实验十三 线性方程组

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1、MATLABMATLAB 高等数学实验 实验十三 线性方程组 实验目的 学习利用MATLAB命令求线性方程组的解, 以及解决有关问题。 13.1 学习MATLAB命令 1. 命令null(A), 给出齐次方程组AX=0的一个基础解系。 2. 命令Ab给出非齐次线性方程组AX=b的一个特解。 (1)在A是可逆方阵时, Ab给出非齐次线性方程组AX=b的 唯一解; (2)在非齐次线性方程组AX=b有无穷解时, Ab给出一个具 有最多零元素的特解(A不一定是方阵)。但实际操作中有 失败的情况。 (3)在非齐次线性方程组AX=b无解时, Ab给出最小二乘意 义下的近似解(A不一定是方阵)。 3. 命令

2、rref可以化矩阵为行最简形, 因此rref(A,b)可 以化增广矩阵为行最简形。这个方法提供了解线性方程组 的最可行和最常用方法。 4. 解一般方程或方程组的solve命令, 见实验七的7.1.3 节。 13.2 实验内容 13.2.1 求齐次线性方程组的解空间 给定线性齐次方程组AX=0(这里, A为mn矩阵, X 为n维列向量), 该方程组必定有解。如果矩阵A的 秩等于n, 则只有零解; 如果矩阵A的秩小于n, 则 有非零解, 且所有解构成一向量空间。 MATLAB中, 可利用命令null给出齐次方程组的解 空间的一个正交规范基。 【例1】求解线性方程组： 输入： clear; A=1,

3、1,-2,-1;3,-2,-1,2;0,5,7,3;2,-3,-5,-1; D=det(A) x=null(A) 12341234234123420322057302350xxxxxxxxxxxxxxx+= +=+= =输出为： D = 0 x = -0.4714 0.2357 -0.4714 0.7071 说明该齐次线性方程组的解空间是一维向量空间, 且向量： 是解空间的一个正交规范基。 ( 0.4714,0.2357, 0.4714,0.7071)T假如输入： A=sym(A); %把A变成符号矩阵 x=null(A) %这是null(A)输出A的一个基础解系,但不是正交规范基 输出为：

4、x = -2/3 1/3 -2/3 1 【例2】求解线性方程组： 输入： clear; A=1,1,2,-1;3,-2,-3,2;0,5,7,3;2,-3,-5,-1; D=det(A) x=null(A) 输出为： D = -40.0000 x = Empty matrix: 4-by-0 因此解空间的基是一个空集, 说明该线性方程组只有零解。 123412342341234203232057302350xxxxxxxxxxxxxxx+= +=+= =【例3】向量 , , , 是否线性相关? 根据定义, 如果向量组线性相关, 则齐次线性方程组： 有非零解。 1(1,1,2,3)=2(1, 1

5、,1,1)=3(1,3,4,5)=4(3,1,5,7)=112233440TTTTxxxx+=输入： clear; A=1,1,2,3;1,-1,1,1;1,3,4,5;3,1,5,7; A=sym(A); D=det(A) B=A; null(B) 输出为： D = 0 ans = -2 -1 0 1 说明向量组线性相关, 且 12420TTT+=13.2.2 非齐次线性方程组的特解 【例4】求线性方程组： 的特解。 输入： clear; A=1,1,-2,-1;3,-2,-1,2;0,5,7,3;2,-3,-5,-1; D=det(A) b=4,2,-2,4; rank(A) rank(A

6、 b) 12341234234123424322257322354xxxxxxxxxxxxxxx+= +=+= =输出为： D = 0 ans = 3 ans = 3 说明系数矩阵与增广矩阵的秩都是3, 方程组有解。输入： format rat %指定有理式格式输出 rref(A b) 输出为： ans = 1 0 0 2/3 1 0 1 0 -1/3 1 0 0 1 2/3 -1 0 0 0 0 0 因此 是方程组的一个特解。 (1,1, 1,0)T【例5】求线性方程组： 的特解。 输入： clear; A=1,1,-2,-1;3,-2,-1,2;0,5,7,3;2,-3,-5,-1; A=

7、sym(A); b=4,2,2,4; b=sym(b); rref(A b) 输出为： ans = 1, 0, 0, 2/3, 0 0, 1, 0, -1/3, 0 0, 0, 1, 2/3, 0 0, 0, 0, 0, 1 说明系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩, 该方程组无解。 12341234234123424322257322354xxxxxxxxxxxxxxx+= +=+= =【例6】向量 是否可以由向量 , , 线性表示? 根据定义, 如果向量 可以由向量组 线性表示, 则非齐次线 性方程组 有解。 输入： clear; A=1,2,-3,1;5,-5,12,11;1,-3,6,3; b

