《基于数学核心素养下自然生成的公式教学研究——以“两角差余弦公式”教学设计为例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《基于数学核心素养下自然生成的公式教学研究——以“两角差余弦公式”教学设计为例（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 4 福建中学数学 2 0 1 7 年第5 期 涉及三角形内角平分线的欧拉不等式的加强 方细贤 福建省漳州市实验中学 ( 3 6 3 0 0 0 ) 设 A A B C的三边为 a ， b ， C，外接圆和 内切圆半径 分别为 ，r，则有不等式 R 2 r，此即欧拉不等 式文 1 中安老师提出欧拉不等式的一个改进形式 文 2 中则给出类似于上述不等式 且涉及三角形高与中线的欧拉不等式的加强，结论 如下 ： 结论 I设 c三边a ， b ， c 上的高分别为Jlz ， ，h c ，外接圆和内切圆半径分别为 R ， r，则 + 嘭+ + + 结论 2设 A A B C三边 a ， b ， c上的
2、中线分别为 m ， m b ， 。 ，外接 圆和 内切圆半径分别为 R ， r，则 杰 生 口 6+ 6 c+ c 口 本文建立类似于上面三个不等式且涉及三角形 内角平分线 的欧拉不等式的加强 结论 3设A , B C三边长为 a ， b ， C ， ， ， 为 A A B C的内角平分线，外接圆和内切圆半径分别为 ， ， 则 生 ， 十 十 结论 3的证明需要如下引理 引理f ， W ， w c 为 B c的内角平分线 ， s ， S分 别为半周长与面积 ， 则 + + ， + w c + W c W a 3 结论 3 证明 由引理只需证明 ， 又 S= r， 故只需证明 _3 4 3 R，
3、 由于 s 4 R +4 R r + 3 r ( Ge r r e s t s e n不等式) ， 则只需证明4 ( 4 R + 4 R r + 3 r ) 2 7 R ， 等价于证明( 1 1 R+6 r ) ( R一2 r ) 0， 此为显然，故结论 3 成立 参考文献 1 】 安振平 外森比克不等式的再探究 J 中学数学教学， 2 0 1 5( 2 ) ：6 1 6 2 2 宿晓阳涉及三角形高与中线的欧拉不等式的加强 J 中学数学教学 ， 2 0 1 6 ( 3 ) ：5 2 3 何灯 ，田芳松 欧拉不等式的一个加强猜想的验证 J 福建中学数学 ， 2 0 1 6 ( 6 ) ：9 4
4、匡继昌 常用不等式 ( 第 4版) M 济南 ： 山东科学技术出版社 ， 2 0 1 0 基于数学核心素养下自然生成的公式教学研究 以“ 两角差余弦公式” 教学设计为例 陈景文 杜成北 福建省泉州市第七中学 ( 3 6 2 0 0 0 ) 数学公式教学是数学教学中重要的一个环节 ， 它 以公 式 为教 学载体 ，教 学 中注重 公式 生成运 用 在数学教学实践过程中，我们发现当下很多教 师不注重公式的生成性教学 ， 不以公式教学为载体 培养学生的核心素养 ，公式教学停留在浅层 ，无法 使公式来源 自 然、 流畅， 学生不知道公式来龙去脉， 只是强记盲用 ，不得其本质 那么，该如何才能使公式教学
5、自 然、合理， 从 而促进学生发现 问题、分析 问题、解决问题能力的 提升 呢?本文着重 以培养 学生数学学科核 心素养 为视角，探究数学崭新的公式教学模式 ， 让教学更 加合理、自然、顺畅 1核心素养下的自然生成公式教学界定 核心素养下 的 自然生成公式教 学是指在高 中 数学公式的教学中，以数学核心素养为引领 ，通过 实践- 认识- 论证一 运用等环节，运用问题串引领思 维，促成学生对公式及论证公式方法的自然生成 ， 熟知公式的结构特征， 巧妙记忆公式， 灵活应用公 2 0 1 7 年第5 期 福建中学数学 2 5 式，学会抓住公式的本质 ，正用逆用公式，以巧妙 的“ 活” 用公式代替生硬
