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1、1平行线分线段成比例平行线分线段成比例知识梳理知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行平行线线分分线线段成比例定理段成比例定理如下图，如果，则，.1l 2l 3lBCEF ACDFABDE ACDFABAC DEDFl3l2l1FEDCBA2. 平行平行线线分分线线段成比例定理的推段成比例定理的推论论： ：如图，在三角形中，如果，则DEBCADAEDE ABACBCABCDEEDCBA3. 平行的判定定理：平行的判定定理：如上图，如果有，那么 。BCDE ACAE ABADDEBC专题讲解专题讲解2专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 【例例 1
2、】如图，且,若，求的长。DEBCDBAE510ABAC，AEEDCBA【例例 2】如图，已知，若，求证：./ / /ABEFCDABaCDbEFc111 cabFEDCBA【巩固巩固】如图，垂足分别为、，和ABBDCDBDBDAC相交于点，垂足为.证明：.BDEEFBDF111 ABCDEFFEDCBA【巩固巩固】如图，找出、之间的关系，并证明你的结论.ABDSBEDSBCDSFEDCBA【例例 3】如图，在梯形中， ，过对角线交点作 ABCDABCD129ABCD，O 交于，求的长。EFCDADBC，EF，EF3OFEDCBA【 【巩固巩固】 】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形中，分别ABC
3、DADBCADaBCbEF， 是的中点，交于，交于，求的长。 ADBC，AFBEPCEDFQPQQPFEDCBA专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例例 4】（2007 年北师大附中期末试题）（1）如图（1） ，在中，是的中点，是上一点，且，ABCMACEAB1 4AEAB连接并延长，交的延长线于，则_.EMBCDBC CD（2）如图（2） ，已知中，与相交于，则ABC:1:3AE EB :2:1BD DC ADCEF的值为（ ）EFAF FCFDA. B.1 C. D.25 23 2(1)MEDCBA(2)FEDCBA【例例 5】（2001 年河北省中考试题）如图，在中，为边的中点，为AB
4、CDBCE 边上的任意一点，交于点.ACBEADO（1）当时，求的值；1 A2AE CAO AD（2）当时，求的值；1 1 A3 4AE C、AO AD（3）试猜想时的值，并证明你的猜想.1 A1AE CnAO ADEDCBAO4【例例 6】（2003 年湖北恩施中考题）如图，是的中线，点在上，ADABCEADF 是延长线与的交点.BEAC（1）如果是的中点，求证：；EAD1 2AF FC（2）由（1）知，当是中点时，成立，若是上任意一点（与、EAD1 2AFAE FCEDEADEA不重合） ，上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.DF EDCBA【巩固巩固】 （天津市
5、竞赛题）如图，已知中，是边上的中线，是ABCADBCEAD 上的一点，且，延长交于。求证：。BEACBEACFAFEFFEDCBA【例例 7】（宁德市中考题）如图，中，为边的中点，延长至，ABCDBCADE 延长交的延长线于。若，求证:。ABCEP2ADDE3APABPEDCBA【巩固巩固】 （济南市中考题；安徽省中考题）如图， 中，若分ABCBCa11DE，5别是的中点，则；ABAC，111 2D Ea若分别是的中点，则；22DE、11D BE C、2213 2 24aD Eaa若分别是的中点，则；33DE、22D BE C、331 37 2 48D Eaaa 若分别是的中点，则_.nnDE
6、、-1-1nnD BE C、nnD E 专题三、利用平行线转化比例 【例例 8】如图，在四边形中，与相交于点，直线 平行于，且ABCDACBDOlBD 与、及的延长线分别相交于点、和.ABDCBCADACMNRSP 求证：PM PNPR PSl SRPNMODCBA【巩固巩固】已知，如图，四边形，两组对边延长后交于、，对角线，ABCDEFBDEF 的延长线交于求证：ACEFGEGGFGFECDBAEnDnE3D3E2D2E1D1CBA6【例例 9】已知：为的中位线上任意一点，、的延长线分别交对PABCMNBPCP边、于、，求证：ACABDE1ADAE DCEBPNMEDCBA【例例 10】在中
7、，底边上的两点、把三等分，是上的中ABCBCEFBCBMAC 线，、分别交于、两点，求证：AEAFBMGH:5:3:2BG GH HM MHGFECBA【例例 11】如图，、为边上的两点，且满足，一条MNABCBCBMMNNC 平行于的直线分别交、和的延长线于点、和.ACABAMANDEF 求证：.3EFDEFNMEDCBA【例例 12】已知：如图，在梯形中，是的中点，分别连ABCD/ /ABCDMAB 接、，且与交于点，与交于.ACBDMDMCACMDEDBMCF （1）求证：/ /EFCD （2）若,，求的长.ABaCDbEFFEMDCBA【巩固巩固】 （山东省初中数学竞赛题）如图，在梯形
8、中，ABCDADBC7,，若，且梯形与梯形的周长相396ADBCAB，4CD EFBCAEFDEBCF等，求的长。EFFEDCBA【例例 13】（山东省竞赛题）如图，的对角线相交于点，在的延ABCDAOAB 长线上任取一点，连接交于点，若,求的值。EOEBCFABaADcBEb，BFOFEDCBA【例例 14】已知等腰直角中，、分别为直角边、上的点，且ABCEDBCAC ，过、分别作的垂线，交斜边于，CECDEDAEABLK 求证：BLLKLKEDCBA家庭作业家庭作业【习题习题 1】 如已知，求证：.DEAB2OAOC OEADBC8DOECBA【习题习题 2】 在中，的延长线交的延长线于， ABCBDCEDEBCP 求证：.AD BPAE CP【习题习题 3】 如图，在的边上取一点，在取一点，使，ABCABDACEADAE直线和的延长线相交于，求证：DEBCPBPBD CPCEPEDCBAPEDCBA
