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1、内容提要遗传挠理论是在二十世纪六十年代发展起来的，G o l a n ，G a b r i e l ，D i c k s o n ，S t c n s t r S m 等对遗传挠理论进行了大量深入的研究本文专门探讨由一个给定模“确定的一般挠理论这种挠理论未必是遗传的，但我们得到一些相应于遗传挠理论的结果文章共分四个部分第一部分为预备知识，为方便后面各节的引用，我们介绍了一些基本概念以及一些定理这些结论主要是遗传挠理论的结果，可以在 3 ，【7 】等文献申查到在第二部分中，我们通过对任意给定的模“，构造挠理论( A 。，8 。) ，并记为h ，讨论了R T o t s = h I u R r o
2、 o d 的结构，进一步对它们进行刻划从而推广了遗传挠理论R z 口r s 的结果在第三部分中，作为投射模与内射模的推广，我们引进了A 。投射摸与A 。- 内射模的概念，并给出它们的若干性质以及它们之间的重要关系在第四部分中，我们引进了u 上临界模及“一半临界模一个模”称为”上临界的，如果M 是”缺挠模，并且M 的每一个商模( 不等于M ) 都是丁1 1 挠模一个模M 称为u 半临界的，如果存在M 的有限子模簇 M I ， 如，1 )使得n 坛= o ，M 舰为u 上临界模本节，我们讨论u 上临界模的基本性 质，比较“。螂模与“ 理论统一起来7关键词：挠理论，h “上临界模，u 半临界模半临界
3、模的关系，并在一定条件下将它们与遗传挠挠模，下u 一挠自由模，A 。一投射模，且，内射模A b s t r a c tH e r e d i t a r yt o r s i o nt h e o r yh a sb e e nd e v e l o p e ds i n c et h e1 9 6 0 Sa n dh a sb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e db yG o l a n ，G a b r i e l ，D i s k o n ，S t e n s t r S m ，e t c I nt h i st h e s i s ，g c n
4、 o r a l0 0 r s i o nt h e o r yd e t e r m i n e db ，ag i v e ur u o d u l eui se s p e c i a l l yd i s c u s s e d T h i sk i n do ft o r s i o nt h e o r yi sn o tn e c e s s a r i l yh e r e d i t a r y1 b u tw ec a no b t a i ns o m er e s u l t sc o r r e s p o n d i n gt oh e r e d i t a r y
5、t o r s i o nt h e o r y T h ea r t i c l ec a nb cd i v i d e di n t of o u rs e c t i o n s I nt h ef i r s ts e c t i o n ，s o m ep r e l i m i n a r i e sa r em e n t i o n e d I no r d e rt ob u i l dag o o df o u n d a t i o nf o rl a t e rp a r t s ，w ei n t r o d u c es o m eb a s i cc o n c
6、 e p t sa n ds o m et h e o r e m sw h i c ha r em a i n l yt h er e s u l t so fh e r e d i t a r yt o r s i o nt h e o r ya n dc a nb ef o u n di n【3 J ， 7 J I nt h es c c o n ds e c t i o n ，b yc o n s t r u c t i n gt o r s i o nt h e o r y ( A n ，瓯) ，w h i c hi sd c n o t e da s 气a c c o r d i
7、n gt oa na r b i t a r yg i v e nm o d u l eu ，w ed i s c u s st h es t r u c t u r eo fR T o r s = f u R m o d a n df u r t h e rc h a r a c t e r i z et h e m T h e r e f o r e ，w eg e n e r a l i z et h er e s u l t so fh e r e d i t a r yt o r s i o nt h e o r y I nt h et h i l ds e c t i o n ，a
8、 st h eg e n e r a l i z a t i o no fp r o j e c t i v em o d u l e sa n di n j e c t i v cm o d u l e s ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t so f4 u - p r o j e c t i v em o d u l e sa n d u i n j e c t i v em o d u l e s ，m e a n w h i l e ，W eg i v es e v e r a lp r o p e r t i e so ft h e ma
