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1、2014-2015-2 A 卷卷 湖北汽车工业学院湖北汽车工业学院 高等数学考试试卷答案及评分标准高等数学考试试卷答案及评分标准 （2014-2015-2） 一、 （本题满分 21 分，每小题 3 分）选择填空题【 A 】1平面曲线绕轴旋转一周所得的旋转曲面的方程为20zyx z )(A22zxy)(B22()zxy )(C22zxy)(D22zxy 【 A 】2设直线为，平面为，则L321021030xyzxyz 4220xyz直线平行于平面 直线在平面上)(AL)(BL直线垂直于平面 直线与平面斜交)(CL)(DL【 C 】3，点是的44( , )4f x yxyxy(0,0)( , )f
2、 x y极大值点 极小值点 非极值点 不能确定)(A)(B)(C)(D【 D 】4交换二次积分次序，1220010( , )( , )xxdxf x y dydxf x y dy )(A1200( , )ydyf x y dx)(B202( , )yydyf x y dx )(C2200( , )ydyf x y dx)(D120( , )yydyf x y dx【 B 】5已知是某函数的全微分，则常数22xdxaydy xy a )(A1)(B1)(C2)(D2【 B 】6设是由点到点的直线段，则曲线积分L)0, 1 (A(0,1)B Lxdyydx )(A0)(B1)(C1)(D2【 C
3、】7函数展开成的幂级数为( )xf xex )(A01 (2 )!nnxn)(B01(1)!nnxn)(C01 !nnxn)(D11nnxn二、 （本题满分 21 分，每小题 3 分）填空题1已知，满足，则a b0ab | 2a | 2b a b 42求点到平面的距离(1,2,1)0xyzd 4 3 3 3函数在点处的梯度为lnzxyxy(2,1)(1,4)4函数的全微分xyzedz ()xyeydxxdy6二次积分化为极坐标下的二次积分为2112200()xdxf xydy21200()df rrdr5设曲面为上半球面，则2221 (0)xyzz222()xyzdS27设函数是周期为的周期函
4、数，在上的表达式为，且为其傅里叶级( )f x2, ) ( )1f xx( )s x数的和函数，则(2 )s1三、 （本题满分 8 分）设，求与2sin()xzx yyxz yxz 2解 ， )cos(212yxxyyxz.)sin(2)cos(21232 22 yxyxyxxyyxz四、 （本题满分 8 分）求曲面在点处的切平面3zezxy(2,1,0)解 令，则有( , , )F x y z 3zezxy，(2,1,0)(2,1,0)|1xFy(2,1,0)(2,1,0)|2yFx(2,1,0)(2,1,0)(1)|0z zFe故切平面为 ， (2)2(1)00xy即 042yx五、 （本
5、题满分 8 分）计算二重积分，其中是由，以及轴所围的第一象DydxdyD2yx32yxy限的部分解 232 ,:01,xyxDxDydxdy213 20xxdxydy212 3 201|2x xydx12401(32 )2xx dx1240191242xxx dx235 1 014196235xxxx31 15六、 （本题满分 8 分）计算曲线积分，其中是在第一象限的部分() Lxy dsL222xyR解 于是 cos,:0,sin,2xRLyR() Lxy ds2220( cossin )(sin )( cos )RRRRd220(cossin )Rd22 0(sincos )|R222 0
6、(sincos )|2RR七、 （本题满分 8 分）判断级数的敛散性，若收敛指出是绝对收敛还是条件收敛11( 1) ln(1)nnn解 ，而11|( 1) ln(1)|nnn 11ln(1)nn，11ln(1) nn()n 由发散可知，发散，又因为11nn 11ln(1)nn且， 11ln(1)ln(1)1nn1limln(1)0 nn于是可知收敛，为条件收敛11( 1) ln(1)nnn八、 （本题满分 8 分）求级数的收敛域及其和函数11nnnx 解 令，于是，所以收敛半径为， nan11limlim1nnnnan an1R 当时，发散，当时，发散，于是收敛域为 1x 1nn1x 11(
