第五章极限分析法

《第五章极限分析法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五章极限分析法（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第五章 极限分析法5.1 基本假定 5.2 极限荷载的上、下限定理 5.3 应用上限定理极限分析法下载地址：ftp:/202.197.185.21:2007 QQ:465030885.1 基本假定理想弹塑性体和刚塑性体在荷载作用下，当荷载达到 某一数值并保持不变的情况下，物体会发生“无限”的变形 进入塑性流动状态，由于只限于讨论小变形的情况， 通常所称的极限状态可以理解为是开始产生塑性流动时的 塑性状态，而极限荷载也可以理解为达到极限状态时所对 应的荷载。研究表明，如果绕过弹塑性的变形过程，直接 求解极限状态下的极限荷载及其速度分布，往往会使问题 的求解容易得多，这种分析常称为极限分析。在极限

2、分析 中对材料作刚塑性假设和理想弹塑性假设得到的极限状态 是一致的，相应的极限荷载也是相同的。极限分析法是应用理想弹塑性体(或刚塑性体)处于极 限状态的普遍定理上限定理和下限定理求解极限荷载 的一种分析方法。与第六章相似，把服从Mohr-Coulomb屈服条件的材料 称为Coulomb材料，服从Tresca屈服条件的材料称为Tresca 材料。在塑性流动状态，屈服应力与塑性应变之间没有直接 的关系，屈服应力与相应的塑性应变率之间的关系可由流 动规则确定。在这里限于介绍服从相关联流动规则的情况 。塑性应变率分量之间的关系可表示为：屈服函数对于Tresca材料，屈服函数可表示为：于是：对于Coul

3、omb材料，屈服函数可表示为：于是：Coulomb材料的屈服函数也可表示为：于是：法向应力n方向塑性应变率塑性剪应变率Tresca材料塑性状态体积应变等于零：Coulomb材料体积应变不等于零，产生剪胀现象。5.2 极限荷载的上、下限定理 在极限分析中，经常要应用静力容许的应力场(简称静力 场)和机动容许的速度场(简称机动场)的基本概念。5.2.1 静力场和机动场的概念体积V和边界ST、SUST SU V如右图所示，设物体的体积为 V，其表面S分为两部分，一部分是 表面力已知的边界(简称荷载边界 )ST，其余部分为表面速度已知的边 界(简称位移边界)SU。在此物体上，设定一组应力场ij*，若满

4、足以下条件， 则称ij* 为静力容许的应力场。(1)在体积V内到处满足平衡方程式中， Fi为给定的体力。(2)在边界ST 上，满足边界条件式中，Ti*为与应力ij*对应的表面力；nj为边界 上外法线 的方向余弦； 为边界 上给定的表面力。(3)在体积V内不违反屈服条件，若已知屈服条件(方程 )为f(ij) ，则有由以上定义可知，物体处于极限状态时，其真实的应 力场必定是静力容许的应力场。然而静力容许的应力场并 不一定是极限状态时的真实应力场。在物体上，设定一组速度场vi*，若满足以下条件，则称 为机动容许的速度场。(1) 在边界SU上满足边界条件式中， 为边界SU上给定的体力。(2)在体积V内

5、满足几何方程由以上定义可知，在极限状态时的真实速度场必定是 机动容许的速度场，而机动容许的速度场并不一定是极限 状态时的真实速度场。应变速率虚功原理表明：对于一个连续的变形体，静力容许的应 力场在机动容许的位移场上所作的外(虚)功。虚功率方程可 表示为：5.2.2 虚功率方程静力容许机动容许左端表示外力(面力和体力)的虚功率，右端表示虚变形功率。现证明如下：将应力边界条件 代入虚功率方程左端的面积分 部分，并利用高斯积分公式，可得根据平衡微分方程 及关系式 ，则方程的左端：于是，虚功率方程就得到证明。高斯公式：关系式：5.2.3 存在应力间断面和速度间断面的虚 功率方程(1)存在应力间断面的虚

