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1、2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题 矩形域上的拉普拉斯方程 考虑矩形薄板稳恒状态下的温度分布问题。考虑矩形薄板稳恒状态下的温度分布问题。 设薄板上下两面绝热，板的两边设薄板上下两面绝热，板的两边 (x=0, x=a) 始终保始终保 持零度持零度, 另外两边另外两边 ( y=0, y=b) 的温度分别为的温度分别为 f(x) 和和 g(x) , 求板内稳恒状态下的温度分布规律。求板内稳恒状态下的温度分布规律。 解解：用：用 u(x, y) 表示板上表示板上 (x, y) 点处的温度。点处的温度。定解定解 问题为：问题为： 22220,0,(20.3.1)uuxayb x
2、y (2.,0;,2,3. )u xfxu x bg x 0,0;,(2.3.3)0.uyu a y思路思路：应用分离变量法：应用分离变量法 ，将，将 y想象为时间，将想象为时间，将 (2.3.3)看作看作(齐次齐次) 边界条件。边界条件。 设设 且且 代入方程代入方程 (2.3.1), 分离变量分离变量得得 ),()(),(yYxXyxu , 0),(yxu0,0XXYY由边界条件可以知道：由边界条件可以知道：X(0)=X(a)=0，特征值问题：，特征值问题： 000XxX xXX a 特征值和特征函数分别为：特征值和特征函数分别为： 222 1, 2,sinnnnn annXxCxa 代入
3、到关于代入到关于 y 的方程的方程 得到得到 Y(y) 的的 一组解：一组解： nnyyaannnYyA eB e 从而得到方程从而得到方程(2.3.1)满足条件满足条件(2.3.3)的一组特解：的一组特解： ,() sinnnyyaa nnnnux yA eB exa 方程方程(2.3.1)和边界条件和边界条件(2.3.3)都是线性齐次的，由都是线性齐次的，由 叠加原理叠加原理 1,()sinnnyyaa nn nnu x yA eB exa 仍满足方程仍满足方程(2.3.1)和条件和条件(2.3.3)。 考虑到考虑到 (2.3.2)：u(x,0) = f (x), u(x,b) = g (
4、x), 得得 002sin1, 2 2sin.annannbbaa nnnABfdaan nA eB egdaa ,nnAB由由上上式式解解出出和和即即得得原原方方程程的的解解。(0,0):xayb：在在矩矩形形中中求求解解拉拉普普拉拉斯斯方方程程的的练练定定解解问问题题习习提示提示：将定解问题的第三行看作边界条件。：将定解问题的第三行看作边界条件。 圆域上的拉普拉斯方程 考察一个半径为考察一个半径为 的圆形薄板，板的上下两面绝热，的圆形薄板，板的上下两面绝热， 圆周边缘的温度为已知函数圆周边缘的温度为已知函数 且且 求稳恒状态下的温度分布规律。求稳恒状态下的温度分布规律。 0 ( ) (02
5、 ),f (0)(2 ).ff 解解：稳恒状态下的温度分布满足拉普拉斯方程。：稳恒状态下的温度分布满足拉普拉斯方程。 cossinxy 由于是圆形区域，为了应用分离变量法，采取由于是圆形区域，为了应用分离变量法，采取极极 坐标变换坐标变换： 用用 表示圆形板内表示圆形板内 点的温度，则问题点的温度，则问题 可以转换（可以转换（如何转化？如何转化？）为解定解问题：）为解定解问题： ( , )u ( , ) 02222202221100,02(2.3.4)|(11()02.3.5)uuuuuuf 或或者者自然边界条件自然边界条件 0,(2.3.6),2,(2.3.7)uuu 周期性条件周期性条件
6、设方程设方程(2.3.4)满足条件满足条件 (2.3.5)(2.3.7)的解为的解为: : 22222110uuu ( , )( ) ( ),uR 代入到原方程得代入到原方程得: : 2110RRR 分离变量分离变量, ,令其比值为常数令其比值为常数 , 2RR R 由此得到两个常微分方程由此得到两个常微分方程: : 20 0RRR 由自然边界条件和周期性条件知：由自然边界条件和周期性条件知： 0,2R ( , )( ) ( ),uR 于是得到两个常微分方程的定解问题：于是得到两个常微分方程的定解问题： 02 20,0.RRRR 由于条件由于条件 满足（无穷）可加性满足（无穷）可加性, 2 0
7、(2.3.8)2 特特征征值值问问题题结合周期条件，可得结合周期条件，可得 特征值特征值 2,0,1,2,.nnn 20,(2.3.9)0.RRRR 下面解方程下面解方程 Euler 方程方程 00( ),cossin,1,2,.nnnaanbnn 特征特征 函数函数 通解为通解为 )., 2 , 1( ,0 ,ln2000 nndcRdcRn nn nn，为了保证为了保证 必须有必须有 |(0)|,R 0,0,1, 2,.,ndn即即,0,1, 2,.,n nnRcn 利用叠加原理，方程利用叠加原理，方程(2.3.4)满足条件满足条件(2.3.5)(2.3.7) 的解可表示为的解可表示为:
8、01,coss2inn nn nuannab 其其中中. , ,2 0 00nnnnnncbbcaacaa 001( )coss n2in nn nfanbna 0|,uf 应用条件应用条件 000,( )Fourier,nn nnaabf因因此此，就就是是展展为为级级数数时时的的系系数数 即即 2001,afd 2001cosnnafnd 2001sin,1,2,.nnbfndn 注注1 1: : 经过化简经过化简, , 方程的解可以表示为方程的解可以表示为 222 0 22 0001,22cosuf td tt 上式称为上式称为圆域内的泊松公式圆域内的泊松公式. . 20 0，其中注注2
9、2: : 半圆域、扇形域、圆环域等区域上的半圆域、扇形域、圆环域等区域上的 拉普拉斯方程的边值问题可用类似方法求解。拉普拉斯方程的边值问题可用类似方法求解。 例：例：解定解问题解定解问题 02202221100,02|cos(02 )uuuu 解解: : 直接利用公式，直接利用公式， 0 10coscos2sinn nn nanbna 注意到三角函数的正交性质注意到三角函数的正交性质, 可得可得 0,1,2,.nbn1 01,0,1,naan 因此解为因此解为 0,cosu ( , )P54(1(- ),3)0( , ).au aTu 一一半半径径为为的的半半圆圆形形平平板板, ,其其圆圆周周边边界界上上的的温温度度保保持持而而直直径径边边界界上上的的温温度度保保持持为为 度度, ,板板的的侧侧面面绝绝缘缘, ,试试求求稳稳恒恒状状态态下下的的温温度度分分布布规规律律例例:提提示示 定定解解问问题题 22222110,0,( , )(), ( ,0)( , )0, ,0 0,0uuuau aT uua | (0, )|.,0u 0,0,00, 20,0.RRRR
