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1、利用均值不等式求最值的配凑利用均值不等式求最值的配凑我们熟知利用均值不等式求最值，须具备三个条件：（1）各项必须是正数；（2）各项和或积必须是定值；（3）各项必须相等，其中尤为重要的是和（积）为定值。如何凑出定值从而求出最值，却深感困难，下面谈几种配凑方法一、拆项配凑例例 1求 y=的最小值 4522xx解：y= 43444 222 xxx25 234当且仅当，即 x=0 时，等号成立 444 22 xxy=25二、加倍裂项配凑例例 2已知 0x，求函数 f(x)=a2x2(1-ax)的最大值a1解：0x ax0，1-ax0，则 f(x)=(ax)2(2-2ax)a1 21=2133)22(
2、axaxax3)32(21274f(x)max=，此时 ax=2-2ax，即 x=274 a32三、平方裂项配凑例例 3：设 0，求函数 f()=（1+cos）sin的最大值及相应的 值2解：0， sin0，cos 0，2 2则 f()2=（1+cos）2sin2=4 sin2 cos4=22 sin2 cos2 cos222 2 2 2 2 2=23222)32cos2cos2sin2 (2716)32(3f() 934当 2 sin2= cos2，即 cos=，=arccos时，f()max=2 2 31 31 934四、添项配凑例例 4已知 （x、y、a、bR+，ab） ，求 x+y 的
3、最小值1yb xa解：x+y =（x+y）1=（x+y）（）=a+b+a+b+2=yb xaaxybyxab2)(ba 当且仅当时等号成立，即 与联立解得,axybyxba yx1yb xaabaxabby当,时，x+y 的最小值是abaxabby2)(ba 五、换元配凑例例 5已知 a、b、cR+，求的最小值acb cba bacy解：设 a+b=A，b+c=B，c+a=C，则可求得，2BCAa2CBAb2ACBc故=CCBA BBCA AACBy222)3(21CB CA BC BA AC AB=)3222(21BC CB CA AC BA AB 23)36(21当且仅当， 所以 A2=B
4、2=C2 即 A=B=C，BC CB CA AC BA AB,所以 a+b=b+c=c+a 即 a=b=c 时，等号成立。的最小值为acb cba bacy23六、待定系数配凑例例 6求函数 y=x(2-2x) (1-2x) （0x）的最大值21解：)21)(2xbxbaxaby欲使其和 ax+(b-bx)+(1-2x)等于定值，必须 a-b-2=0 即 a=b+2， 故实际上只有一个待定字母 b 即可，并且（b0） 。 （由于 b-bx0，即 b（1-x）0，又 因为（1-x）0，所以 b0）)21)()2()2(2xbxbxbbby=33)21 ()()2()2(2xbxbxb bb3)31()2(2b bb当且仅当（b+2）x=b-bx=1-2x 时等号成立，即 41 22bbbx解得或（舍去）13 b13 b当时，633 41bx93)31()2(23 maxb bby
