《【创新方案】（浙江专版）2015届高考数学一轮复习第四章第三节平面向量的数量积及平面向量的应用突破热点题型文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【创新方案】（浙江专版）2015届高考数学一轮复习第四章第三节平面向量的数量积及平面向量的应用突破热点题型文（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第三节第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用平面向量的数量积及平面向量的应用考点一平面向量数量积的概念及运算 例 1 (1)(2013湖北高考)已知点A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为( )AB CD A. B. C D3 223 1523 223 152(2)如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若2，则的值是_AB AF 2AE BF 自主解答 (1)A(1,1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3,4)，(2,1)，(5,5)，AB CD 因此 cos，AB CD AB CDAB CD 3 1010向量在方
2、向上的投影为|cos，.AB CD AB AB CD 53 10103 22 (2)以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(，0)，2 E(，1)，D(0,2)，C(，2)设F(x，2)(0x)，222由xx1，所以F(1,2)，(，1)(1，2)AB AF 222AE BF 22.2 答案 (1)A (2)2 【互动探究互动探究】在本例(2)中，若四边形ABCD是边长为 1 的正方形，点E是AB上的动点，求DE的值及的最大值CB DEDC解：以A点为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则正方形各顶 点坐标分别为A(0,0)、B(1,0)、C
3、(1,1)、D(0,1)，设E(a，0)，0a1.(a，1)(0，1)a0(1)(1)1.DECB (a，1)(1,0)a(1)0a1，故的最大值为 1. DEDCDEDC【方法规律方法规律】 平面向量数量积的类型及求法 (1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式a ab b|a a|b b|cos ；二是坐标2公式a ab bx1x2y1y2. (2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公 式进行化简1若向量a a(1,1)，b b(2,5)，c c(3，x)，满足条件(8a ab b)c c30，则 x_. 解析：a a(1,1)，b b(2,5)，
4、 8a ab b(8,8)(2,5)(6,3) 又c c(3，x)， (8a ab b)c c183x30， x4. 答案：42已知e e1，e e2是夹角为的两个单位向量，a ae e12e e2，b bke e1e e2，若a ab b0，2 3 则实数k的值为_解析：e e1，e e2的模为 1，且其夹角.2 3 a ab b(e e12e e2)(ke e1e e2) ke ee e1e e22ke e1e e22e e2 12 2k(12k)cos22 32k .5 2又a ab b0，2k 0，即k .5 25 4答案：5 4高频考点考点二 平面向量的夹角与模的问题 1平面向量的夹
5、角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度 适中，属中档题 2高考对平面向量的夹角与模的考查常有以下几个命题角度： (1)求两向量的夹角； (2)两向量垂直的应用； (3)已知数量积求模； (4)知模求模 例 2 (1)(2013湖南高考)已知a a，b b是单位向量，a ab b0.若向量c c满足 |c ca ab b|1，则|c c|的最大值为( ) A.1 B. C.1 D.22222 (2)(2013安徽高考)若非零向量a a，b b满足|a a|3|b b|a a2b b|，则a a与b b夹角的余 弦值为_(3)(2013山东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知
6、(1，t)，OA (2,2)若ABO90，则实数t的值为_OB (4)(2013天津高考)在平行四边形ABCD中， AD1，BAD60，E为CD的中点若1, 则AB的长为_ACBE 自主解答 (1)建立如图所示的直角坐标系，由题意知a ab b，且a a与b b是单位向量，3可设a a(1,0)，b b(0,1)，c c(x，y)OA OB OCc ca ab b(x1，y1)， |c ca ab b|1， (x1)2(y1)21，即点C(x，y)的轨迹是以M(1,1)为圆心，1 为半径的圆 而|c c|，|c c|的最大值为|OM|1，即|c c|max1.x2y22 (2)由|a a|a
