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1、 目 录 第一讲 函数、极限、连续性 . 1 第二讲 导数与微分 . 6 第三讲 微分中值定理及导数的应用 . 9 第四讲 一元函数积分学 . 12 第五讲 微分方程 . 17 第六讲 多元函数微分学 . 20 第七讲 重积分 . 25 第八讲 曲线积分与曲面积分* . 29 第九讲 无穷级数* . 35 2017 考研数学基础精讲内部辅导讲义 1 第一讲 函数、极限、连续性 一、函数 1. 函数 (1)函数的定义 设数集DR， 则称映射:fDR为定义在D上的函数， 简记为( )yf x=，xD，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记为fD，()f D为值域，记为fR. (2)函数定
2、义的两要素：定义域，对应法则. 2. 函数的特性 (1)有界性 若0M，对于Ix，都有Mxf)(，则称)(xf在I上有界. (2)单调性 设函数)(xf的定义域为D，区间DI，若对于Ixx21,，当21xx ，则称)(xf在区间I上单调增加(单调减少). (3)奇偶性 设函数的定义域为I，对于Ix，若)()(xfxf=，则称)(xf是奇函数；若 )()(xfxf=，则称)(xf是偶函数. 注： 任何一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和的形式，即：2)()( 2)()()(xfxfxfxfxf+=. (4)周期性 设)(xf的 定 义 域 为I， 若0T， 对 于I
3、x， 使 得)()(xfTxf=+ )(ITx+，则称)(xf为周期函数，T为)(xf的周期，通常周期是指最小正周期. 3. 反函数 设函数:()fDf D是单射，则它存在逆映射1:()ff DD，则称映射1f为函数f的反函数. 注：(1)1 ( )ff xx=，xxff=)(1. (2)单调函数存在反函数，反之不成立. 4. 复合函数 设函数( )yf x=的定义域为fD，函数( )ug x=的定义域为gD，且其值域gfRD，则函数 ( ) ,gyf g xxD=称为由函数( )ug x=与函数( )yf u=构成的复合函数. 注：只有当函数)(xu=的值域与)(ufy=的定义域的交非空时，
4、才能将它们复合成 复合函数. 5. 初等函数 (1)基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数. 2017 考研数学基础精讲内部辅导讲义 2 (2)初等函数： 由常数和五类基本初等函数进行有限次的四则运算和复合构成的可用一个 式子表示的函数. 二、数列极限 1. 数列极限的定义 设 nx为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数，总存在正整数N，使得当nN时，有nxaM，使得n有Mxn. (3)保号性：如果axn n= lim，且0a(或0时，有0nx(或0时，有( )f xAM和0， 使得当A(或0，使得当xf(或0)(A). 推论 1：如果)(lim0xf xx存在，
5、c为常数，则)(lim)(lim00xfcxcf xxxx=. 推论 2：如果)(lim0xf xx存在，而n是正整数，则nxxnxxxfxf = )(lim)(lim00. 4. 函数极限存在的判定准则 (1)夹逼定理 如果函数( )f x，( )g x，( )h x满足： 1)当),(0xUx? 时，( )( )( )g xf xh x； 2)Axg xx= )(lim0，Axh xx= )(lim0， 则)(lim0xf xx存在，且Axf xx= )(lim0. (2)单调有界准则 设)(xf在0x的某左邻域内单调有界，则)(xf在0x的左极限0()f x必定存在. 5. 两个重要极限
6、 (1)1sinlim 0= xxx； 2017 考研数学基础精讲内部辅导讲义 4 (2)exxx=+ 10)1 (lim或1lim 1xxex+=(1lim 1nnen+=). 四、无穷小 1. 无穷小量的定义 如果函数( )f x当0xx(或x )时的极限为零，那么称函数( )f x为当0xx(或 x )时的无穷小. 2. 无穷小的性质 (1)有限个无穷小的和仍是无穷小. (2)有限个无穷小的乘积仍是无穷小. (3)有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 3. 无穷小的比较 设,是在自变量的同一变化过程中的无穷小，且0则： (1)如果0lim=，称是的高阶无穷小，记作：)(o=； (2)如果=l
