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1、图 图 图 2图NMACEFB 图 图 图3图MNEACFB图 图 图1)NMFAEBC图 图 图3图MNEACFB初三几何证明经典大题1.点 A、B、C 在同一直线上，在直线 AC 的同侧作ABE和BCF，连接 AF，CE取 AF、CE 的中点 M、N，连接 BM，BN， MN(1)若ABE和FBC是等腰直角三角形，且090FBCABE(如图 1)，则MBN是三角形(2)在ABE和BCF中，若 BA=BE,BC=BF,且FBCABE，(如图 2)，则 MBN是三角形，且MBN . (3)若将(2)中的ABE绕点 B 旋转一定角度,(如同 3)，其他条件不变，那么(2)中的结论是否 成立？ 若
2、成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.解：（1）等腰直角 （2）等腰 （3）结论仍然成立 证明： 在ABFEBC和中，BABEABFEBCBFBC ABFEBC.AF=CE. AFB=ECB M,N 分别是 AF、CE 的中点,FM=CN.MFBNCB.BM=BN. MBF=NBC MBN=MBF+FBN=FBN+NBC=FBC= 2.如图，将一三角板放在边长为 1 的正方形 ABCD 上，并使它的 直角顶点 P 在对角线 AC 上滑动，直角的一边始终经过点 B,另一 边与射线 DC 相交于 Q.探究：设 A、P 两点间的距离为 x. (1)当点 Q 在边 CD 上时，线段
3、PQ 与 PB 之间有怎样的数量关系？ 试证明你的猜想； (2)当点 Q 在边 CD 上时，设四边形 PBCQ 的面积为 y，求 y 与 xQPDCBA之间的函数关系，并写出函数自变量 x 的取值范围； (3)当点 P 在线段 AC 上滑动时，PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能,指出所 有能使PCQ 成为等腰三角形的点 Q 的位置.并求出相应的 x 值，如果不可能，试说明理 由.（1） PQ=PB 过 P 点作 MNBC 分别交 AB、DC 于点 M、N在正方形 ABCD 中，AC 为对角线AM=PM 又AB=MNMB=PN BPQ=900 BPMNPQ=900 又MBPBPM =900
4、 MBP= NPQ RtMBPRtNPQ, PB=PQ（2）S四边形 PBCQ=SPBCSPCQ AP=x AM=x 22CQ=CD2NQ =1x2又SPBC=BCBM=1(1x)= -x 21 21 22 21 42SPCQ =CQPN=(1x)(1x)21 21222= 2 21xx423 21S四边形 PBCQ=x1 . (0x) 2 21x222(3)PCQ 可能成为等腰三角形. 当点 P 与点 A 重合时，点 Q 与点 D 重合，PQ=QC ，此时，x=0. 当点 Q 在 DC 的延长线上，且 CP=CQ 时， NMQPDCBA有：QN=AM=PM=，CP=x,x222CN=1 CP
5、22x22CQ=QNCN =（1）x22x22=x12 当 x=1 时 ，x=1 2x23.(1)如图 1，四边形ABCD中，CBAB ，60ABC，120ADC，请你猜想 线段DA、DC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论； (2)如图 2，四边形ABCD中，BCAB ，60ABC，若点P为四边形ABCD内一 点，且120APD，请你猜想线段PA、PD、PC之和与线段BD的数量关系，并证 明你的结论解：（1）如图，延长至，使CDEDADE 可证明是等边三角形 EAD联结，可证明 ACBADCAE故 BDCECDDECDAD（2）如图，在四边形外侧作正三角形，ABCDDBA 图 2图图 1
6、图 2NMQPDCBA可证明，得 CBA ADBDBCB 四边形符合（1）中条件，DPBA PDAPPB联结，CB）若满足题中条件的点在上，PCB则PCBPCB PCPDAPCB PCPDPABD）若满足题中条件的点不在上，PCB ，PCBPCB PCPDAPCB 综上， PCPDPABDPCPDPABD4. (1)如图 1，在四边形 ABCD 中，ABAD，BD90，E、F 分别是边 BC、CD上的点，且EAF=1 2BAD.求证:EFBEFD;FEDCBA(2) 如图 2 在四边形 ABCD 中，ABAD，B+D180，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且EAF=1 2BAD, (1)
7、中的结论是否仍然成立？不用证明. (3) 如图 25-3 在四边形 ABCD 中，ABAD，B+ADC180，E、F 分别是边BC、CD 延长线上的点，且EAF=1 2BAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明. （1）证明：延长 EB 到 G，使 BG=DF，联结 AG. ABGABC=D90, ABAD，ABGADF.AGAF, 12 1+32+3=EAF=12BADGAE=EAF又 AEAE，AEGAEF.EGEF EG=BE+BGEF= BEFD (2) (1)中的结论 EF= BEFD 仍然成立. （3）结论 EF=BEFD 不成
