两部分，后者只与标势有关，在无 源空间中，标势( )Vr ( )0V=r 无源场只是电磁波的横向场部分，由唯一地确定A( )0,0,0.Vt= = =BHAAAEr2 2 2210.ct=AA()()2 = AAADr. Shutian Liu HIT6电磁场按
4、简正模展开考虑一个由理想导电面包围的光腔，体积为，电磁场限于其中。边 界条件为：在腔面上的切向分量和的垂直分量为零。该边界条件 决定了场具有无限多个本征的简正模解，满足EBV( )( )llE rH r，2200ll llllllllllcc kk=+=+=EHHEEEHH22，llkc=无限多个分离的简正模集和彼此独立且相互正交。lElH,.lllllllldVdV= EEHHDr. Shutian Liu HIT7电磁场按简正模展开简正模构成一个函数空间，腔内电磁场可表示为本征模式的叠加()( )( )()( )( )001,1,.ll llll ltp ttq t= = E rErH r
5、H r简正模描述了光腔内电磁场存在的空间分布，不随时间变化，也不因 腔内是否有电磁场而变化。所以上述表达式中展开系数和 唯一地确定了腔内电磁场的状态。因此展开系数集因此展开系数集( )lp t( )lq t( )( ),llp tq t是表征腔内电磁场的动力学行为的变量。是表征腔内电磁场的动力学行为的变量。带入Maxwell 方程得到第 个简正模振幅满足的方程20,.lllllppqp+=?Dr. Shutian Liu HIT8电磁场按简正模展开( )()( )( )()( )00,.llVllVlp ttdVq ttdV = =E rErH rH r腔内所含的电磁能量为展开系数：()()2
6、2 002221 2 1 2cVllll llHdVpqH=+=+=HEcH()2221 2llllHpq=+频率为的一个谐振子的能量l腔内的电磁场可视为一组无耦合的离散的辐射振子（谐振子）的无穷 集合，用或标记第个谐振子。llklDr. Shutian Liu HIT9电磁场按简正模展开第 个谐振子的哈密顿运动方程为l2,.ll ll lll l ldpHqdtq dqHpdtp= = =因此，和可以成为电磁场的正则共轭变量。电磁场中所有问题都 可以通过动力学变量来描述。还可以写成对称形式，定义复数共轭变 量和，则lplqla* la()()*1,2 1.2llll lllll laqipa
7、qip=+=?()()*,2.2lll ll lllqaapaa=+= ?Dr. Shutian Liu HIT10电磁场按简正模展开谐振子的运动方程用复数共轭变量表示为* *,.l lll lldai adt dai adt= =( )( )( )( )*0,0.llit llit lla taeatae= 电磁场的总能量()*1 2clllll lHaaa a =+?小结：小结：导体表面光腔边界条件简正模展开离散化电磁场无穷多个简谐振子集合（不同频率的谐振子）Dr. Shutian Liu HIT11自由空间中电磁场的行波展开光腔当中的电磁场为驻波模式，由于边界条件的限制，其模式本身便 已
8、经离散化了，电磁场自然处在分离模状态。 自由空间中电磁场模是平面行波场，模的空间分布是连续的。2 2 221( , )( , )0,ttct+=E rE r()() exp.keitk r该方程有如下形式的解222/kkc=k k为偏振方向上的单位矢量（1或2表示两个偏振方向，相互垂直并 垂直于） e k0e=k横场条件：自由空间中的场模为连续无穷多变量场模。 如何离散化行波场？如何离散化行波场？Dr. Shutian Liu HIT12自由空间中电磁场的行波展开引入归一化体积：边长为的立方体。与光腔的不同点：不存在任 何真实的边界条件；立方体内电磁场仍是行波模。行波场满足如下周 期性边界条件
9、：L()()()(),tL tL tLt=+=+=+E rE riE rjE rk附加限制不影响电磁场状态，当趋于无穷大时，该条件消失。此边 界条件限定波矢只能取如下分离值L k123222, , 0,1,2,.(1,2,3)xyzilllkkkLL li= =()1232lllL=+kijkL或者写成Dr. Shutian Liu HIT13自由空间中电磁场的行波展开对于每个整数集，存在两个行进方向相反的行波模，关系如 下：()123, ,l l l, llll= =kk模密度：模密度：坐标空间内单位体积含有的每个模的数目。22/kdkk dk=k222/ddc=波矢 空间中形式频率空间中的
