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1、 结业论文结业论文复变函数与积分变换复变函数与积分变换在电路中的应用在电路中的应用 系系 别：别： 电气与电子工程系电气与电子工程系专专 业：业： 自动化自动化姓姓 名：名： 444444444444444444学学 号：号： 555555555555555555555555555555指导教师：指导教师： 秦志新秦志新摘要：众所周知，复变函数在众多专业课程中都有着非常重要的作摘要：众所周知，复变函数在众多专业课程中都有着非常重要的作用，就如在正弦稳态电流分析中，将复杂的三角函数方程利用欧拉公式用，就如在正弦稳态电流分析中，将复杂的三角函数方程利用欧拉公式转化为复平面内求解（相量法）或利用运算
2、法（拉斯变换）转化为复平面内求解（相量法）或利用运算法（拉斯变换） ，从而把正，从而把正弦稳态问题归结为以相量或象函数为变量的线性代数方程。弦稳态问题归结为以相量或象函数为变量的线性代数方程。关键词：相量法，拉斯变换，正弦稳态，电路分析，复变函数，运关键词：相量法，拉斯变换，正弦稳态，电路分析，复变函数，运算法。算法。相量法是分析研究正线电流稳定状态的一种简单易行的方法，它是相量法是分析研究正线电流稳定状态的一种简单易行的方法，它是在数学理论和电路理论的基础上建立的一种系统的方法。根据电路的基在数学理论和电路理论的基础上建立的一种系统的方法。根据电路的基本定律本定律 VCRVCR、KCLKCL
3、 和和 KVLKVL，编写含有储能原件的线性非时变电路的电路方，编写含有储能原件的线性非时变电路的电路方程时，将获得一组常微（积）分方程程时，将获得一组常微（积）分方程. .现以如图一所示电路现以如图一所示电路 RLCRLC 为例为例例例 1 1 已知：已知：R R=15=15 , , L L=12mH,=12mH, C C=5=5 F,F, ， 求求100 2cos(5000 )uts电路中的电流电路中的电流 i i 和各元件的电压相量，以及电路的等效导纳和并联等效电和各元件的电压相量，以及电路的等效导纳和并联等效电路。路。画出相量模型画出相量模型解；求出相关变解；求出相关变0100 0us
4、 60zj ljl140zjjcc156040 152025 53.13zzzzjjjeqrlc100 0453.13 25 53.13usAIzeq 4 2cos(500053.13 )itA15 453.136053.13URVIR 14090453.13160143.13UjVICc 60 90453.13240 36.87Uj CVIL 11153.13(0.0240.032)2525 53.13YSjSeqzeq 0.024GS116.250.032 5000lmHeqB正弦稳态电路方程是一组同频正弦函数描述的代数方程，电路基本正弦稳态电路方程是一组同频正弦函数描述的代数方程，电路基
5、本定律所涉及的正弦电流，电压的运算，不会改变电流电压同频正弦量的定律所涉及的正弦电流，电压的运算，不会改变电流电压同频正弦量的性质，即正弦量乘常数（性质，即正弦量乘常数（RiRi） 、正弦量的微分，正弦量的微分和同频正、正弦量的微分，正弦量的微分和同频正弦量的代数和（弦量的代数和（KCLKCL） 、 （KVLKVL）等运算，其结果仍是同频正弦量。可以看）等运算，其结果仍是同频正弦量。可以看出，各同频正弦电流电压之间，在有效值、初相上的出，各同频正弦电流电压之间，在有效值、初相上的“差异和联系差异和联系”寓寓于正弦函数描述电压、电流表达式及电路方程中。无疑，求解和分析正于正弦函数描述电压、电流表
6、达式及电路方程中。无疑，求解和分析正弦函数所描述的电路方程，将能获得正确的结果或结论，但这一方法对弦函数所描述的电路方程，将能获得正确的结果或结论，但这一方法对于复杂电路将显得非常繁琐，使分析求解相当困难。于复杂电路将显得非常繁琐，使分析求解相当困难。基于这个问题，我们可以根据欧拉公式，将正弦函数用富指数函数表示，基于这个问题，我们可以根据欧拉公式，将正弦函数用富指数函数表示，如前所述正弦量如前所述正弦量 UsUs 和和 i i 可表示为可表示为公式公式 2(2(者不知道者不知道) )上述变换表明，一个正弦量可以分解为一对共轭的复指数函数。根据叠上述变换表明，一个正弦量可以分解为一对共轭的复指
7、数函数。根据叠加定理和数学理论，只要对其中一个分量进行求解就能写出全部结果，大加定理和数学理论，只要对其中一个分量进行求解就能写出全部结果，大大简化了求解的过程。大简化了求解的过程。例题例题 图图 1 1 所示电路中，所示电路中，35 2cos(10)6itA s, , ， 求电压求电压和和。30RL=0.12H,12.5CFuadubd解：为了帮助理解和避免错误，可根据原电路图画出对应的相量解：为了帮助理解和避免错误，可根据原电路图画出对应的相量模型，它是将时域中的正弦电压、电流用相量标记，电路中的电阻、电模型，它是将时域中的正弦电压、电流用相量标记，电路中的电阻、电感和电容元件根据感和电容