9、n dt h ei m p o r t a n tr c l a -t i o n s h i pb e t w e e nt h e m I nt h ef o u r t hs e c t i o n w ee m p l o yu - c o c r i t i a lm o d u l ea n du s e m i c r i t i a lm o d u l e Am o d u l eMi 8c a l l e du - c o c r i t i Mi fMi su - t o r s i o n l e s sa n di fe v e r yp r o p e rf a c
10、 t o rm o d u l eo fMi s 吒一t o r s i o n Am o d u l eMi sc a l l e dU - s e m i c r i t i c a li ft h e r ee x i s t sf i n i t es u b m o d u l ev a r i e t y M l ，M 2 ，) o f M ，s u c ht h a tn 坠l 尬= 0 ，a n d 肘尬i sU c o e r i t i c a l I nt h i ss e c t i o n W ed e a lw i t ht h eb a s i cp r o p
11、e r t i e so fu - c o c r i t i c a lm o d u l e ，a n dc o m p a r et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h eu c o c r i t i c a lm o d u l ea n dU s c m i c r i t i c a lm o d u l e M o r e o v e r ，u n d e rs o m eg i v e nc o n d i t i o n s ，w ei n t e g r a t et h e mw i t hh e r e d i t a
12、 r yt o r s i o nt h e o r y 2K e y w o r d s ：T o r s i o nT h e o r y ，下u T o r s i o nM o d u l e ，h T o r s i o n f r e eM o d u l e ，4 u P r o j e c t i v eM o d u l e ，4 u I n j e c t i v eM o d u l e ，u C o c r i t i c a lM o d u l e ，u - S e m i c r i t i c a lM o d u l c 3前言挠理论的研究始于上个世纪五、六十
13、年代不过早期的研究，主要是建立在一般的A b e l 范畴上( 见【1 】，f 4 M 5 ， 2 1 ) 从那时起，挠理论，根理论，局部化理论都得到深入研究这些理论最后通过遗传挠理论方法统一了起来G o l a n在其书( 7 】中利用内射模的分类，州述了遗传挠理论，并用R f o r s 表示模范畴R r o o d 上的所有遗传挠理论指出R t o t s 是一个分配格在文f 7 1 中还给出各种特殊类型的遗传挠理论，将一般模上的各种概念，如投射、内射等都相应地推广到遗传挠理论上近些年来，非遗传挠理论的应用越来越多，特别是T i l t i n g 理论，* 模理论都有了较多的应用对非遗
14、传挠理论的研究可见【3 】，【1 2 】，【1 3 】，【1 4 】，f 1 5 】等本文只是对非遗传挠理论的一种特殊类型作些探讨将遗传挠理论的若干结论推广到一般的( 非遗传) 挠理论上全文分作四个部分，分别给出R T O T S 、A u 一投射、以。一内射、“一上临界、“半临界模等性质本文中的环均为有单位元的结合环，在没有特别声明的情况下，环未必交换文中未定义的概念和符号见【2 】，【7 】r4l 预备知识设R 为结合环，在不特别指明情况下的模都是左R - 模，用R r o o d 表示左几模范畴设以R m o d ，若M A ，N 是M 的任意子模，如果也有N A ，则称“取子模封闭若们
15、_ M _ 0 正合，且由M A 有M A ，则称4 取同态封闭若由( M d ASA 有o M 一4 ，则称4 取直和封闭而n M i _ ，则称4 取直积封闭若0 _ 以一 B _ e - 0 为正合列，且由A ，C A ，可推得B A ，称以取扩张封闭设u 是给定的左R - 模，记A 。= M I H o m R ( M ，u ) = o ) ，则A 。取同态、直和、扩张封闭记玩= M I H o m n ( N ，M ) = 0 ，V N A 。) ，则玩取子模、直积、扩张封闭又记T = ( C H o m R ( C ，“) 0 ，V O C 。G ) ，则1 3 , 。= 丁事实上
16、，对Y C 丁，则H o m R ( a “) 0 若存在M A 。，使得：H o m n ( M ，C ) 0 ，则有H o m n ( M ，u ) 0 这与M A 。矛盾故对V M A 。，有H o m R ( M ，C ) = 0 所以c 玩从而7 吼反之，对V N B 。，若存在0 N N ，使H o m R ( N ，“) = 0 ，则依定义知N A 。但由玩取子模封闭知，N E 玩，从而N 。= 0 这与N 0 矛盾所以NE7 故乳7 - 从而有乳= 丁记T u = ( A 。，玩) ，则由【3 P I s T E x t 4 有，( 一4 。，口。) 是遗传的充要条件为r 。= r E (
