空中加油战略优化

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1、空中加油战略优化空中加油战略优化 作者：作者：汤志高汤志高 等等 摘要 本文通过建立数学模型，对空中加油进行合理规划，运用数图结合的方 法研究方案的合理性。 在忽略飞机起飞准备时间的情况下，基于每架辅机只有一次往返式飞行 的思想， 求出辅机架数 n=1.4 时的主机最大作战半径nr ， 具体结果详见 4.1.1。 本文后续提取了理想状态基地后退理念，采用逆推加油法，讨论了 n5 时的 辅机数量与作战半径之间的关系，在此基础上，进一步绘制了辅机数和作战 半径的等势图，对问题一、二的辅机数量与作战半径之间的关系作出了直观 的描述。 辅机可以多次起飞并且飞机起飞准备时间为 L/12v 的情况下，类比

2、问题 一、二，对辅机数量与作战半径之间的关系，作出了合理的讨论。 问题四中，新建基地12A A属于移动选址问题，由于基地位置可以移动， 同时考虑效率因素与经济因素不矛盾，以12AA A 共线为主要约束，以* nR 最大 为目标，建立模型，只要给出辅机数 n，通过计算模型可解出12AA A相对位 置，即12A A 最佳战略地址。 本文在第五问首先证明了主机可以通过辅机加油直航 AC，得出最快作 战方案，然后采用贪心算法计算出需要辅机 478 架；求解最少辅机数作战方 案主要思想是连续问题离散化求解， 将 ABCD 区域划分为网格图， 各结点视 为城市，给各边按辅机数量赋权值，以总路线最短为目标建

3、立动态规划模型 利用 LINGO 软件求解，求出 A 到 C 的最短路径，即主机作战飞行路线路长 度。根据问题三中作战半径和辅机数量之间的关系，采用贪心算法求出最少需要辅机 120 架。 1 问题重述问题重述 设A为空军基地，基地有一架作战飞机（主机）和n架加油机（辅机） 。主机与辅机 的速度和单位时间的耗油量均相同且为常数，油箱装满油后的最大航程均为L（公里） 。 辅机可以对主机加油，辅机之间也可以相互加油。今主机要执行某作战任务（如侦察或 空投） ，所有飞机在完成自身的任务后均要求返回基地。 主机的最大作战半径 （简称作战半径） 是指主机在n架辅机的协助下所能飞到的 （并 安全返回）离基地

4、 A的最远距离。显然当0=n时，作战半径2/0Lr =。 问题 1 设飞机垂直起飞、垂直降落、空中转向、在地面或空中加油的耗时均忽略 不计，每架飞机只能上天一次，在上述假设下的作战半径记为nr 。当n=1，2，3，4 时， 求作战半径nr 。 问题 2 在问题 1 的假设下，当4n时，尽可能求出nr 或给出nr 的上、下界；讨论当n的过程中nr 与 n 的渐近关系； 试给出判断最优作战方案 （主机能够飞到nr处）的必要条件或充分条件。 问题 3 若每架辅机可以多次上天，辅机从机场上空降落及在地面检修、加油、再 起飞到机场上空的时间相当于飞行12/L的时间，飞机第一次起飞、转向、在空中加油 的耗

5、时仍忽略不计，此时的作战半径记为nR ，讨论与问题 1、问题 2 类似的问题。 问题 4 若另有 2 个待建的空军基地（或航空母舰）21, AA，有n架辅机，主机从 基地 A起飞，向一给定的方向飞行，必须在基地 A降落，辅机可在任一基地待命，可多 次起飞，且可在任一基地降落。其他同问题 3 的假设，讨论21, AA的选址和主机的作战半径* nR。 问题 5 设 ABCD为矩形，LAB4=，LAD2=，DBA,为三个空军基地，主机从 A起飞，到C 执行任务（执行任务时间仍忽略不计）再返回A。假设辅机起飞、降落的 基地可任意选择，其他同问题 3 的假设，试按最快到达并返回和最少辅机架数两种情况 给