8、元件根据 VCRVCR 的相量形式分别用复数形式的的相量形式分别用复数形式的 R,R, , ,标记，标记，j L1 j C而其他与原电路相同。根据相量形式的电路图就可以直接写出相量形式而其他与原电路相同。根据相量形式的电路图就可以直接写出相量形式的电路方程。的电路方程。图图 a a 所示电路相对应的相量形式的电路图如图所示电路相对应的相量形式的电路图如图 b b 所示。图中所示。图中15 30,120 ,80IA j ljjjSc 根据元件的根据元件的的相量形式有的相量形式有VCR150 30uRVIR600 120uj LVIL140060ujVICc根据根据,有有KVL(600 12040
9、060 )200 120uuuVVbdCL (150 30200 120 )250 83.13uuuVVadbdR 所以所以3200 2cos(10120 )3250 2cos(1083.13 )utVbdutVad上述变换只是数学形式上的变换，与式编号相比，并无实质性的区别，上述变换只是数学形式上的变换，与式编号相比，并无实质性的区别，但在形式上实现了非常有益的转换，它将与时间有关的同频正弦函数的电但在形式上实现了非常有益的转换，它将与时间有关的同频正弦函数的电路方程转化为与时间无关的复代数形式的电路方程。更重要的是，它将正路方程转化为与时间无关的复代数形式的电路方程。更重要的是，它将正弦稳
10、态中全部同频的正弦电压、电流转化为由个正弦量的有效值和初相组弦稳态中全部同频的正弦电压、电流转化为由个正弦量的有效值和初相组合成的复数表示，如合成的复数表示，如: :写出下列正弦电流对应的相量写出下列正弦电流对应的相量14.14cos(31430 )1itA314.14sin(1060 )2itA解：根据国家规定标准，统一用解：根据国家规定标准，统一用表示，因此，电流表示，因此，电流的表达式可改的表达式可改cos2i写为写为314.14cos(106090 )2itA314.14cos(10150 )tA电流相量可按定义直接写成电流相量可按定义直接写成14.143012IA 14.141501
11、0 3022IAA使同频的各正弦量在有效值、初相上的使同频的各正弦量在有效值、初相上的“差异和联系差异和联系” ，在电路方，在电路方程中表现的更清晰、更直观，这将大大简化对正弦稳态的表述和分析求程中表现的更清晰、更直观，这将大大简化对正弦稳态的表述和分析求解的过程。解的过程。拉普拉斯变换在复频域分析中的应用拉普拉斯变换在复频域分析中的应用对于具有多个动态元件的复杂电路，除了将时域函数转换到复平面范围，对于具有多个动态元件的复杂电路，除了将时域函数转换到复平面范围，利用欧拉公式转化为相量式，并用相量法求解外，我们也可以利用积分变利用欧拉公式转化为相量式，并用相量法求解外，我们也可以利用积分变换法
12、求解复频域分析中的高阶微分方程。积分变换法是通过积分变换，把换法求解复频域分析中的高阶微分方程。积分变换法是通过积分变换，把已知的时域函数变换为频域函数，从而把时域的微分方程化为频域的代数已知的时域函数变换为频域函数，从而把时域的微分方程化为频域的代数方程。求出频域方程后，再做反变换，返回时域，可以求得满足电路初始方程。求出频域方程后，再做反变换，返回时域，可以求得满足电路初始条件的原微分方程的解答，而不需要确定积分常数。拉斯变换是一种重要条件的原微分方程的解答，而不需要确定积分常数。拉斯变换是一种重要的积分变换，是求解高阶复杂动态电路的有效而重要的方法之一。的积分变换，是求解高阶复杂动态电路
13、的有效而重要的方法之一。例：例：t t = = 0 0 时打开开关时打开开关 , ,求电感电流和电压。求电感电流和电压。已知计算初值已知计算初值(0_) 51iA(0_)02iA画运算电路画运算电路101.510 1.525 3.75( )15 0.4(5 0.4 )(12.5)SSSI SSS SSS21.7512.52 1.75(0)121.75tiei tSS 注意：注意： ， (0_)(0 )11ii(0_)(0 )22ii所以有所以有： 6.56( )0.3( ) 1.50.3751112.5USSI SLS 12.5( )0.375 ( ) 6.56(0)1tUttetL2.19( )0.1 ( )0.375212.5USsI SLs 12.5( )0.375 ( ) 2.19(0)2tUttetL所以的所以的; ;12.52 1.75(0)12tiei t 12.5( )0.375 ( ) 6.56(0)1tUttetL12.5( )0.375 ( ) 2.19(0)2tUttetL一阶二阶电路应用一阶二阶电路应用在研究一阶电路和二阶电路中，所应用的方法是根据电路定律和元件的在研究一阶电路和二阶电路中，所应用的方法是根据电路定律和元件的电压电流关系建立描述电路的方程，由上述讨论知，我们可以用相量法求电压电流关系建立描述电路的方程，由上述讨论知