8、=2,-1,3,4; format rat %指定有理式格式输出 Ab 输出为： ans =1/3 1/3 0 因此非齐次线性方程组 有一个特解 , 说明 可以由 线性表示, 且 。 (2,3,4)=-11(1,2, 3,1)=2(5, 5,12,11)=3(1, 3,6,3)= 123, 112233TTTTxxx+=112233TTTTxxx+=1 1( ,0)3 3T123, 121()3=+13.2.3 非齐次线性方程组的通解 【例7】求方程组 的解。 输入： A=1,-2,3,-4;0,1,-1,1;1,3,0,1;0,-7,3,1; b=4,-3,1,-3; rank(A) ran

9、k(A b) 输出得到rank(A)=rank(A b)=4, 有唯一解。 12342341242342344331733xxxxxxxxxxxxx+= += += += 解1 用solve命令 输入： clear; x1,x2,x3,x4=solve(x1-2*x2+3*x3-4*x4=4, x2-x3+x4=-3, x1+3*x2+x4=1, -7*x2+3*x3+x4=-3) 输出为： x1 = -8 x2 = 3 x3 = 6 x4 = 0 即方程组有唯一解 12348,3,6,0xxxx= =解2 这个线性方程组中方程的个数等于未知数的个数, 而且 rank(A)=rank(A b)

10、=4, 有唯一解, 此解可以表示为 。其中A 是线性方程组的系数矩阵, 而b是右边常数向量。于是, 可以用逆阵计算 唯一解。 输入： clear; A=1,-2,3,-4;0,1,-1,1;1,3,0,1;0,-7,3,1; b=4,-3,1,-3; D=det(A) x=inv(A)*b 输出为： D = 16.0000 x = -8.0000 3.0000 6.0000 0.0000 1zA b=解3: 还可以用克莱姆法则计算这个线性方程组的唯一解。为 计算各行列式, 输入未知数的系数向量, 即系数矩阵的列向量。 输入： clear; a=1,0,1,0; b=-2,1,3,-7; c=3

11、,-1,0,3; d=-4,1,1,1; e=4,-3,1,-3; x1=det(e,b,c,d)/det(a,b,c,d) x2=det(a,e,c,d)/det(a,b,c,d) x3=det(a,b,e,d)/det(a,b,c,d) x4=det(a,b,c,e)/det(a,b,c,d) 输出为： x1 = -8.0000 x2 = 3.0000 x3 = 6.0000 x4 = 0 【例8】求方程组 的解。 解1 考虑用符号运算解方程组。先用命令Ab给出线性方程组 的一个特解, 再用null(A)给出对应齐次方程组的基础解系。 输入： clear; A=1,-1,2,1;2,-1,

12、1,2;1,0,-1,1;3,-1,0,3; b=1,3,2,5; A=sym(A); b=sym(b); x0=Ab x=null(A) 12341234134124212232335xxxxxxxxxxxxxx+= +=+= +=输出为： x0 = 2 1 0 0 x = 1, -1 3, 0 1, 0 0, 1 所以原方程组的通解为 ()()TTT 122,1,0,01,3,1,0(,0,0,1)k+k -1解2 输入： clear; A=1,-1,2,1;2,-1,1,2;1,0,-1,1;3,-1,0,3; D=det(A) b=1,3,2,5; B=A b; R1=rank(A)

13、R2=rank(B) RR=rref(B) 输出为： D = 0 R1 = 2 R2 = 2 RR = 1 0 -1 1 2 0 1 -3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 即有同解方程组 , 。于是非齐次线性方 程组的一个特解为 , 对应的齐次线性方程组的等价线 性方程组为 , ,它的一个基础解系为 与 , 原方程组的通解 1432xxx=+231 3xx= +(2,1,0,0)T143xxx= +233xx=()T1,3,1,0 ()T-1,0,0,1()()TTT 122,1,0,01,3,1,0(,0,0,1)k+k -1【例9】当a分别为何值时，方程组 分别无 解、有唯一解和有无穷多解?当方程组有解时, 求通解。 先计算系数行列式, 并求a, 使行列式等于0。 输入： clear; syms a; A=a,1,1;1,a,1;1,1,a; D=det(A) 输出为： D = a3-3*a+2 123123123111axxxxaxxxxax+= += +=再输入： a=solve(a