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1、 阅读或引用文献时要有质疑精神阅读或引用文献时要有质疑精神 甘志国(发表于中学数学教学2016(3)：61-64) 1 “三十年备一课”中的错误“三十年备一课”中的错误当正整数当正整数 n=？时，？时，4 729 494n+1 可以是完全平方数可以是完全平方数 文献1第 23 页的第 4.1 节“三十年备一课”中引用了文献2中的一个例子： 当nN*时，( )f n=4 729 494n+1 的值能是完全平方数吗？ 依次令1,2,3,n 50 549 485 234 315 033 074 477 819 735 540 408 986 339 时，( )f n的值均不是完全平方数. 由此似乎可
2、以下结论：当nN*时，( )f n=4 729 494n+1 的值均不是完全平方数. 但是，当 n 的值再增加 1 即当n 50 549 485 234 315 033 074 477 819 735 540 408 986 340 时，( )f n=109 931 986 732 829 734 979 866 232 821 433 543 901 088 049 却是一个 45 位数的完全平方数. 文献1还说： 引用该例的目的是通过“大数字”的视角冲击，从数学知识的角度再次强调用数学归纳 法解题时，两个步骤缺一不可.同时该例也很有趣，可以活跃课堂气氛. 可以说最近一次上这节课(2015
3、年 6 月在上海市光明中学为在该校研修的天津市部分骨 干教师上的展示课)积累了笔者 30 年的经验，虽然不敢说这样就能上好，但至少态度是认真 的. 说 30 年备一节课似乎有点夸张， 其实是在 30 年前的基础上， 每次上这一课都把自己最 近的想法再结合学生的情况在前一次教学的基础上修修改改. 笔者发现，文献1,2中叙述的结论是错误的： 由恒等式 2(1)(1) 1xxx 可知： 当n 4 729 492 时，( )f n=4 729 4944 729 492+1=4 729 4932是完全平方数； 当n 4 729 496 时，( )f n=4 729 4944 729 496+1=4 72
4、9 4952也是完全平方数. 全国初等数学研究会第三届理事会第五次常务理事扩大会议于 2015 年 7 月 15、 16 日在 北京召开，笔者与文献1的作者文卫星老师都参加了这次会议. 笔者多次拜读过文老师在刊物上发表的文章，受益匪浅.在会议之余，笔者与文老师聊 了很多， 了解到文老师早年从江苏省来到上海市的重点中学(七宝中学)任教， 由于工作认真、 业绩突出，较快的评上了特级教师. 虽然文老师“三十年备一课” ，但仍然出现了瑕疵(“玉有瑕疵也斑斓”)，这说明老师 在备课时要“认真认真再认真” ，引用文献中的结论时对该结论要尽可能的给予验证(要有质 疑的态度，不可以讹传讹)；学生在听课时也要有
5、质疑的态度. 2 1240102 . 12吗？吗？ 中国初等数学权威期刊 数学通报 (中国数学会与北京师范大学主办)2002 年第 1 期发表了文章引无数英雄竟折腰的13 x猜想3，该文第五段是： “这是偶然的巧合吗？无论用手工计算还是计算机检验，人们都发现上述结论是对的.如日本东京大学米田信夫验算402x(大约是 12000 亿)以下所有的自然数，答案都是 1.自然数有无限多个，对一切自然数13 x问题都成立吗？” 文献4末也写到： “到目前为止，数学家已借助电子计算机验证了1240102 . 12以内的自然数对叙拉古猜想(即13 x问题)均成立.究竟何时才能完全解决这个问题？也许要留待二十
6、一世纪的 数学家来作出回答.” 笔者发现，早年叙述著名的13 x问题(也叫13 x猜想、叙拉古猜想、科拉兹猜想、角谷猜想、哈塞猜想)时都有“1240102 . 12(也即约为 12000 亿)”的叙述，实际上，这是不对的，误差太大：使用一下电脑上的计算器(科学型)或者笔算，均可得 )101 . 1(776109951162721240 所以，以上错误应尽早更正. 3 修正一处关于祖率修正一处关于祖率113355的叙述的叙述 近日笔者读到专著5第 11 页第二段末的叙述： “用它(指祖率113355)来进行计算，如果圆的直径为十公里， 所得的圆周长只比真值小不到 3 毫米.” “祖率113355
7、”果真有如此精确吗？我们不妨来算一算. (1)按“祖率113355”来计算直径为十公里(即710毫米)的圆的周长大约是 03539831415929.2101133557(毫米) (2) 按 精 确 值 “3.14159265358979” ( 见 文 献 6 第121页 或 网 络http:/ 73.141592653589791031415926.5358979(毫米) 因为 31415929.203539831415926.53589792.6676413 所以专著5中的上述叙述是错误的，应修正为： “用它(指祖率113355)来进行计算，如果圆的直径为十公里，所得的圆周长只比真值大不到
8、 3 毫米.” 普通高中课程标准实验教科书数学选修 3-1(数学史选讲)A 版(人民教育出版社 2007 年第 2 版)第 34 页第一行也是这样写的. 但我们看到了祖率113355是很精确的.祖冲之(429-500)是这样推算圆周率的：用一个直径为一丈的圆， 一直推算到圆内接正 24576 边形， 终于得出精确到八位有效数字的近似 值.为了获得这一结果，需要对九位数字的数进行 130 次以上的各种运算，其中包括乘方和 开方运算近 50 次，有效数字多达 18 位.这样的计算即使用纸和笔来进行也是很繁杂的.何况 在祖冲之那个时代还没有我们今天使用的阿拉伯数字，不能用纸笔计算.当时的运算工具是
