三江ch1函数与连续2013

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1、高等数学(上册）南京林业大学理学院 许永平分析基础础 函数 极限 连续连续 研究对象 研究方法 研究桥梁第一章 函数与极限第一节节 映射与函数元素 a 属于集合 M , 记作元素 a 不属于集合 M , 记作一、 集合1. 定义义及表示法定义义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集 , 记作 . ( 或) .注: M 为数集 表示 M 中排除 0 的集 ;表示 M 中排除 0 与负数的集 .表示法： (1) 列举法 ：按某种方式列出集合中的全体元素 .例: 有限集合自然数集(2) 描述法： x 所具有的特征例: 整数集合或有理数集p 与

2、 q 互 质 实数集合x 为有理数或无理数开区间闭区间无限区间半开区间间点的 邻邻 域其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .去心 邻邻域左 邻邻域 :右 邻邻域 :是 B 的子集 , 或称 B 包含 A ,2. 集合的运算定义义2 .则称 A若且则称 A 与 B 相等,例如 ,显然有下列关系 :, ,若设有集合记作记作必有定义义 3 . 给给定两个集合 A, B, 并集交集且差集且定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集或二、 映射1. 映射的概念 某校学生的集合学号的集合 按一定规则查规则查 号某班学生的集合某教室座位 的集合 按一定规则规则 入座引例1. 定义义4. 设 X

3、 , Y 是两个非空集合,若存在一个对应规则 f ,使得有唯一确定的与之对应 ,则称 f 为从 X 到 Y 的映射,记作元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 ,记作元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 .集合 X 称为映射 f 的定义义域 ;Y 的子集称为 f 的 值值域 .注意: 1) 映射的三要素 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . 对映射若, 则称 f 为满满射; 若有 则称 f 为单单射;若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射 或一一映射. X (数集 或点集 ) 说说明:在不同数学分支中有不同的

4、惯用 X ( ) Y (数集) f 称为X 上的泛函X ( ) X f 称为X 上的变换 R f 称为定义在 X 上的为函数映射又称为算子. 名称. 例如, 2. 逆映射与复合映射 (1) 逆映射的定义 定义义:若映射为单射,则存在一新映射使习惯上 ,的逆映射记成例如, 映射其逆映射为其中称此映射为 f 的逆映射 .定义义. 则当由上述映射链可定义由 D 到 Y 的 复设有映射链记作合映射 ,时,或注意: 构成复合映射的条件 不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.定义域三、函数1. 函数的概念 定义义4. 设数集则称映射为定义在D 上的函数 , 记为f ( D ) 称为值域 函数图图形:自

5、变量因变量例如, 反正弦主值 定义义域 对应规对应规 律的表示方法: 解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题 都有意义的自变量集合.定义域值域又如, 绝对值 函数定义域值 域例4. 已知函数求 及解:函数无定义并写出定义域及值域 .定义域 值 域 2. 函数的几种特性设函数且有区间(1) 有界性使称 使称 说说明: 还可定义有上界、有下界、无界 为有界函数.在 I 上有界. 使若对任意正数 M , 均存在 则称 f ( x ) 无界.时，若称为 I 上的单调增函数 ;(2) 单调单调 性单调减函数 .(3) 奇偶性 且有若则称 f (x) 为偶函数;若则称 f (x) 为奇函数 . 说说明:

6、 若在 x = 0 有定义 ,为奇函数时,则当必有例如,偶函数双曲余弦 记又如 ,奇函数双曲正弦 记再如,奇函数双曲正切 记(4) 周期性且则称为周期函数 ,若称 l 为周期( 一般指最小正周期 ).周期为 周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 .例如, 常量函数 狄里克雷函数x 为有理数x 为无理数3. 反函数与复合函数(1) 反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为 f 的反函数 .其反函数(减)(减) .1) yf (x) 单调递 增且也单调递 增 性质: 2) 函数与其反函数的图形关于直线对称 .例如 ,对数函数互为反函数 ,它们都单调递 增,其

7、图形关于直线对称 .指数函数(2) 复合函 数 则设有函数链称为由, 确定的复合函数 , 复合映射的特例 u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 不可少. 例如, 函数链 :函数但函数链不能构成复合函数 .可定义复合两个以上函数也可构成复合函数. 例如, 可定义复合函数:4. 初等函数(1) 基本初等函数幂函数、 指数函数、 对数函数 、三角函数、 反三角函数(2) 初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数 . 例如 ,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合 步骤所构成 ,称为初等函数 .可表为故为初等函数.又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .( 自学,

8、P17 P20 )非初等函数举举例:符号函数当 x 0当 x = 0 当 x N 时 ,用其内接正 n 边形的面积总有定义义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项) .若数列及常数 a 有下列关系 :当 n N 时,总有记作此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .几何解释 :即或则称该数列的极限为 a ,例如,趋势不定收 敛发 散例1. 已知证明数列的极限为1.证证: 欲使即只要因此 , 取则当时, 就有故例2 设设证明等比数列证证:欲使只要即亦即因此 , 取, 则当 n N 时,就有故的极限为 0 . 二、收敛敛数列的性质质证证: 用反证法.及且取因故存在 N1 , 从而同理

