基于文化视角的高中教学抽象概念教学设计——以数列极限“ε-N”定义为例

《基于文化视角的高中教学抽象概念教学设计——以数列极限“ε-N”定义为例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《基于文化视角的高中教学抽象概念教学设计——以数列极限“ε-N”定义为例（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、2 0 1 7 年 第 9 期中 学 数 学 月 刊 23 基 于 文 化 视 角 的 高 中 教 学 抽 象 概 念 教 学 设 计 以 数 列 极 限 ” 定义为例郑 雪 静 陈 清 华 （ 福建师范大学数学与计算机科学学院350117)据悉， 正在修订的 普通高中数学课程标准 选 修 n 的 A 课程对微积分中数列极限的教学要1 71求是：通过典型收敛数列一 -一 - 0 ， 1， 狇“狀 狀 十 丄0(|狇| 0 ) 的极限过程， 建立并 理 解 数 列 极 限 的 定 义 . 数 列 极 限 的 形式化定义， 是一个高度抽象的概念， 这将会是高 中数学中学生难以理解和掌握的概念之一，

2、 也是 教师教学的难点， 直接讲授这一概念， 学习过程比 较枯燥， 教学效果往往也不理想. 高中教学对极限概念的处理方式一般是直接 降低难度， 只给出数列极限定义的直观描述， 只展 现教科书中概念“ 冰冷美丽”的一面.张奠宙教授 指出：中学学习微积分， 是否可以有另一种思路， 把微积分当作文化来学习.1新一轮高中课程改 革强调重视数学文化的渗透， 在数学学习过程中 培 养 学 生 的 数 学 核 心 素 养 . 数 列 极 限 定 义 蕴含着丰富的知识、 文化、 辩证思想在里面.本文 基 于 文 化 视 角 对 数 列 极 限 定 义 进 行 教 学 设 计 ， 旨在将抽象概念通俗化， 让学生

3、了解数列极限 的 定 义 形 成 和 发 展 的 过 程 ， 感受教科书“ 冰 冷美丽”背后的“ 火热思考” ， 从欣赏的角度理解 数列极限的定义.1 数 列 极 限 “- -N ”定义的建立1 1.1 古代数列极限思想的萌芽与应用1 古代数列极限思想的萌芽与应用 先给出两个引例.引 例 1 引 例 1 用多媒体动画演示春秋战国时期的 哲学家庄周在 庄子天下篇中对“ 截丈问题” 的一句名言：一尺之棰，日取其半，万世不竭.”2 接着用数学符号表示每天截取一半所余下的尺数， 它是一个无穷等比数列： 1， 2 ， 2 ， 23， ， 2狀 ， 从而让学生直观感受一越来越接近0,但永远不等于0 的“

4、万世不竭”的境界， 体会一个无限变 化过程归于0 的过程. 引例2 引例2 介绍我国古代数学家刘徽用极限思想研究几何问题的方法割圆术.他说：割之 弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆 周合体无所失矣.” 通过动画模拟割圆术， 即利用 圆的内接正多边形的面积来逼近圆的面积， 让学 生深刻地感受当正多边形的边数狀无限增大时， 内接正多边形的面积A 狀无限接近于圆的面积， 即“ 与圆周合体而无所失矣”这一无限趋近的 过程.设计意图 通过两个感性的材料，引起学生 的概念意象.引例1 让学生感受直观的极限思想， 引例2 让学生体验古代极限思想的应用方法和应 用成就， 从而促进学生形成朴素、 直

5、观的极限观 念， 同时有利于培养学生的数学抽象、 直观想象的 数学核心素养. 1.2 数列极限的描述性定义随着截取的天数狀越来越大， ， 狀越来越接近0,以及随着正多边形的边数狀越来越多， 内接正 多边形的面积越来越接近于圆的面积， 进而给出 数列极限的描述性定义： 一般地， 如果当项数狀无 限增大时， 无穷数列a的项a狀无限接近于某个 常数a ， 那么就说数列a以 a 为极限， 或者说a 是数列 的极限， 记作： Uma狀 = a.狀 数学史实数列极限的描述性定义， 是法国 数学家柯西1821年提出的.极限符号“ Hm”是英 语单词“ Umk”的缩写语.数学家西蒙罗依里埃 (L HmHer)