6、出你的作战方案。 2 模型假设模型假设 假设加油过程中不存在能量损耗； 假设基地在同一时刻起降容量无限； 假设所有飞机在飞行过程中不发生机械故障； 假设基地选址不受自然条件约束。 3 符号说明符号说明 符号 说明 kA 动态基地的原位置 nr 作战半径 n 辅机数量 L 油箱装满油后的最大航程 4 问题分析与建立模型问题分析与建立模型 4.1 问题一问题一 4.1.1 问题分析与解答问题分析与解答 对最大作战半径的讨论，只考虑飞机直航的情况即可。油箱装满油后的最大航程均 为L（公里） ，假设当飞机飞行距离为 L（单位）时，耗油量为 L（单位） ，当辅机数 n 1，2，3，4 时，每架辅机只有一

7、次往返式飞行。辅机与主机同时起飞（专为主机出航 服务） ，也可以在基地等待，专为主机返航服务。下面分情况讨论： n0 时，主机作战飞行时，没有辅机加油，主机的往返路程为 L，直航距离为 L/2。 n1 时，辅机数为 1。辅机与主机同时起飞，它专为主机出航服务。 出航返航ABC飞行示意图 1：黑色弧线示意飞机出航，但不代表出航路线。 红色弧线示意飞机返航，但不代表返航路线。 航行加航行加油过油过程：程： 设辅机飞行至 C 点，出航距离1ACx=时，辅机为主机油箱装满油，并且辅机返航至基地；主机继续前进至 B 点，距离2CBx=时，开始返航直至基地 A，主机单独飞行距离恰为 L，用油量为 L。 主

8、机飞行的总里程分为两部分：一部分是与辅机同时飞行距离 AC ，另一部分是主 机单独飞行距离CBBA+。根据飞行距离和耗油量之间的关系(飞行距离为 L （单位）时， 耗油量为 L（单位）)，可以得到以下方程组 21122% 422%xxL xxL+=+=主机单独飞行的耗油量 主机和辅机飞行的耗油量对方程组求解得到：作战半径1122 3rABxxL=+= n2，辅机数为 2。辅机 1 与辅机 2 分别为主机的前进和返回服务。 出航返航ACBE飞行示意图 2：黑色弧线示意飞机出航，但不代表出航路线。 红色弧线示意飞机返航，但不代表返航路线。 航行加航行加油过程：油过程： 辅机 1 与主机同时起飞，

9、为主机出航服务： 设辅机飞行至 C 点， 出航距离1ACx=时，辅机为主机油箱装满油，并且辅机返航至基地；主机继续前进至 B 点，距离2CBx=时，开始返航； 辅机 2 在基地等待，专为主机返航服务。当主机返航至 E 点时，主机单独飞行距离 恰为 L，机油即将耗尽。此时，辅机 2 恰好到达 E 点，为主机加油。在飞行示意图 2 中 的返航路线中， 设 BE=3x 。 根据飞行距离和耗油量之间的关系， 可以得到如下的方程组： 12312334223%2 2% 3%2xxxL xxxL xL+= += =主机和架辅机的总耗油量 主机单独飞行的耗油量 辅机和主机一起航行的总耗油量对方程组求解得到：作

10、战半径2125 6rABxxL=+= n3，辅机数为 3，辅机 1、2 为主机出航服务，辅机 3 为主机返航服务。 出航返航ACDBE飞行示意图 3：黑色弧线示意飞机出航，但不代表出航路线。 红色弧线示意飞机返航，但不代表返航路线。 航行加航行加油过程：油过程： 辅机 1、2 和主机同时起飞，辅机 1 飞行至 C 点时，为辅机 2 和主机的油箱加满油 之后，返回基地 A；辅机 2 与主机继续前进至 D 点时，辅机 2 为主机加满油之后，返回 基地；主机单独行驶至 B 点后，开始返航，至 E 点时，主机单独飞行距离恰为 L，机油 即将耗尽。辅机 3 为主机返航服务，恰好在 E 点为主机加油，并与

11、主机一同返回基地。 在飞行示意图 3 中，设1ACx=，2CDx=，3DBx=，4AEx=，根据飞行距离和耗油量之间的关系，可以得到如下的方程组： 1234123421464224%3 222%2 3%1 3%3xxxxL xxxxL xxL xL+= +=+= =架辅机和1架主机飞行的总耗油量 主机和辅机一起飞行的耗油量 辅机提供的油量 辅机和主机一同返航时的耗油量对方程组求解得到：312311 12rABxxxL=+= n4，辅机数为 4，辅机 1、2 为主机出航服务,辅机 3、4 为主机返航服务。 出航返航ACDBEF飞行示意图 4：黑色弧线示意飞机出航，但不代表出航路线。 红色弧线示意