10、形式k令行波本征模为 ( ),i ke e=k rur同样，行波的本征模间是正交的( )( )* .kkkkVdV =urur其中为立方体的体积。归一化体积3VL=Dr. Shutian Liu HIT14自由空间中电磁场的行波展开电场按行波本征模展开()( )( )1/2,0,2iik kk ktie at ebt eV =+k rk rE r?由于电场为可观测量，其值为实数，量子力学中算符为厄米 算府，所以要求(),tE rE()()*,tt=E rEr* kkba= ()( )( )1/2*,0,2iik kk ktie at eat eV =k rk rE r?系数为归一化因子，确保由
11、平面波表示所导出的哈密 顿量与光腔中电磁场的哈密顿量相同。1/2,02kkieV ?Dr. Shutian Liu HIT15自由空间中电磁场的行波展开磁场同时垂直于和，且和的振幅比值为，则 磁场的展开为(),tH rk eEH00 ()()( )( )1/2*,0,2iik kkk ktiat eat eV =k rk rH ree?立方体内电磁场总能量为()()()22 00 ,222,11 22 1 2ckkkkkVkkkk kdVa aa apq +=+=+=+EHH?因此：（1）电磁场中每个平面行波模对应于一个辐射振子；（2）电 磁场的总能量等于所有辐射振子的能量和，（3）电磁场的状
12、态由共轭 量描述。( )( ),kkptqtDr. Shutian Liu HIT16自由空间中电磁场的行波展开场的哈密顿方程为2,. kc kk kc kk kdqpdtp dpqdtq = = = HH当立方体体积时，离散的求和将化为积分V ()3/2,1 2kdk归一化关系化为()( )( )()* 3/212kkurur dV=kk其中为狄拉克函数。()kkDr. Shutian Liu HIT17自由空间中电磁场的行波展开Summary: 自由空间电磁场表达式汇总如下()( )( ),0,2ii kkk kktat eat eV +=+k rk rA re?()( )( )()()(
13、)(),0,2,iik kkk ktiat eat eVtt +=+k rk rE reErEr?()( )( ),0,()2iik kkk ktiat eat eV +=k rk rH ree?Dr. Shutian Liu HIT18单模电磁场的量子化?量子化程序1、用共轭变量写出经典哈密顿量，给出正则方程,iip qcH,.c i ic i iqppq= = HH?2、从经典力学到量子力学过渡，要求共轭变量和变为算符并 满足对易关系ipiq,.ijijq pi =?3、求解薛定鄂方程，波动方程为.it=H ?Dr. Shutian Liu HIT19单模电磁场的量子化?物理量与算符厄米算
14、符：，所代表物理量为实数，即可观测量；OO+=非厄米算符：，代表的物理量为不可测量的，经典物理学中用 复数表示。OO+代表场量的物理量，如，等均化为算符，它们是共轭变量 和的函数，他们的对易关系可以从推导出来。AEHp q特别重要的算符为和，在量子光学乃至量子力学中都是非常重 要的算符aa+()()1 2 1 2aqipaqip+=+=?Dr. Shutian Liu HIT20单模电磁场的量子化算符和具有如下简单的对易关系aa+,1.a a+=满足这种对易关系的算符为玻色算符玻色算符，对应的粒子为玻色子玻色子习题1：根据证明对易关系 , q pi= ?,1.a a+=习题2：将单模驻波场相关算符写成和的函数形式。()()( )()( )()00,22 1,22.2qaapiaaa aiaaaa +=+=+=+EE rHH rH?aa+量子光学第一讲、 经典电磁场的量子化问题 （part II）Dr. Shutian Liu HIT2单模电磁场的量子化?物理量与算符厄米算符：，所代表物理量为实数，即可观测量；OO+=非厄米算符：，代表的物理量为不可测量的，经典物理学中用 复数表示。()OO+代表场量的物理量，如，等均化为算符，它们是共轭变