6、功率方程应力间断线实际上是一薄层过渡区，在这薄层过渡区内，应力发生急剧的变化，造成间断线两侧应力发生间断现象。沿着间断线必须满足平衡方程以及屈服条件，而且两个区内沿间断线法线方向的应力应该相等，两个区内的剪应力相等，即：只有两个区内的沿间断线切线方向的正应力才可能出现间断IIIlllln2n1n1n2 t2t1III设物体中存在若干个应力间断面 SK( K=1,2,3,)，将物体分成有限个部分。在每一部分，应力是连续变化的(应力间断面不可能同时成为速度间断面)。设在间断面SK的一边作用有表面力Tni+，而另一边作用着Tni- 。根据任一间断面上元素的平衡条件得到：对由间断面分成的每一部分应用虚

7、功率方程，相应的面积分别按每一部分的表面面积完成。把各部分的虚功率方程加在一起，可以发现沿着应力间断面的全部积分相互抵消。因此，应力间断面的存在，并不影响虚功率方程的形式。 (1)存在速度间断面的虚功率方程速度间断线可以认为是两个速度区之间存在的过渡薄层的极限情况。Tresca材料的速度间断面ST h VlvCoulomb材料的速度间断面ST h Vlvhn Tresca材料的速度改变方向与间 断线方向一致，即速度间断线两 侧的法向速度连续，只有切向速 度有跳跃性改变。Coulomb材料的间断线两侧不仅 切向速度不连续，法向速度也不 连续。虽然两侧法向速度不连续 ，但物体仍保持连续，不产生裂

8、缝。考虑存在速度间断面对虚功率方程的影响，需要计算在 速度间断面上的塑性能消散。Tresca材料单位体积塑性变形 能消散率D可用应力和相应的应变率的乘积得出，取速度间断面可以认为是一个薄层变形区，位移速度在 层内急剧而连续的变化，两侧相对速度为v，于是长度为 l，厚度为h的间断面内的能量消散率为进一步可以得到Tresca材料沿速度间断面Si的能量消散率Coulomb材料单位体积塑性变形能消散率D可表示为：就是间断面相对速度在切线方向的分量，可记为当=0，上式就蜕化成于是长度为l，厚度为h的间断面内的能量消散率为于是可以得到Coulomb材料沿速度间断面Sl的能量消散率当速度间断面上的应力为屈服

9、应力时：计算所有速度间断面上的能量消散率，结合虚功率方程，可以得到存在速度间断面的虚功率方程：Tresca材料：Coulomb材料：5.2.4 上限定理和下限定理(1) 下限定理当物体产生塑性变形达到极限状态时，在给定速度的 边界SU上，真实的表面力在给定的速度上所作的功率恒大 于或等于其他任意静力容许的应力场所对应的表面力在同 一给定速度上所作的功率。 在所有与静力容许的应力场相对应的荷载中，极限荷 载为最大。根据下限定理可以计算极限荷载的下限，通常 称为极限荷载的下限解。对于Coulomb材料，设ij为物体达到极限状态时的真实 应力场，其对应的表面力为Ti，vi为真实速度场，依据这 一速度

10、场由几何方程求得的真实应变速率为ij，真实速度 场可能有速度间断面SD，其上速度跃度为vt；在SU上给 定的速度为 ，在ST上给定的表面力为 ，给定的体力 为Fi。下限定理的证明：由于真实应力场一定是静力容许的应力场，所以极限 状态时的虚功率公式又设有另一静力容许的应力场ij*，对应的表面力为 Ti*，在真实速度间断面上与速度跃度相对应的剪应力和法 向应力分别为和n，那么ij*, Ti*, 和n在同一速度场上的 虚功率方程将上式和右式相减并注意到S=ST+SU，在ST上有 ，得对于刚性区内的微元体，ij=0，故对于对塑性区内的点，真实 应力ij的矢量末端处于屈服曲面 上，而 的末端则可能在屈服

11、曲面 上，也可能在屈服曲面内(见右 图)，则根据Drucker公设得到屈服曲面o于是：上面推导对Tresca材料同样成立。于是得出，物体处于塑 性状态时，极限荷载的功率大于或等于静力容许的应力场所对 应的荷载的功率，这也就证明了在所有的静力场所对应的荷载 中，极限荷载为最大，或者说，任何静力容许的应力场所对应 的荷载是极限荷载的下限。于是，下限定理得到证明。(2) 上限定理当物体产生塑性变形达到极限状态时，在所有机动容 许的速度场中，真实速度场所对应的总功率最小。在所有的机动容许的塑性变形位移速率场相对应的荷 载中，极限荷载为最小。根据上限定理可以计算极限荷载 上限，通常称为极限荷载的上限解。

