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1、习题 1. 1 1. 计算下列行列式 （1）?34 25? ? 3 ? 5 ? 4 ? 2 ? 15 ? 8 ? 7 （2）?12 67? ? ?1? ? 7 ? 2 ? 6 ? ?7 ? 12 ? ?19 （3）?cos?sin sincos? ? cos ? cos ? ?sin? ? sin ? cos? ? sin? ? 1 （4）?10?1 120 ?132? ? 1 ? 2 ? 2 ? 0 ? 0 ? ?1? ? ?1? ? 1 ? 3 ?1? ? 2 ? ?1? ? 1 ? 0 ? 2 ? 1 ? 3 ? 0 ? 4 ? 0 ? ?3? ? 2 ? 0 ? 0 ? ?1 （5）?
2、241 063 00?2? ? ?2? ? 6 ? ?2? ? 4 ? 3 ? 0 ? 1 ? 0 ? 0 ?1 ? 6 ? 0 ? 4 ? 0 ? ?2?2 ? 0 ? 3 ? 24 ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 ? 24 （6）?abc bca cab? ? acb ? bac ? cba ? c? b?a? 3abc ? c? b?a? 2.当实数a，b 为何值时，行列式?ab0 ?ba0 101?=0 解： ?ab0 ?ba0 101?a? 0 ? 0 ? 0 ? ?b? ? 0 ? a? b? 所以当a ? b ? 0 时，原行列式?ab0 ?ba0 101?=0 3解下列
3、线性方程组 （1）?2x? 5x? 1 3x? 7x? 2 解：12 1215212732313, 1 2525113737DDxxDD= (2) ?5x? 3x? 1 x? 11x? 6 解：12 12135161116291291, 5353582582111111DDxxDD=（3）123123123222310xxxxxxxxx+= += +=解：123121 213162 1431111221121122 1133, 213 =-2, 2111 011101110DDDD= + = = 所以：312 1233, 2, 1,DDDxxxDDD= = （4）123123123241532
4、1xxxxxxxxx+= += += 解：241153( 10)( 12)( 1)( 5)( 4)( 6)8 111D= + + = 12314121124125311, 1239, 1526111111111DDD=所以312 1231193, , 884DDDxxxDDD= = = 习题 1.2 1 计算下列行列式 （1）103100204199200395 301300600解： （根据行列式的性质） 123213 3 1231031002043100431419920039512005100125301300600213000130308484100 055100 1 ( 1)100
5、20200055130ccccrrrr+= =+（2）221411 202199101 解： （根据行列式的性质） 13 2 1232212031314116016 ( 1)30010120219910103001016 ( 1) (303300)( 6) 318cccc+= += = = （3）0003 0010 0400 2000解： （按某列展开） 4 13 1000300300300102 ( 1)010( 2) 010040040040020000303( 2) 4 ( 1)( 8)1010( 8) (03)24+= = = = = =（4）0005 0053 0542 5321解：
6、 （按某列展开） 4 1000500500500535 ( 1)053( 5) 05305425425425321+= = 3 10505( 5) 5 ( 1)( 25)5353( 25) (025)625+= = = =（5）5300 4200 0012 0051解：根据拉普拉斯定理可得： 1 2 1 2530042005312( 1)( 2) ( 9)18001242510051+ + += = =（6）0301012 000adef b c解： （按某行或某列展开） 2 12 20301301301( 1)12() 1201200000003131()( 1)()() 3300adefa
7、babbcccabababcabccc+= = = = = = （7）?12345 678910 00013 00024 01000? 解： （根据拉普拉斯定理可得） ?12345 678910 00013 00024 01000?13 24? ? ?1?123 678 010? ? ?2?123 678 010? ? ?2? ? 1 ? ?1?13 68? ? 2?13 68? ? 2 ? ?10? ? ?20 （8）?429?30 63?571 50000 80040 70350? 解： （按某行或某列展开） ?429?30 63?571 50000 80040 70350?5 ? ?1?