9、, 因故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有1. 收敛敛数列的极限唯一.使当 n N1 时, 假设从而因此收敛数列的极限必唯一.故假设不真 !例4. 证证明数列是发散的.证证: 用反证法.假设数列收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .取则存在 N ,但因交替取值 1 与1 , 内,而此二数不可能同时落在长度为 1 的开区间 使当 n N 时 , 有因此该数列发散 .2. 收敛敛数列一定有界.证证: 设取则当时, 从而有取 则有由此证明收敛数列必有界.说说明: 此性质反过来不一定成立 .例如,虽有界但不收敛 .有数列3. 收敛敛数列的保号性.若且时, 有证证: 对 a 0 ,取推论论:若数列从

10、某项起(用反证法证明)*4. 收敛敛数列的任一子数列收敛敛于同一极限 . 证证: 设数列是数列的任一子数列 .若则当 时, 有现取正整数 K , 使于是当时, 有从而有由此证明 *三、极限存在准则则由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极限 ,例如， 发散 !夹逼准则; 单调有界准则; 柯西审敛准则 .则原数列一定发散 .说说明: 1. 夹夹逼准则则 (准则则1) (P.50)证证: 由条件 (2) ,当时,当时, 令则当时, 有由条件 (1)得即故 例5. 证证明证证: 利用夹逼准则 .且由2. 单调单调 有界数列必有极限 ( 准则则2 ) ( P.52 ) ( 证明略 )例6.

11、设设证明数列极限存在 . (P53P55)证证: 利用二项式公式 , 有大 大 正又比较可知根据准则则 2 可知数 列 记此极限为 e ,e 为无理数 , 其值为即有极限 .又故极限存在，例7 设 , 且求解：设则由递推公式有数列单调递 减有下界，故利用极限存在准则一、自变变量趋趋于有限值时值时 函数的极限自变变量变变化过过程的六种形式:二、自变变量趋趋于无穷穷大时时函数的极限本节节内容 :第三节函数的极限 一、自变变量趋趋于有限值时值时 函数的极限1. 时时函数极限的定义义引例. 测量正方形面积.面积为A )边长为(真值:边长面积直接观测值间接观测值任给精度 ,要求确定直接观测值 精度 :定

12、义义1 . 设设函 数在点的某去心邻域内有定义 ,当时, 有则称常数 A 为函数当时的极限,或即当 时, 有若记作几何解释释:极限存在 函数局部有界这表明: 例1. 证证明证证:故对任意的当时 , 因此总有例2. 证证明证证:欲使取则当时 , 必有因此只要例3. 证证明证证:故取当时 , 必有因此2. 保号性定理 定理1 . 若且 A 0 ,证证: 已知即当时, 有当 A 0 时 , 取正数则在对应的邻 域上( 0 ,一切满足不等式的 x , 总有则称函数当时为无穷大,使对若在定义中将 式改为则记作(正数 X ) ,记作总存在注意:1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.2. 函数

13、为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !例如, 函数当但所以时 ,不是无穷大 !例 . 证证明证证: 任给正数 M ,要使即只要取则对满 足的一切 x , 有所以若 则直线为曲线的铅直渐近线 .渐近线说说明 :三、无穷穷小与无穷穷大的关系若为无穷大,为无穷小 ;若为无穷小, 且则为无穷大.则(自证)据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理2. 在自变量的同一变化过程中,说说明:二、 极限的四则则运算法则则 三、 复合函数的极限运算法则则 一 、无穷穷小运算法则则 第五节 极限运算法则时, 有一、 无穷穷小运算法则则定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .证证: 考虑两个无

14、穷小的和 .设当时 , 有当时 , 有取则当因此这说明当时,为无穷小量 .说说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !例如，类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 定理2 . 有界函数与无穷穷小的乘积积是无穷穷小 . 证证: 设又设即当时, 有取则当时 , 就有故即是时的无穷小 .例1. 求解: 所以说说明 : y = 0 是的渐近线 .推论论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .二、 极限的四则则运算法则则则有证证: 因则有(其中为无穷小) 于是由定理 1 可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理 , 知定理结论成立 .定理 3 . 若

15、推论论: 若且则利用保号性定理证明 .说说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .提示: 令定理 4 . 若则有说说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .推论论 1 .( C 为常数 )推论论 2 .( n 为正整数 )例2. 设 n 次多项式试证证证:为无穷小(详见详见 P44)定理 5 . 若且 B0 , 则有证证: 因有其中设无穷小有界 因此由极限与无穷小关系定理 , 得为无穷小,定理6 . 若则有提示: 因为数列是一种特殊的函数 ,故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .例3. 设设有分式函数其中都是多项式 ,试证: 证证: 说说明: 若不能直接用商的运算法则 .例4.若例5 . 求解: x = 1 时 分母 = 0 , 分子0 , 但因例6 . 求解: 时,分子分子分母同除以则分母原式一般有如下结结果：为非负常数 )三、 复合函数的极限运算法 则则定理7. 设且 x 满足时,又则有证证略。 定理7. 设且 x 满足时,又则有说说明: 若定理中则类似可得例7. 求解: 令已知 原式 =例8 . 求解: 方法 1则令 原式方法 2例9 求解法 1 原式 =解法 2 令则原式 =例10 试试确定常数 a 使解 : 令则故因此例11 设设解:利用前一极限式可令再利用后一极限式 , 得可见