12、根据下限、上限定理计算极限荷载下限、上限的方法， 分别称为静力法和机动法。一般情况，可应用上下限定理求出极限荷载的上下限。 如果采用静力法得到的下限解等于采用机动法得到的上限 解，则得到了极限荷载的精确解。上限定理的证明上限定理表明：由下式确定的与某一机动容许的塑性 变形位移场 和 对应的荷载Ti，Fi将大于或等于真实 的极限荷载。反证法：假设由上式确定的荷载Ti，Fi小于极限荷载，则可找 到与之平衡的静力场ijE，于是可得到虚功率方程两式相减，得：ijE是静力场，因此F(ijE) 0，且有：由相关联流动规则，得：这是矛盾的，于是上限定理得到证明。 7.2.5 上、下限定理的推论推论1：如果几

13、何形状不改变，初始应力和初始变形不 会改变极限荷载的大小。推论2：提高物体某些部分材料的屈服极限，不会降低 其极限荷载。反之，降低物体某些部分材料的屈服极限， 不会提高其极限荷载。 推论3：在物体上增加一部分材料(如增加部分重量可 忽略不计)而不改变荷载的作用位置，不会降低其极限荷 载。推论4：由外接真实屈服面的屈服面计算等到的极限荷 载将不小于真实的极限荷载；由内切真实屈服面的屈服面 计算得到的极限荷载将不大于真实的极限荷载。这些推论提供了极限分析中寻找极限荷载上下限的又一 途径。如果用实际的屈服条件求解问题有困难，则可以对 屈服条件进行简化，使简体后的屈服面内切或外接于真实 屈服面。由简化

14、屈服面找出真实极限荷载的上限和下限。推论5：任何一组使服从相关联流动规则的材料产生破 坏的荷载将使服从不相关联流动规则的同样屈服面的材料 产生破坏。5.3 应用上限定理极限分析法应用上限定理可以计算极限荷载的上限。在分析中通 常需要建立一机动场，然后根据虚功率原理求出相应的破 坏荷载，即得到极限荷载的一个上限解。应用上限定理极 限分析法通常称为机动法。求一般地基上条形基础极限承载力Pbhl刚体刚体刚体刚体平移Tresca材料薄变形层上的刚体滑动转动薄变形层上的刚体滑动可以分为二种，平移和转动， 速度v的方向同滑动面切线方向一致。平移情况，滑动面 为一平面，转动时为圆弧面。5.3.1薄变形层上的

15、刚体滑动hl刚体刚体平移Coulomb材料薄变形层上的刚体滑动转动薄变形层上的刚体滑动也可以分为二种，平移和转动 ，速度v的方向同滑动面切线方向成 夹角。vO刚体刚体vvOvvR0RiRi+1R对转动，唯一容许的滑 动面形状是对数螺族曲面。 对数螺曲线从O点的半径矢 量总是与曲线的切线形成一 个不变角度将进行n等分，d = /nAOH例：求竖起陡坡的临界高度取机动场如图，土的 容重为，滑动面与竖直 方向成角。淌动体的运 动速度为v，与滑动面成 角。沿着滑动面的内能消 散率为：v塑性流动时，外力做功率为：于是：要求H的值，即求 的极值。 取：为了计算变形楔体的能量消散率，把楔体ODG分成n 个刚

16、体三角形，如下图所示。5.3.2 楔体压缩与刚体滑动相结合DGECABv1v2Bv2v1uvOR0 R1R2Bv2v1uv即为图中的 u类似地AB边上的能量 消散率为：D ECABv1v2OGR0R1R2沿OB和AB的能量消散 率是相等的，当n趋向于 无穷大时，变形楔体 ODG变形的区的能量同 速度间断面对数螺旋面 DG上的能量消散率是相 同的。D ECABv1v2OGR0R1R2沿数螺旋面DG上的能量 消散率为xy qfADC BCDAbPADCBADCvv0v1v2bPADCBAvv0 v1v2v1v1/2-v0ABA和ACD是刚性块 体，ABC是变形楔体 ，ABA区作刚体移动 ，其速度与基础速度 相