6、 首先使用了这个符号， 但其明确的含 义直到19世纪初才由柯西解释清楚.因此， 人们 公认“ Hm” 这个符号为柯西首次使用.数列极限的描述性定义， 如同我们生活中的 例子：包子当馅趋于零时等于馒头，Hm包子=馒馅 0 头.这种生活化的语言虽然容易理解， 但有时会给 准确理解数学概念带来负面影响3， 不适用于数 学中严格的推理论证.描述性定义中的“ 无限增 大” “ 无限接近” 这种模糊的术语在数学运算中如 何操作却非常困难.这也指出使用严谨的数学语 言给出极限确切定义的必要性.2015年福建省中青年教师教育科研项目“ 基于微课建设的高等数学课程改革理论与实践研究” (项目批准号： JAS15

7、0461)的研究成果. 24 中 学 数 学 月 刊2 0 1 7 年 第 9 期1.3 数列极限的“1.3 数列极限的“HV” 定义” 定义问题1问题1如何用数学语言刻画描述性定义中的 “ 无限增大” “ 无限接近” 这两个无限变化的过程？(1)用数学语言刻画与a 无限接近的变化过程 当 无限增大时， 无限接近于常数a 问题2 问题2 如何用数学方法来衡量两点的接近 程度？ 两个实数之间的接近程度， 可以用这两个数 之间的距离来度量.因此， 1) 当 无限增大时， 无限接近于常数a 可 以理解为I 一 a I 无限接近于常数0. 2) 当 无限增大时， |， 一，|无限接近于常 数 0,可以

8、理解为， 一，I可以任意小， 要多小就 可以有多小. 问题3 问题3 怎样表达要多小就可以有多小？用 什么量来刻画？误差的英文单词是“ error” . 因此， 以单词的 第一个字母(大写） E 的变形e 来表示， 也即： 当 增大到一定程度以后，无限接近于常数， ， 可以 刻画为I一，I 可以小于事先给定的任意小的 正数 e， 即 |， 一，| 0,满足不等式I a一 aI 100,那V 狀 / 狀 丄 00么数列从第101项起后的一切项才能使上式成立.再如给定,1 000，要使( + 狀 卜 1Sn1 000,那么数列从第1 001项起后的一切项才能使上式成立.问题问题4 I a狀 一 a

9、 I时的一S a ， 不等式I a狀狀一a I 0, n m 3 N e N* ， 当 n N 时， 有 I an a I e. .设计意图 设计意图 引导学生由直观的描述过渡到用简明的符号语言准确表达， 由动态的描述性定义向 静 态 的 定 义 过 渡 和 转 化 ， 培养学生数学抽 象、 逻辑推理的数学核心素养. .使学生了解到这就 是德国数学家维尔斯特拉斯（Weierstrass)给出的 著名的定义， 它 使 一个模糊不清的动态描 述 ， 变成为一个严密叙述的静态观念， 这是变量数 学史上的一次重大创新. .虽然它没有建立在运动 和 直 观 基 础上的描述性定义那么易于理解， 但这 种更

10、准确、 更清晰的数学语言表述， 体现出了数学 概念的抽象性，越抽象越远离原型，越能精确地反 映原型的本质. .今 天 “e-N ”语言的精髓已经深入 到现代数学的每一根血管， 牵动着每一根神经4 . .1.4 介绍极限概念发展的简要历程1.4 介绍极限概念发展的简要历程历史上， 极限概念的发展历程一般分为三个 阶段5 . . 第一阶段是极限概念的萌芽阶段， 这可以追 逆到古希腊时期和中国古代， 分别以古希腊数学 家、 哲学家芝诺， 魏晋时期数学家刘徽和南北朝时 期数学家、 天文学家祖冲之等为代表. .这一阶段， 没有明确提出极限这一概念. .第二阶段是极限概念的发展阶段， 这大致在 16、 1

11、7世纪， 牛顿和莱布尼茨建立的微积分对极 限思想的深层次发展起到了促进作用， 但这一阶 段没有对极限进行严格的定义. .极限概念真正意 义上首次出现在英国数学家、 物理学家沃利斯 (Walls) 的 无穷算术 一书中， 牛顿在其 自然哲 学的数学原理 一书中明确使用了极限这个词语 并作了阐述. . 第三阶段是极限概念的完善阶段， 这主要是 在 19世纪， 由法国数学家柯西在前人工作的基础 上 ， 比较完整地阐述了极限的概念及其理论， 最先 给出了极限的描述性定义. .之后， 德国数学家魏尔 斯特拉斯给出了极限静态的严格“ e-N ” 定义. .设计意图 设计意图 让学生了解极限概念形成过程是相