12、飞机返航，但不代表返航路线。 航行加油过程：航行加油过程： 辅机 1、2 和主机同时起飞，辅机 1 飞行至 C 点时，为辅机 2 和主机的油箱加满油 之后，返回基地 A；辅机 2 与主机继续前进至 D 点时，辅机 2 为主机加满油之后，返回 基地；主机单独行驶至 B 点后，开始返航，至 E 点时，主机单独飞行距离恰为 L，机油 即将耗尽。 辅机 3 为主机返航服务， 恰好在 E 点为主机加油， 一同继续返航； 至 F 点时， 辅机 4 恰来接应辅机 3 和主机，为两者加油，并三者一同返回基地。 在飞行示意图 4 中，设1ACx=，2CDx=，3DBx=，4FEx=，5FAx= 12345123

13、45452156422452334xxxxxLxxxxxLxxLxxLxL+= +=+= += =对方程组求解得到：4123rxxxL=+= 4.1.2 综合综合分析分析 往返式飞行：辅机返航，另外的辅机为它加油，然后以开始的出航方向前进，再为 主机或其它辅机加油。 当 n5 时，最大作战半径的长度一定超过 L。有的辅机在返回基地之前需要多次往 返式飞行。这种列出方程组的求解法，已经难以求得最大作战半径，所以下文的问题二 会给出另一种方法的推导式。 4.2 问题二问题二 动态规划的基本思想是：把一个比较复杂的问题分解成一系列同一类型的更容易求 解的子问题，计算过程单一化。求解过程分为两个阶段，

14、先按照整体最优思想逆序地求 出各个状态的的最优决策，然后，再顺序的求出整个问题的最优策略和最优路线。由于 把最优化应用到每个子问题上，就系统的删去了所有中间非最优的方案组合。 当辅机架数比较大时，有的辅机在返回基地之前需要多次往返式飞行。辅机为主机 加油以及辅机和辅机之间相互加油，加油过程非常复杂，但最终结果都是使主机外出作战时，辅机能够及时供油，并且主机和辅机能够安全返回基地，寻求使用最少辅机架数 时最大作战半径（整体最优） 。因此，基于动态规划思想，引入逆推模式加油思想，不 再研究复杂的加油过程，直接由作战半径逆推，得到需要的最少辅机数，进而得到作战 半径nr 和辅机架数为n之间的关系。

15、4.2.1 逆推模式逆推模式加油理念加油理念理想状态理想状态基地定长后退基地定长后退 1概念理解： 理想状态基地后退：基地 A 的地理位置是固定的，不可改变。但是作战半径扩 大L，相当于基地后退L，所以称为理想状态基地后退。 基地位置序列：假设原基地的位置为kA （0AA=） ，依次后退L，构成基地位置序列01,kA AA。 基地位置序列的特点：相邻元素之间的长度为 L ；飞机在任一理想基地都处于 满油状态。 基地定长后退示意图 图释：主机作战区域为圆域，可以只做断层分析，研究半径方向上的飞行情况。 2L的确定： 根据基地位置序列的特点，理想动态基地由kA 后退至1kA+，一架飞机的耗油量增加

16、2L（包括出航、返航） ，为寻求最少的辅机数量，增加的耗油量由一架辅机提供，辅 机载油量为 L，自身耗油量亦为 2L，保证 2 架飞机均安全返回、kA 处的飞机均处于 满油状态的约束下，存在以下关系式： 21 2LL = 由此，可以确定L4L。 3辅机数和作战半径的关系 设在基地位置kA 处， 辅机架数为kn ， 那么总的飞机数量为1kn + 。 半径扩大/4L， 相当于基地后退/4L至1kA+。此时，每架飞机往返/4L的距离，需要耗油/2L，一架辅机往返范围在1kkA A+内时，恰能提供油量/2L，所以需要在理想基地1kA+处，增派1kn +架辅机，使前方kA 处的飞机处于满油状态。 综上分析，