北师大版本高中数学必修2(9页)

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1、北师大版本高中数学必修 2 第一章 立体几何初步 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论：推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。公理公理 2 及其推论作用：及其推论作用：它是空间内确定平面的依据 它是证明平面重合的依据 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理公理 3 的作用：的作用：它是判定两个平面相交的方法。 它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要

2、依据。 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a 来表示 1、 定理 5.1 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则 该直线与此平面平行。定理 5.2 定理 5.3 定理 5.4 2、 定理 5.2 两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则 这两个平面平行。 3、

3、 定理 5.3 直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。 4、 定理 5.4 两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么 它们的交线平行。 5、 直线与平面垂直的定义：如果直线 L 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直 线 L 与平面 互相垂直，记作 L，直线 L 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 6、 定理 6.1 直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直。

4、 注意点:a.定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b.定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。7、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形。二面角的记法：二面角 -l- 或 -AB- 8、定理 6.2 两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面 垂直。定理定理 6.3 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。定理定理 6.4 平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平

5、面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。另一个平面垂直。9、三垂线定理; 平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直，那么就和平面的这条斜线垂直.PO，PA 与 斜交于点 A，AOa，问 PA 与 a 所成的角； 显然 POPOaOA a平面 POA PAaaaPOOA=O PA平面 POA I即：PA 与 a 所成的角为 900 三垂线定理来源于“线面垂直” ，抓住平面 的垂线 PO， 才是抓住了定理的实质与关键，并启发学生猜想逆命题的真假，学生把握住了线面垂直这 个本质很容易得出三垂线定理的逆定理。 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它 和这条斜线在

6、平面内的射线垂直。教材还原：三垂线定理定义：在在平面平面内的一条内的一条直线直线，如果和穿过这个平面的一条，如果和穿过这个平面的一条斜斜线线在这个平面内的在这个平面内的射影射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。垂直，那么它也和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线 也垂直于这条斜线在平面内的射影。也垂直于这条斜线在平面内的射影。证明证明用线面垂直证明已知：如图，PO 在 上的投影 OA 垂直于 a求证：OPa证明：过 P 做 PA 垂直于 PAPAa又 aOAOAP

7、A=Aa平面 POAaOPPOA10、最小角定理（又叫最小角定理或爪子定理）：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角最小的角。 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角斜线和平面所成的角（或斜线和平斜线和平 面的夹角面的夹角）. 教材中指出两个小角的余弦积等于最大角的余弦值。教材还原：特殊几何体表面积公式（特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，为底面周长，h 为高，为高，h为斜高，为斜高，l 为母线）为母线） chS直棱柱侧面积，21chS正棱锥侧面积，)(21 21hccS正棱台侧面积rhS2圆柱侧， lrrS2圆柱

8、表，rlS圆锥侧面积，lrrS圆锥表 lRrS)( 圆台侧面积， 22RRlrlrS圆台表柱体、锥体、台体的体积公式柱体、锥体、台体的体积公式VSh柱，1 3VSh锥，1()3VSS SS h台，2VShr h圆柱，hrV2 31圆锥2211()()33VSS SS hrrRRh圆台球体的表面积和体积公式：球体的表面积和体积公式：V球=34 3R； S球面=24 R球的体积和表面积（球的体积和表面积（1）设球的半径为 R，将半径 OAn 等分，过这些分点作平面把半球切割成 n 层，每一层都是近似于圆柱形状的“小圆片” ，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以

9、它的体积也近似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度，nR底面就是“小圆片”的下底面。由勾股定理可得第 i 层（由下向上数） “小圆片”的下底面半径：， （i1,2,3，n）22)1(inRRri第 i 层“小圆片”的体积为：V， （i1,2,3，n）2 irnR 2311ni nR半球的体积：V 半径V1V2Vn 1（1）（）（1）1 nR3221 n222 n22) 1( nn n （注：）nR32222) 1(21 nn ) 12)(1(6121222nnnnn） nR3 6) 12() 1(12nnn n23 6) 12)(1(1 (nnnR 6)12)(11 ( 13nnR当所分的

10、层数不断增加，也就是说，当 n 不断变大时，式越来越接近于半球的体积，如果 n 无限变大，就能由式推出半径的体积。事实上，n 增大，就越来越小，当 n 无限大时，趋向于 0，这时，有n1 n1V半径，所以，半径为 R 的球的体积为： V3 32R3 34R球的体积和表面积（2）球的表面积推导方法（球的表面积推导方法（设球的半径为 R，利用球的体积公式推导类似方法）（1）分割。把球 O 的表面分成 n 个“小球面片” ，设它们的表面积分别是 S1，S2，Sn，那么球的表面积为：SS1S2Sn把球心 O 和每一个“小球面片”的顶点连接起来，整个球体被分成 n 个以“小球面片”为底，球心为顶点的“小

11、锥体” 。例如，球心与第 i 个“小球面片”顶点相连后就得到一个以点 O 为顶点，以第 i 个“小球面片”为底面的“小锥体” 。这样“小锥体”的底面是球面的一部分，底面是“曲”的。如果每一个“小球面片”都非常小，那么“小锥体”的底面几乎是“平”的， （好象地球一样） ，这时，每一个“小锥体”就近似于棱锥，它们的高近似于球的半径 R。（2）求近似和。设 n 个“小锥体”的体积分别为 V1，V2，Vn那么球的体积为：VV1V2Vn由于“小锥体”近似于棱锥，所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的近似值。第近似值。第 i 个个“小锥体小锥体”对应的棱锥以点对应的棱锥以点 O 为顶点，以点为顶点，

12、以点 O 与第与第 i 个个“小球面片小球面片”顶点的连线为棱。设它的高为 hi，底面面积为 Si，于是，它的体积为：Vihi Si， （i1,2,，n）31这样就有：Vihi Si， （i1,2,，n）31V（h1 S1h2 S2 hn Sn） 31（3）转化为球的表面积。分割得越细密，也就是每一个“小球面片”越小， “小锥体”就越接近于棱锥，如果分割无限加细，每一个“小球面片”都无限变小，那么 hi （i1,2,，n）就趋向于 R，Si就趋向于 Si，于是，由可得：VRS31又V，所以，有RS 即： S4R23 34R3 34R31第二章 解析几何初步1、直线与直线的方程、直线与直线的方程

13、 （1）直线的倾斜角）直线的倾斜角定义：x 轴正向正向与直线向上方向向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地， 当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0 180 （2）直线的斜率）直线的斜率定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜 率。直线的斜率常用 k 表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。tank当时，； 当时，； 当时，不存oo90,00koo180,900ko90k 在。过两点的直线的斜率公式： )(21 1212xxxxyyk注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90；21xx (

14、2)k 与 P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求 得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 2、直线、直线 6 种方程种方程两点式：两点式：（）直线两点，112121yyxx yyxx1212,xxyy11, yx22,yx点斜式：点斜式：直线斜率 k，且过点)(11xxkyy11, yx 注意：注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。 斜截式：斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为bbkxy截距式：截距式：1xy ab其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距截距分别为。lx( ,0)ay(0, )blxy, a b一般式：一般式：（A，B 不全为不全为 0 即即 A2+B2 不等于 0）0CByAx 注意：注意：各式的适用范围 特殊的方程如： 1 2平行于 x 轴的直线：（b 为常数） ； 平行于 y 轴的直线：（a 为常数） ； by ax 参数方程：过定点、倾斜角为的直线 l 的参数方程为，),(000yxM sincos00 tyytxx(t 为参数) 3、两条直线的平行和垂直 (1)若，;.111:lyk xb222:lyk x