12、当长久的， 它的发展以及完善依赖于多位数 学家的刻苦研究， 让学生看到教材中看不到的历2 0 1 7 年 第 9 期中 学 数 学 月 刊 25 史事实， 让学生明白知识的来龙去脉， 从而较全面 地了解极限概念相关的文化背景， 以此培养学生 的数学文化素养.1 1.5 动画演示5 动画演示，感受诗词中的极限意境感受诗词中的极限意境将唐代诗人李白的诗 黄鹤楼送孟浩然之广 陵“ 故人西辞黄鹤楼， 烟花三月下扬州.孤帆远 影碧空尽， 唯见长江天际流.”配上背景音乐， 用 动画演示江上的一艘帆船渐渐远去， 直至消失的 场景， 让学生感受这一场景， 体会一个变量趋于0 的动态极限意境6. 数 列 极 限

13、 定 义 的 教 学 设 计 就 此 告 一 段 落， 下面是相应例题的讲解， 这里从略.2 教学理念与方法以上的教学设计， 笔者主要基于以下的理念 和方法展开. 2.1 基 于2.1 基 于HPM的教学的教学 HPM是 美 国 的 P. S. Jones和 英 国 的 L. Rogers组织成立的数学史与数学教学关系国际 研究小组的简称.基于HPM的教学， 通过庄周在 庄子天下篇 的截丈问题、 刘徽的割圆术、 极限 概念发展历程的介绍， 将与教学相关的数学史内 容有效地融人到教学中， 让学生了解极限概念相 关的文化背景， 让学生感受数列极限概念的建立 经历了相当长的时间， 是几代数学家刻苦研

14、究的 结晶， 从而进行人文精神的渗透. 2.2 加强辩证思想培养的教学2.2 加强辩证思想培养的教学一尺之棰和圆的面积是客观存在的、 有限的， 但“ 截取” 和“ 割圆”的过程是可以无限进行的.人 们的客观实践永远也不可能完成无限的过程， 但 是人们的认识总要发展， 不能停留在有限过程上， 这体现了有限与无限的辩证统一思想.同时， 在数 列 极 限 的 定 义 中 与 是 一 个 无 限 逼 近 的过程， 但在逼近的过程中又看成是有限的； I a |趋向于0是一个无限变化的过程， 这个 过程通过可以任意小的正数： 来刻画， ： 是任意的 又是确定的；N 对：的依赖关系等.这些蕴涵着通 过有限认

15、识无限、 以不变应万变、 以静制动、 以近 似认识精确的辩证观点， 教学中注意揭示这些本 质、 内涵， 有助于培养学生的辩证思想. 2.3 以问题促进抽象概念通俗化的教学2.3 以问题促进抽象概念通俗化的教学 数列极限概念中涉及“ 无限增大” “ 无限接近”等抽象的模糊术语， 通过一系列问题， 将抽象的数 列极限概念分解为较容易理解的数学问题， 化整 为零.比如， 如何用数学方法来衡量两点的接近程 度？怎么表达要多小就可以有多小， 用什么量来刻画？如何用数学语言表达“ 随着 无限增大” 时 I心一 a 1 ，成立的前提？教学过程中逐步引 导学生由定性描述过渡到定量描述， 让学生体会 怎样由模糊不清的动态描述变成一个严密叙述的 静态观念，从而完整、严格、准确、简明地建立数列 极 限 的 定 义.2.4 从欣赏的角度进行教学2.4 从欣赏的角度进行教学“ 诗歌中有数学， 数学中有诗歌.把诗歌中的 数学意境呈现出来， 使学生产生共鸣， 帮助学生感 受、 体验和欣赏数学冰冷形式后面的美丽.” 7通 过欣赏 黄鹤楼送孟浩然之广陵 ， 让学生感受到 学习数列极限概念不再那么枯燥， 也能从诗歌当 中感受到那动人心弦的极限意境， 让学生从欣赏 的角度理解数学. 2.5 利用多媒体辅助教学2.5 利用多媒体辅助教学随着现代教育技术的发展， 根据教学内容合 理有