7、1)nnn ( 1,1)令，于是有11( )nns xnx ( 1,1)x ，110001001( )1xxxnnnnnns x dxnxdxnxdxxx ( 1,1)x 于是，211( )()1(1)s xxx( 1,1)x 九、 （本题满分 10 分）利用高斯公式计算曲面积分，其中为上半球2Iyzdzdxdxdy的上侧224zxy解 令，则22 1:0, ( , ):4,xyzx yDxy下侧2Iyzdzdxdxdy22yzdzdxdxdyyzdzdxdxdyA zdv2xyDdxdy+220(4)2 4zzdz122014-2015-2 B 卷卷 湖北汽车工业学院 高等数学试卷解答及评分
8、标准高等数学试卷解答及评分标准 （ 2014-2015-2B2014-2015-2B ） 一、 （本题共 7 小题,每小题 3 分,满分 21 分）单项选择题（请在答题卡上将所选答案对应的字母涂黑请在答题卡上将所选答案对应的字母涂黑）:【 A 】1设则3, 1, 2 ,1,2, 1 ,ab a b. . . . )(A3)(B5, 1,7)(C1)(D5,1,7【 B 】2方程确定隐函数则偏导数20xyzeze( , ),zz x yz x. . . . )(A2xyzxe e)(B2xyzye e)(C2xyzxe e )(D2xyzye e 【 B 】3设函数 ，则在点处22( , )4(
9、),f x yxyxy( , )f x y(2, 2)没有极值. 有极大值. 有极小值. 无法确定.)(A)(B)(C)(D【 B 】4. 设空间区域，则2222( , , ),0x y z xyzRz dv. . . . )(A34 3R)(B32 3R)(C24 R)(D22 R【 A 】5. 设是的外侧，则2221xyzdxdy A0. . . .)(A)(B2 3)(C4 3)(D4【 C 】6.在下列级数中，必为条件收敛的级数为. . )(A21( 1)!nnn n)(B1cos( 1)2n n nn. .)(C11( 1)nnnn)(D11( 1) (1)nnnn【 A 】7. 交
10、换二次积分次序， 110( , ) xdxf x y dy. .)(A100( , )ydyf x y dx)(B1100( , )dyf x y dx. .)(C110( , ) ydyf x y dx)(D100( , )xdyf x y dx二、 （本题共 7 小题，每小题 3 分,满分 21 分）填空题(请将答案填在答题卡对应的横线上请将答案填在答题卡对应的横线上)：1. 函数的定义域 D=ln()zyxx( , ),0x y yx x2过点与直线垂直的平面方程为 (1, 1,1)21 213xyz2360xyz3函数在点处的梯度为22( , )f x yxy(1, 1)(2, 2)4
11、设 L 为圆周，则对弧长的曲线积分 222xyR(3) Lxds A6 R5若数项级数 收敛，则 0 1n nalimnna 6幂级数的收敛域为.2 1( 1)n nnx n 1,17设是周期为的周期函数，且在的表达式为 为的傅里叶级数( )f x2, ) ( )sin,3xf x ( )s x( )f x的和函数，则()2s1 2三、(本题满分 8 分) 设 求.2ln(1),zxy(1,0)(1,0),zz xy 解：根据复合函数求导式法则，得21,1z xxy2121zyyxy22 1y xy则有(1,0)11,1 12z x(1,0)00.1 1z y四、(本题满分 8 分)求旋转抛物
12、面在点（2,1,4）处的法线方程.221zxy解： 则22( , )1,f x yxy(, 1)(2 ,2 , 1),xynffxy(2,1,4)(4,2, 1),n所以在点（2,1,4）处的法线方程为， . 14 21 42 zyx五、(本题满分 8 分)计算二重积分，其中.(2)Dy d22( , )4Dx y xy解： 因为积分区域关于 x 轴对称 分，则由二重积分的对称性得(2)Dy d2Dd2 48 .六、(本题满分 8 分)判断级数的敛散性，若收敛，判断是条件收敛还是绝对收敛. 21 1( 1)2n n nn 解：令 则有 21,2nnnu221 11 221(1) +112limlimlim1,22 2nnnnnn nn un nun （则收敛，即绝对收敛. 1n nu21 1( 1)2n n nn 七、(本题满分 8 分)计算曲线积分其中 L 为抛物线上从到的一段22, Lxydxx dy2yx(0,0)O(1,1)A弧.解：化为对的定积分，从 0 变到 1，则有x2:,L yxx112223002(22 )41. Lxydxx dyx xxx dxx dx八、(本题满分 8 分) 设曲面为平面 在第一卦限部分的上侧，求曲面积分.1xyz