7、im，称是的低阶无穷小. (3)0lim= c，称是的同阶无穷小； (4)0lim= ck，称是的k阶无穷小. (5)1lim=，称与是等价无穷小，记作：. 4. 等价无穷小替换定理 设在自变量x的同一变化过程中，1，2，1，2都是无穷小， 且21，21，如果A=11lim，则A=1122limlim . 五、函数的连续性 1. 函数的连续性 (1)函数连续的定义 设函数( )f x在点0x的某一邻域内有定义， 如果00lim( )() xxf xf x =， 那么称函数( )f x在点0x连续. (2)函数)(xf在0x处连续)()()(000xfxfxf=+. 2. 间断点及其分类 (1)
8、间断点的定义 若函数( )f x在点0x不连续，则点0x称为函数( )f x的间断点. (2)间断点的分类： 2017 考研数学基础精讲内部辅导讲义 5 =；不存在左、右极限至少有一个第二类间断点；右极限左极限跳跃间断点右极限左极限可去间断点左、右极限都存在第一类间断点间断点)()()()(3. 闭区间上连续函数的性质 (1)有界最值定理 若)(xf在,ba上连续，则它在,ba上有界且一定能取到最大值和最小值，即： 0K， 使得,bax， 有( )f xK， 且1，2 , a b使得mf=)(1，Mf=)(2，其中m，M分别为)(xf在,ba上的最大值和最小值. (2)零点定理 设函数)(xf
9、在,ba上连续，且0)()(u，如果)(),(xvvxuu=都可导，则： lnvvuyuvuu=+. 4. 高阶导数 (1)高阶导数的定义 2 00 20()()lim xfxxfxd ydyd dxdxxdx +=，记为( )fx； ()3 00 30()()( )lim xfxxfxd ydfxdxxdx +=，记为( )fx. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数. (2)n阶导数公式 ()()()(nnnvuvu=，)()(0)()(kknnkk nnvuCuv=. 2017 考研数学基础精讲内部辅导讲义 8 二、微分 1. 函数的微分 设 函 数( )yf x=在 某 区 间 内 有 定
10、 义 ，0x及0xx+在 这 区 间 内 ， 如 果 增 量00()()yf xxf x =+可表示为()yA xox = +其中，A是不依赖于x的常数，那么称函数( )yf x=在点0x是可微的，而A x叫做函数( )yf x=在点0x相应于增量x的微分，记作dy，即dyA x=. 注：函数)(xf在0xx =可导)(xf在0xx =可微)(xf在0xx =连续. 2017 考研数学基础精讲内部辅导讲义 9 第三讲 微分中值定理及导数的应用 一、微分中值定理 1. 罗尔定理 如果函数( )f x满足：(1)在闭区间 , a b上连续；(2)在开区间( , )a b内可导；(3)( )( )f
11、 af b=；则( , )a b ，使得( )0f=. 2. 拉格朗日中值定理 如果函数( )f x满足：(1)在闭区间 , a b上连续；(2)在开区间( , )a b内可导；则 ( , )a b ，使得( )( )( )()f bf afba=. 3. 柯西中值定理 如果函数( )f x及( )g x满足：(1)在闭区间 , a b上连续；(2)在开区间( , )a b内可导；且( )0g x；则( , )a b ，使得( )( )( ) ( )( )( )f bf af g bg ag =. 二、洛比达法则 1. ax时的未定型 设(1)当ax 时，函数)(xf和)(xg都趋于零； (2
12、)在点a的某去心邻域内，)(xf 和)(xg都存在，且0)( xg； (3)()(limxgxfax存在(或为无穷大)， 则)()(lim)()(limxgxf xgxfaxax= . 2. x时的未定型 设(1)当x时，函数)(xf和)(xg都趋于零； (2)当Ax 时，)(xf 和)(xg都存在，且0)( xg； (3)()(limxgxfx存在(或为无穷大)， 则)()(lim)()(limxgxf xgxfxx= . 三、泰勒公式 1. 泰勒中值定理 设)(xf在含有0x的某开区间I内有直到) 1( +n阶导数，则对于xI ，有2017 考研数学基础精讲内部辅导讲义 10 ( )(1) 10 00000()( )( )()()()()()!(1)!nn nnfxff xf xfxxxxxxxnn+ +=+?， 其中介于0x与x之间. 2. 麦克劳林公式 设)(xf在含有0=x的某开区间I内有直到) 1( +n阶导数，则对于xI ，有( )(1) 1(0)()( )(0)(0)!(1)!nn nnffxf xffxxxnn+ +=+? (01) x
