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1、华东师范大学 2003 年数学分析试题及解答Tangshan0315一、 （30 分）简答题（只需写出正确答案） ：);31()3() 1()1 (sinlim221xxxx); 2)1 (2(),11arccos( 222xxyxy 则)2ln2(ln(ln22Cxxxxdx)(),sin(dyzdxzdzyxyzyxx则DyxedxdyeyxyxD)1(,1| ),(2222则. )2(,1| ),(22LydxxdyyxyxL取顺时针方向，则二、 （20 分）判别题（正确的说明理由，错误的举出反例） ；若0lim, 0lim nnnnnxx则。错；例如01lim nn，但11lim nn
2、n。若)(xf在), 0( 上可导，且)( xf有界，则)(xf在), 0( 上一致连续.对设 KKxxfxfxfxxxxKxKxf“)( )“() (,“), 0(“, , 0, 0), 0(,)(并且则若)(xf在,ba上可积，xadttfxF)()(在),(0bax 可导，则)()( 00xfxF。错；例如0, 1 ; 10 , 0)(xxxf在-1，1上可积，并且. 1)0()0(, 0)( 1 , 1, , 0)()(1 fFxFxdttfxFx但是若1212)(nnnaa收敛，且0lim nna则1nna收敛。对；设11212)(,nnnnnaaa的部分和分别为Sn与n，则SSnS
3、aAndSnSSnnnnnnn lim)( , 0)( ,12122三、 （17 分）求极限：);()sinsin(limsinsinxfxtxtxxt指出)(xf的间断点，并判断间断点的类型。解：xtxxtxtsinsin)sinsin(lim=xx xtxxtxxtsinsinsinsin )sinsinsin1(lim=xx esin=)(xf。由于 exf x 0lim，)0)(lim kxf kx不存在，因此0x为)(xf的可去间断点，)0(kkx为)(xf的第二类间断点。四、 （17 分）设)(xf在0，a上连续，0)0(f.证明2)(20Madxxfa其中dxxfM ax)(ma
4、x0.证明：由下式出发：, 0,)()0()()(axMxxffxfxfx在, 0a上取定积分，即得2)()(2000MadxxMdxxfdxxfaaa。五 、（ 17分 ） 若 函 数),(yxf在2R上 对x连 续 ， 且 存 在0L， 对“),(),(,“yyLyxfyxfyx，证明),(yxf在2R上连续。证明：2 00),(Ryx有：),(),(0000yxfyyxxfz),(),(0000yxxfyyxxf+),(),(0000yxfyxxfyL+)(),(0000yxfyxxf。因 为),(0yxf关 于x在0x连 续 ， 故0, 0， 当x时2),(),(0000yxfyxxf
5、；又当Ly2时2yL，现取,2min1L， 且当11,yx时， 使得z。 故),(yxf在2R上任一点),(00yx连续。六、 （17分）求下列积分SdSzyxfI),(，其中)0(| ),(2222aazyxzyxS，222222, 0 ; ,),(yxzyxzyxzyxf。证 明 ： 记,| ),(222222 1yxzazyxzyxS。 因 为1S上22),(yxzyxf，而在S1S上0),(zyxf,故有SdSzyxfI),(=1)(22SdSyxfI。又因为1S在 xy 平面上的投影区域为2:2 22ayxD，有1S的方程222yxaz，又有 222221 yxaazzyx，所以可求
6、得：dxdy yxaayxID22222)( ，令sin,cosryrx=dr rardaa 202 0223 ， （令ura22）=duuuaaaa22221 21 2)(=22223 21 2| )322(a auuaa=)2254(314a。七、 （17 分）设10 r，Rx。证明：122 cos21cos211nnnxrrxrr；0)cos21ln( 02dxrxr。证明：把欲证明的等式经移项后写为：nxrrxrrxnncoscos21cos11 2。只要把此式左边的分母乘至右边，经整理后可得rx cos，主要过程如下：11111112) 1cos(2coscoscos)cos21 (
7、nnnnnnnnxnrnxrnxrnxrrxr其中111) 1cos(2) 1cos(cos2nnnnnnxnrxnrnxr，把它带入上式后，化简可得rx cos。利用一的结果：由以上等式又有：11 2cos2cos212cos2nnnxrrxrrx，容易看出左边的分子是分母对 r 求导的结果。所以先通过两边对 r 求积分，得到：10102cos2cos212cos2nrnrnxddxx，即12cos2)cos21ln(nn nxnrrxr。再对X在, 0上求积分，又得10020cos2)cos21ln(nn nxdxnrdxrxr证毕。八、 （15 分）设baaaba21, 0, 0，.3 , 2 , 1,11222 12naaannn证明：na收敛。证明：由于3n时2na，故5n时25na。估计：2 22 12 1211111nnnnnnaaaaaa=)9()85(.),max(85)(165)(3221121122 22 nBaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnn nnnn其中正常数 B 或者是56aa ，或者是67aa 。由此又得：)(0)85(851)85(.)85(.2525271211 nBBaaaaaannpnnnpnpnnpn所以根据 Cauchy 准则，na为收敛数列。