8、立，应当是 EF=BEFD 证明：在 BE 上截取 BG，使 BG=DF，连接 AGB+ADC180,ADF+ADC180，BADFABAD，ABGADF.BAGDAF,AGAF BAG+EADDAF+EAD=EAF =12BADGAE=EAFAEAE，AEGAEF.EGEF EG=BEBG EF=BEFD 5. 以ABC的两边 AB、AC 为腰分别向外作等腰 RtABD和等腰 RtACE，90 ,BADCAE 连接DE，M、N 分别是 BC、DE 的中点探究：AM 与 DE 的位置及数量关系(1)如图 当ABC为直角三角形时，AM 与 DE 的位置关系是 ， 线段 AM 与 DE 的数量关系
9、是 ；(2)将图中的等腰 RtABD绕点 A 沿逆时针方向旋转(090)后，如图所示，(1)问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由解：（1）DEAM ，1 2AMDE （2）结论仍然成立。 证明：如图，延长 CA 至 F，使 FA=AC，FA 交 DE 于点 P，并连结BF Q,BADA AFEA ，90BAFDAFEAD 在FAB与EAD中：DABAEADBAFAEFAFABEAD(SAS) . BF=DE, AENF.90FPDFAPEAEN o.DEFB .又 CA=AF, CM=MB，AM / FB 且 AM=21FBDEAM , AM=21DE 6.在边长为6 的菱形ABCD 中
10、，动点M 从点 A 出发，沿 ABC 向终点 C 运动，连接DM 交 AC 于点 N.（1）如图 1，当点 M 在 AB 边上时，连接 BN.求证： A ABNDN；若ABC = 60 ，AM = 4，ABN =，求点 M 到 AD 的距离；（2）如图 2，若ABC = 90 ，记点 M 运动所经过的路程为 x（6x12）.试问：x 为何值时，ADN 为等腰三角形.7.如图，在平面直角坐标系中，矩形 AOBC 在第一象限内，E 是边 OB 上的动点（不包括端点），作AEF = 90，使 EF 交矩形的外角平分线 BF 于点 F，设 C（m，n）（1）若 m = n 时，如图，求证：EF = A
11、E；（2）若 mn 时，如图，试问边 OB 上是否还存在点 E，使得 EF = AE？若存在，请求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由（3）若 m = tn（t1）时，试探究点 E 在边 OB 的何处时，使得 EF =（t + 1）AE 成立？并求出点 E 的坐标（1）由题意得 m = n 时，AOBC 是正方形如图，在 OA 上取点 C，使 AG = BE，则 OG = OE EGO = 45，从而 AGE = 135由 BF 是外角平分线，得 EBF = 135， AGE =EBF AEF = 90， FEB +AEO = 90在 RtAEO 中， EAO +AEO = 90， EAO
12、=FEB， AGEEBF，EF = AE（2）假设存在点 E，使 EF = AE设 E（a，0）作 FHx 轴于 H，如图来源:学科网 ZXXK由（1）知EAO =FEH，于是 RtAOERtEHF FH = OE，EH = OA 点 F 的纵坐标为 a，即 FH = a由 BF 是外角平分线，知FBH = 45， BH = FH = a又由 C（m，n）有 OB = m， BE = OBOE = ma， EH = ma + a = m又 EH = OA = n， m = n，这与已知 mn 相矛盾因此在边 OB 上不存在点 E，使 EF = AE 成立（3）如（2）图，设 E（a，0），FH
13、 = h，则 EH = OHOE = h + maxOE BAyCFxOEBAyC FxOEBAyCFxOEBAyC FG由 AEF = 90，EAO =FEH，得 AOEEHF， EF =（t + 1）AE 等价于 FH =（t + 1）OE，即 h =（t + 1）a，且FHOE EHAO，即ha amhn，整理得 nh = ah + ama2， anama anaamh)(2 把 h =（t + 1）a 代入得 atanama) 1()(，即 ma =（t + 1）（na）而 m = tn，因此 tna =（t + 1）（na）化简得 ta = n，解得tna t1， tnnm，故 E 在 OB 边上当 E 在 OB 边上且离原点距离为tn处时满足条件，此时 E（tn，0）8.如图 1，已知ABC=90，ABE 是等边三角形，点 P 为射线 BC 上任意一点（点 P 与点B 不重合），连结 AP，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60得到线段 AQ，连结 QE 并延长交射线 BC 于点 F.（1）如图 2，当 BP=BA 时，EBF= ，猜想QFC= ；（2）如图 1，当点 P 为射线 BC 上任意一点时，猜想QFC 的度数，并加以证明；（3）已知线段 AB=，设 BP=x，点 Q 到射线 BC 的距离为 y，求 y 关于x的函数关系32式（1） 30.
