《全国高中数学联赛二试试题及答案解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国高中数学联赛二试试题及答案解析（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2010 年全国高中数学联合竞赛加试年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准（试题参考答案及评分标准（A 卷）卷） 说明：说明： 1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分 标准适当划分档次评分，如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分 标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不要增加其他中间档次。分为一个档次，不要增加其他中间档次。 一、 （本题满分一、 （本题满分 40 分）分） 如图，锐角三角形 AB
2、C 的外心为 O，K 是边 BC 上一点（不是边 BC 的中点） ，D 是线 段 AK 延长线上一点， 直线 BD 与 AC 交于点 N， 直线 CD 与 AB 交于点 M 求证： 若 OKMN， 则 A，B，D，C 四点共圆 证明证明：用反证法若 A，B，D，C 不四点共圆，设 三角形 ABC 的外接圆与 AD 交于点 E，连接 BE 并延长交 直线 AN 于点 Q， 连接 CE 并延长交直线 AM 于点 P， 连接 PQ 因为2PK =P 的幂（关于O）+K 的幂（关于O） () ()2222POrKOr=+， 同理 () ()22222QKQOrKOr=+， 所以 2222POPKQOQ
3、K=， 故 OKPQ （10 分） 由题设，OKMN，所以 PQMN，于是 AQAP QNPM= 由梅内劳斯（Menelaus）定理，得 1NB DE AQ BD EA QN=， 1MC DEAP CDEA PM= 由，可得 NBMC BDCD=， （30 分） 所以NDMD BDDC=， 故DMN DCB， 于是DMNDCB= ， 所以BCMN， 故OKBC，即 K 为 BC 的中点，矛盾！从而, ,A B D C四点共圆. （40 分） EQPON MKDCBA注 1：“2PK =P 的幂（关于O）+K 的幂（关于O）”的证明：延长 PK 至点 F，使得 PK KFAK KE=， 则 P，
4、E，F，A 四点共圆，故 PFEPAEBCE= = ， 从而 E，C，F，K 四点共圆，于是 PK PFPE PC=， -，得 2PKPE PCAK KE= =P 的幂（关于O）+K 的幂（关于O） 注 2：若点 E 在线段 AD 的延长线上，完全类似 二、 （本题满分二、 （本题满分 40 分）分） 设 k 是给定的正整数，1 2rk=+记(1)( )( )frf rr r= ，( )( )lfr = (1)( ),2lf frl证明：存在正整数 m，使得()( )mfr为一个整数这里，x 表示不小于实数 x 的最小整数，例如：112 = ，11= 证明证明： 记2( )v n表示正整数 n
5、 所含的 2 的幂次 则当2( ) 1mv k=+时，()( )mfr为整数 下面我们对2( )v kv=用数学归纳法 当0v=时， k 为奇数，1k+为偶数， 此时()111( )1222f rkkkk=+=+为整数 （10 分) 假设命题对1(1)vv成立 对于1v ，设 k 的二进制表示具有形式 12 12222vvv vvk+ +=+?， FEQPON MKDCBA这里，0i=或者 1，1,2,ivv=+? （20 分) 于是 ()111( )1222f rkkkk=+=+21 22kkk=+ 112 11212(1) 2() 222vvvv vvv+ +=+? 1 2k=+， 这里1
6、12 1122(1) 2() 22vvvv vvvk+ + =+? 显然k中所含的 2 的幂次为1v故由归纳假设知，1 2rk=+经过 f 的 v 次迭代得到整数，由知，(1)( )vfr+是一个整数，这就完成了归纳证明 （40 分） 三、 （本题满分三、 （本题满分 50 分）分） 给定整数2n，设正实数12,na aa?满足1,1,2,kakn=?，记 12,1,2,k kaaaAknk+=? 求证： 111 2nnkk kknaA=时，有max,xyx y，此时 2 2 221 2 02nijni ni jC = 代入式中，得 ()()2 2222 2222122 2 000044222
7、nninnijiniini nninn ijiiCCCC = =0022( 1)(2 1)(2 1)nn kn kkn kknn nn kkCC=+=+31n=+ （40 分） 当 n 为偶数时，若2ni ，则式仍然成立；若2ni =，则正 n 边形的所有边都标记 a，此时只有一种标记方法于是，当 n 为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为 2 22 22 2 004nniij nni ijCC = =()12 2210412nini n iC = +()2 221024233ninin n iC =+=+ 综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当 n 为奇数时有31n+种；当n 为偶数时有33n+种 （50 分）