6、的“ 套” 用公式 2例谈核心素养下的自 然生成公式教学运用 以高中数学人教 A版必修 4第三章第一节 两 角差 的余弦公式 教学设计为实例 ， 诠释公式教学 2 1数据分析与数学建模素养下的公式猜想自 然生成设计 在 两角差的余弦公式 的教学中，公式猜想 如何 生成甚为重要 问题 1我们在初中时就知道c o s 4 5 。 = ， c o s 3 0 。 Z = ，由此我们能否得到c o s l 5 。 = c o s 4 5 口 _ c o s 3 0 。 若 Z 不能 ，则 C 0 S ( 一 ) 等于什么呢? 设计意图 本小环节由简单的数学知识为背景 素材抛出新知识 ，欲引发学生的疑惑
7、 ，唤起学生解 决问题的兴趣 ，从而引出本节课主题 接下来一个环节的设计，我们摒弃直接“ 空降” 两角差公式， 而用若干个数据从等式两边验证其等 式的正确性的做法， 并选用小组合作猜想公式的方 法 具体设计如下 ： 问题 2 ( 学生活动预设： 小组讨论) 我们大胆 设想 C O S ( 一 ) 的值与 ， 的三角函数值有一定 关系 ，从特殊角出发 ，请用计算器探索 ： c o s ( 4 5 3 0 。 ) 与 c o s 4 5 。 = ，c o s 3 0 。 = ， Z 1 s in 4 5 。 = ，s i n 3 0 。 = 去 的关系； 1 c o s ( 6 0 口 _ 3 0
8、 。 ) 与C O S 6 0 。 = ，c o s 3 0 。 = ， 1 s in 6 0 。 = ，s i n 3 0 。 = 去 的关系； ， 与 口 的关系 ； 你发现到什么?大胆猜想C O S ( 一 ) 的结果 设计意图 本小环节体现数学公式源于特殊到 一般， 通过数学实验、数据分析， 建立初步的数学 模型， 让学生自主探索、大胆猜想、验证结果并不 断改进 ，达到培养学生实验能力及总结问题能力 从公式猜想自 然生成这一环节设计中， 我们猜 想 C O S ( a一 ) 的值与 ， 的三角函数值关联而数 学建模 ，对公式教学具有重要作用，它是构建 生活 实际与数学问题的纽带， 让公
9、式来源自然 数学建 模渗入公式教学过程中， 学生能够累积用数学建模 解决疑难问题的宝贵经验， 提升自身应用能力， 增 强 自身创新品质 学生小组数据分析在公式猜想中 的作用是弥足珍贵的，有些教师怕教学过程繁琐、 浪费教学时间而省略些步骤 ，这样是不可取的 原 因有二， 一是在当今大数据时代， 对数据中信息进 行有效分析和推断，形成知识的自然生成过程 ，已 经深入到现代社会 生活和科学研究的各方面 ； 二是 小组合作发现公式规律 ， 更能让学生体会合作交流 意义 2 2直观想象与逻辑推理素养下公式论证 自 然 生成设计 对 于 C 0 S ( a一 ) =C O S aC O S + s i n
10、 s i n 的 论 证 ，就学生而言 ，它是抽象的 ，怎样运用教学理论 设计论证过程呢? 问题 3介绍 “ 算两次”原理 ( “ 算两次” ， 是一 种重要的数学方法 ，也称做富 比尼原理 它把同一 个量 以两种不 同的方法表示出来” ，即将一个量“ 算 两次” ) 等式左边要论证， 同学们， 你会想到什么? 设计意图 引入算两次原理，为证明两角差的 余弦公式提供论证方法 ，教师做到有效引导 由于 学生已熟练掌握三角函数线 ，从最近发展区出发， 学生较容易知道论证 的方法应 回归三角函数定义 ， 转化为用三角函数线表示 问题 4设 ， 为锐角， 且 ， 对于等式 右边论证 ，如何构造 C O