9、用竹子和其他材料制成的小棍，叫做算筹.可以想象用这种方式计算圆周率，需要付出多么 巨大的劳动， 要有多么精细严密的作风和刻苦探求的毅力！ 科学的方法和辛勤的工作带来了 丰硕的成果，祖冲之发现的圆周率在世界数学史上处于遥遥领先的地位.直到一千年后，才 由 15 世纪的阿拉伯数学家阿尔卡西(?-1429)和 16 世纪的法国数学家维叶特(Viete，1540-1603)求出更精确的数值.5,7 9还有许多人计算过更精确的圆周率.比如十六世纪德国有个叫卢道尔夫的人，他几乎花 费了毕生的精力，把圆周率算到了小数点后面 35 位.他嘱咐他的孩子，在他死后，要把他计 算的圆周率刻在他的墓碑上.他计算的圆周
10、率为： 3.14159265358979323846264338327950288 现在用电子计算机，可以把圆周率的数值算到几十万位.其实，把圆周率的数值没完没 了地算下去，并没有什么使用价值.我们要计算地球赤道的周长，要求误差不超过一厘米， 只要把圆周率取到小数点后面第九位就够了. 因为通常认为地球的半径是 6371km810371. 6cm，所以地球赤道的周长是 810371. 62cm 若把圆周率取到小数点后面第九位(应按四舍五入法来取)，算得地球赤道的周长是 82 3.141592654 6.371 10cm 所以误差是 82(3.141592654) 6.371 102 0.0410
11、2066.3710.522681 (cm) 4 数学家数学家很可能没有提出过这些猜想很可能没有提出过这些猜想 文献10写道： 我们知道，当 m2 时，欧拉函数111 11( )(1)(1)k kkmpppp，其中 1 1(k kimppp是互不相同的素数，iN*,1,ik) 关于)(m，有一个迄今未得证实的猜想，不存在满足( )1mm的合数 m，这是半世纪前莱梅(Lehmer)提出的. 下面的定理 1 说明了这个猜想成立. 定理定理 1 当 m2 时，( )1mm(当且仅当 m 是素数时取等号). 证明证明 当1,kaa R,2k时，有11(1)(1) 1.kkaaaa 当1,kaa R时，有
12、11(1)(1) 1 kkaaaa(当且仅当 k=1 时取等号). 由此，得 11 11(1)(1)1(kk kkippppp是互不相同的素数，iN*,1,ik)(当且仅当 k=1 时取等号) 设 m 为的形式，得 11(1)1iiii iiiiippppp(当且仅当i=1 时取等号)(ki, 1) 所以 11 111(1)(1)(1)(1)(1)(1)kk kkkpppppp(当且仅当11k时取等号) 又由，得 11 111(1)(1)(1)(1)1kk kkkpppppp(当且仅当 k=1,11 时取等号) 即定理 1 成立. 笔者认为，数学家莱梅(Lehmer)很可能没有提出文献10中叙
13、述的这个猜想：这位数学 家应当很容易解决此猜想. 文献11写道： 著名数学家 Goldbachc 曾提出： “2(32)3mn对于任何整数 m 和 n 的人数都不可能排成方队.”Euler 证明了这个结论，并提出4mnmn人也不能排成方队.但要证明 Euler 的结论就难了. 定理定理 2 若p是41(mmN*)形素数，22 1212( ,p xxx xZ)，则),(21xxp. 证明证明 由 Fermata 小定理(若 q 是素数，aZ，则pq aa)，可得11xxpp，所以2 11 1xxpp. 同理有2 21 2xxpp，所以)()(2 22 11 21 1xxxxppp. 再由题设2
14、22 1xxp，得21 2 221 2 22 22 1)()( pp xxxxp. 又由212p，得21 2 2)(2p xp，所以2xp.进而可得欲证结论成立. 下面用定理 2 来证明上段话中的两个猜想均正确： (1)方程22(32)3mnt 没有整数解. 证明证明 假设该方程有整数解( , , )m n t，可得 222(33)3mnnt 223 nt 由定理 2，得3 ( , )n t，所以2229,9nnt. 再由原方程，得9 3.这不可能，所以假设错误，即欲证结论成立. (2)方程24mnmnt没有正整数解. 证明证明 原方程即2(41)(41)(2 )1mnt，假设它有正整数解，得
15、241(2 )1mt. 因为41(mmN*)有41(kkN*)型素因数 p，所以由定理 2 得1p. 这不可能，所以假设错误，即欲证结论成立. 笔者认为，大数学家 Goldbachc 和 Euler 对于如此简单的猜想不可能不会证明. 5 阅读或引用文献时要有质疑精神阅读或引用文献时要有质疑精神 我们在阅读或引用文献时要有质疑精神： 首先，我们要弄懂阅读或引用的文献，尽可能的推算，判断它们的正确性，自己没弄明 白的文献(哪怕是权威的文献)引用时要谨慎； 其次， 若阅读或引用的文献又是从别处引用的， 要尽可能的查到原文献，防止引用的过程中出现错误；最后，要有质疑的精神，对阅读或引 用的文献，要研究它们是否正确，能否简化和推广等等. 在这方面，中国古代杰出的布衣数学大师刘徽(约 225约 295)堪称典范12： 刘徽的治学思想，也倍受