8、29?30 3?571 0040 0350? ? 5?29?30 3?571 0040 0350? ? 5 ? 4 ? ?1?290 3?51 030? ? 20?290 3?51 030? ? 20 ? 3 ? ?1?20 31? ? ?60? ? 2 ? ?120 2. 证明： ?a?a?a?a?a? a?a?a?a?a? a?a?000 a?a?000 a?a?000? 证明： 因为五阶行列式展开式中的每一项都是来自不同行，不同列的五个元素的 乘积，由题意知，这样的五个元素中至少有一个为零，故每一项都为零，从而该 五阶行列式为零。 习题 1.3 1 计算下列行列式 （1）xyxyyxyx
9、xyxy+解： （利用降阶法 求得） 1232131222332()() 2()2()112()1 2() 0102()2()()()2()()2()xyxyxyyxyyxyxcccxyxyxxyxyxyxyyxyyxyrr xyxyxxyxy rrxyxyxxyxyxyxy xyxyxxyxxyyxy+ =+ =+=+=+= +（2）1221 0102 2011 0201解： （化为上三角形矩阵） 32 31421221122112214010220102010292011043100372020102010003rrrrrr+=（3）246427327 101454344334272162
10、1解： （可选择降阶法） 23211 235 122464273272461003272461327 10145434431014100443100 10141443 34272162134210062134216212461327768116100 7680116100 1 ( 1)588294588029410001162( 100)2.94 100294ccrrrrcc+= = += （4）1234 2341 3412 4123解： （化为上三角形矩阵） 123421313241421234102341234 2341103411341()103412104121412 41231012
11、3112312341234 ,20113011310 1002220044 0111000410 16160ccccrr rrrrrrrr+=+ =（5）1111 1234 14916 182764解： （范德蒙行列式） 1111222233331111111112341234149161234 1827641234(2 1)(3 1)(4 1)(32)(42)(43)12=（6）2512 3714 5927 4612 解： （化为上三角形矩阵） 2131 134132 244342251215221522,2371417340216592729570113 46121642012015221
12、5221522012001200120=-90113003300332021600360003rr rrccrrrrrrrrrr+=+=+2 已知四阶行列式D中第一行元素分别为1,2,0, 4，第三行元素的余子式分别为6, ,19,2x，试求x的值 解：由定理 1.2.1 得： 3 13 23 33 41 ( 1)62 ( 1)0 ( 1)19( 4) ( 1)20x+ + + + = 即：6280x+= 的7x = 3 设1abcd =，计算行列式 2 22 22 22 2111111111111aaaabbbbD ccccdddd+ = +解： （此题最后要进行多次列与列之间的交换） 22
13、 2222 2222 2222 2232322232222222322232322222221111111111111111111111111111111111 1111 11 1111 11 1aaaaaaaaaabbbbbbbbbbD ccccccccccddddddddddaaaaaa bbbbbb abcda b c dccccccddddddaaaa bbbccc ddd+ =+ +=+=+32323232323222222222222211 111 11011 11aa bbbccc dddaaaaaa bbbbbb cccccc dddddd= +=4 计算n阶行列式 D? ?a
14、b0?00 0ab?00 00a?00 ? 000?ab b00?0a?解： （按第 1 列展开） D? ? a ? ?1?ab?00 0a?00 ? 00?ab 00?0a? b ? ?1?b0?00 ab?00 0a?00 ? 00?ab? ? a ? ?1?b? 5. 计算n阶行列式 D?111?1 22?2?2? 33?3?3? ? nn?n?n? 解： （范德蒙行列式，最后一个行列式要转置，变成范德蒙行列式） D? 1 ? 2 ? 3 ? ? n?111?1 122?2? 133?3? ? 1nn?n? ? n! ?111?1 122?2? 133?3? ? 1nn?n? n!?n ? 1?!?n ? 2?!.2!1! 6.计算1n+阶行列式 D?a?10?0 axa?1?0 ax?axa?0 ? ax?ax?ax?a? 解：(按第一行展开) D? aD? ?1? ? ?1?xD? ?a ? x?D? ?a ? x?D? ? ?.? ?a ? x?D? a?a ? x? 7证明： 1111