7、a2b b|，两边平方，得|a a|2|a a2b b|2|a a|24|b b|24a ab b，所以 a ab b|b b|2.又|a a|3|b b|，所以 cosa a，b b .a ab b |a a|b b|b b|2 3|b b|21 3(3) (1，t)(2,2)(3,2t)AB AOOB ABO90，0，即 232(2t)0，AB OB t5.(4)法一：由题意可知，.因ACAB ADBE 1 2AB AD为1，所以()1，ACBE AB AD1 2ABAD 即221.AD1 2AB AD1 2AB 因为|1，BAD60，AD所以| ，即AB的长为 .AB 1 21 2法二：
8、以A为原点，AB为x轴建立如图所示的直角坐标系，过D作DMAB于点M.由AD1，BAD60，可知AM ，DM.1 232设|AB|m(m0)，则B(m,0)，C，D.(m1 2，32)(1 2，32)因为E是CD的中点，所以E.(m 21 2，32)所以，.BE (1 21 2m，32)AC(m1 2，32)由1，可得 1，ACBE (m1 2)(1 21 2m)3 4即 2m2m0，所以m0(舍去)或 .1 2故AB的长为 .1 24答案 (1)C (2) (3)5 (4)1 31 2平面向量的夹角与模问题的常见类型及解题策略(1)求两向量的夹角cos ，要注意0，a ab b |a a|b
9、 b| (2)两向量垂直的应用两非零向量垂直的充要条件是： a ab ba ab b0|a ab b|a ab b|. (3)求向量的模利用数量积求解长度问题的处理方法有： a a2a aa a|a a|2或|a a|.a aa a |a ab b|.a ab b2a a2 2a ab bb b2 若a a(x，y)，则|a a|.x2y21若a a(1,2)，b b(1，1)，则 2a ab b与a ab b的夹角等于( )A B. C. D. 4 6 43 4 解析：选 C 2a ab b2(1,2)(1，1)(3,3)， a ab b(1,2)(1，1)(0,3)，(2a ab b)(a
10、 ab b)9， |2a ab b|3，|a ab b|3.2 设所求两向量夹角为，则 cos ，又0，故.93 2 322 4 2已知a a与b b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a ab b与向量ka ab b垂直， 则k_. 解析：a a与b b是不共线的单位向量，|a a|b b|1. 又ka ab b与a ab b垂直，(a ab b)(ka ab b)0， 即ka a2ka ab ba ab bb b20. k1ka ab ba ab b0， 即k1kcos cos 0(为a a与b b的夹角) (k1)(1cos )0， 又a a与b b不共线， cos 1，k1. 答案
11、：1 3已知平面向量，|1，(2,0)，(2)，则|2|的值 为_ 解析：(2,0)，|2， 又(2)， (2)22120. .1 2 (2)2422444210. |2|.10 答案：10考点三平面向量数量积的应用 例 3 (2013江苏高考)已知向量a a(cos ，sin )，b b(cos ，sin )，50，所以1 2，.5 6 6【方法规律方法规律】 平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立 等，得到三角函数的关系式，然后求解 (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表
12、达形式， 解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.设向量a a(4cos ，sin )，b b(sin ，4cos )，c c(cos ，4sin ) (1)若a a与b b2c c垂直，求 tan()的值； (2)求|b bc c|的最大值； (3)若 tan tan 16，求证：a ab b. 解：(1)由a a与b b2c c垂直， 得a a(b b2c c)a ab b2a ac c0， 即 4sin()8cos()0，tan()2. (2)b bc c(sin cos ，4cos 4sin )， |b bc c|2sin22sin cos cos216cos232cos sin 16sin21730sin cos 1715sin 2，故最大值为 32，所以|b bc c|的最 大值为 4.2 (3)证明：由 tan tan 16，得 sin sin 16cos cos ，即 4cos 4cos sin sin 0，所以a ab b. 课堂归纳通法领悟 1 个条件两个非零向量垂直的充要条件两个非零向量垂直的充要条件为：a ab ba ab b0. 2 个结论与向量夹角有关的两个结论 (1)若a ab b0，则a a与b b的夹角为锐角或 0； (2)若a ab