11、 S c o s fl+ s i n s i n fl中的三 角函数线 ?如何用线段分 别表 示 s i n 和 C O S ? C O S C O S ，它表示哪条线段长? s i n s i n ，它表 示哪条线段长?等式 的左边能 等于右边 吗?上述 条件“ 口， 为锐角” 改为“ 任意角 ， ” ，等式还 会成立吗， ? 设计意图 以问题串形式小台阶亦步亦趋引导 学生思考 ，解决本节课难点 ，并且利用多媒体课件 体现几何直观，使之达到真正突破 “ 横看成岭侧成峰，远近高低各不同” ，再次运 用算两次原理 ， 若是从右边开始思考呢?论证再出 发 ，设计如下 ： 问题 5刚才我们以C 0
12、S ( 一 ) = C 0 S a C 0 S + s i n a s i n 等式左边 出发论证公式的正确性 ，现从等式 右边 C O S c o s fl+ s i n as i n 的结构特征出发，你能 联想到一个相关计算原理吗? 2 6 福建中学数学 2 0 1 7 年第 5 期 设计意图 观察是人的第一能力， 这是 自 然的、 直观 的引导学生构造性观察及深入分析 问题 6设角 ， 的终边与单位圆的交点分 别为 ， ， 则 向量 O A，O B的坐标分别是什么? 其数量积是什么?向量的夹角 0与 ， 有什么关 系?根据数量积定义 ， O A O B等于什 么? 由此可 得什 么结论?
13、 设计意 图 让学生经历转化为用向量知识来解 决的过程 ，体会向量方法解决数学问题的简洁 性 从不同视角出发论证 ，让学生产生成就感 从公式论证 自然生成这一环节设计 中，我们认 识到公式本身体现 自然规律 ，数皆可化为形 ，公式 论证若借助直观想象， 感知事物的形态， 就可巧构 形与数的关系解决数学问题 可见 ，直观解决公式 教学这种重要手段 ， 是探索和形成论证思路的思维 根本 逻辑推理在公式教学中是不可或缺的，我们 如何引导学生逻辑推理 自然甚为重要 所谓公式逻 辑推理 自然，应是通过类比、特殊到一般、归纳演 绎等规则推出一个命题的思维自 然， 以上环节设计 我们通过几何直观构造公式论证
14、 ，揭示公式本质， 体现思维 自然规律 2 3数学运算下公式应用自然生成设计 公式的运用这个环节， 主要对公式结构特征及 性质 的理解和熟练掌握 问题 7公 式C O S ( Or一 ) =C O S Orc o s fl+ s i n s i n 称为差角的余弦公式 ， 该公式有什么特点?如何记 忆 ? 设计意 图 通过鉴赏两角差余弦公式，发现其 和谐匀称结构，让学生感受数学公式的美感 引导 学生有效记忆公式 ，注意公式结构特征 ，有利于公 式的快速应用 问题 8大家最初质疑“ c o s l 5 。 = ? ” ，现在能解 决吗? 设计意图 从最初疑 问出发 ，找 出结论 ，最后 回到解决
15、这个疑难问题 ，环节设计环环相扣 ，体现 问题解决 自然规律 问题 9让我们一起解决以下这个问题 ： 胛 已 知s i n a = 三 ， ( ， 7c ) ，c o s fl = 一 ， 是 ) lj 第三象限角，求C O S ( Or 一 ) 接下来，我们共同解 决下面两题变式题 ： ( 1 )求值 ：c o s 1 1 0 。 C O S 5 0 。 + s i n 1 1 0 。 C O S 4 0 ； ( 2 )求值 c o s ( O + 2 1 ) c o s ( O 一 2 4 。 ) + s i n ( O +2 1 ) s i n ( O 一 2 4 。 ) 设计意图 通过变式训练进一步加深学生对公 式的理解和应用， 体验公式正逆用的过程， 培养学 生的灵活 思维品质 ，提高学生的数学有效运算能 力 从公式应用 自然生成这一设计 中， 我们认识到 数学公式教学应 回到最初疑问解决上来 ， 疑问解决 后再出发 ，可引入变式题组训练等教学手段 ， 做 到 公式全方位理解 ，引导学生
