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1、20092009 届高考数学压轴试题集锦（二）届高考数学压轴试题集锦（二）1 1.在直角坐标平面中，ABC 的两个顶点为 A（0，1），B（0, 1）平面内两点 G、M 同时满足 , = = 0GAGBGC |MA|MB|MC GM AB （1）求顶点 C 的轨迹 E 的方程（2）设 P、Q、R、N 都在曲线 E 上 ，定点 F 的坐标为（, 0） ，已知 , 2PF FQ 且= 0.求四边形 PRQN 面积 S 的最大值和最小值.RF FNPF RF 2 2已知为锐角，且，12tan函数，数列an的首项.)42sin(2tan)(2xxxf)(,2111nnafaa 求函数的表达式； 求证：
2、；)(xfnnaa1 求证：),2(211 11 111*21Nnnaaan3 3（本小题满分 14 分）已知数列满足 na111,21nnaaanN （）求数列的通项公式； na（）若数列满足，证明：是等差数列； nbnnb nbbbba) 1(44441111321 na（）证明：2311112 3nnNaaa4 4已知函数 ,023232 acxxaxaxg（I）当时，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围；1a xg1 , 1c（II）当时，（1）求证：对任意的，的充要条件是；21a 1 , 0x 1/xg43c（2）若关于的实系数方程有两个实根，求证：且的充要x 0/xg, 11条
3、件是.412aac5 5已知数列a n前 n 项的和为 S n，前 n 项的积为，且满足。nT(1)2nn nT求 ；求证：数列a n是等比数列；是否存在常数 a，使得1a对都成立？ 若存在，求出 a，若不存在，说明理由。2 12nnnSaSaSanN6、已知函数是定义域为 R 的偶函数，其图像均在 x 轴的上方，对任意的( )yf x，都有，且，又当时，其导函数0,)mn、() ( )nf m nf mA(2)4f0x 恒成立。( )0fx （）求的值；(0)( 1)Ff 、（）解关于 x 的不等式：，其中222()2 24kxf x( 1,1).k 7、一个函数，如果对任意一个三角形，只要
4、它的三边长都在的定义域内， f x, ,a b c f x就有也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数” ,f af bf c f x（I）判断，中，哪些是“保三角形函数”，哪些不 1fxx 2fxx 2 3fxx是，并说明理由；（II）如果是定义在上的周期函数，且值域为，证明不是“保三角 g xR0, g x形函数”；（III）若函数，是“保三角形函数”，求的最大值 sinF xxx0, AA（可以利用公式）sinsin2sincos22xyxyxy8、已知数列的前 n 项和满足：（a 为常数，且） nanS(1)1nnaSaa0,1aa（）求的通项公式；na（）设，若数列为等比数列，求
5、 a 的值；21n n nSba nb（）在满足条件（）的情形下，设，数列的前 n 项和为Tn .111 11n nncaa nc求证：123nTn9、数列中，（是常数，），且成公比 na12a 1nnaacnc12 3n ，123aaa，不为 的等比数列。1（I）求的值；c（II）求的通项公式。 na（III）由数列中的第 1、3、9、27、项构成一个新的数列b ，求的值。 nan nnnbb1lim10、已知圆上的动点，点 Q 在 NP 上，MPNyxM为圆点定点),0 ,5(,36)5( :22点 G 在 MP 上，且满足.0,2NPGQNQNP（I）求点 G 的轨迹 C 的方程；（II
6、）过点（2，0）作直线 ，与曲线 C 交于 A、B 两点，O 是坐标原点，设l是否存在这样的直线 ，使四边形 OASB 的对角线相等（即,OBOAOSl|OS|=|AB|）？若存在，求出直线 的方程；若不存在，试说明理由.l参考答案参考答案1.解：（1）设 C ( x , y )， ,由知,G 为 2GAGBGO 2GCGO ABC 的重心 ， G(,) （2 分）3x 3y由知 M 是ABC 的外心，M 在 x 轴上。 由知 M（，0），3x由 得 | |MCMA 222( )1()33xxxy 化简整理得：（x0 ） (6 分) 2 213xy（2）F（，0 ）恰为的右焦点22 213xy
7、设 PQ 的斜率为 k0 且 k，则直线 PQ 的方程为 y = k ( x )2 22由222222(2)(31)6 2630330yk xkxk xkxy设 P(x1 , y1) ，Q (x2 ,y2 ) 则 x1 + x2 = , x1x2 = （8 分） 226 2 31k k 2263 31k k 则| PQ | = 21k2 1212()4xxx x= = 21k22 2 226 263()43131kk kk 222 3(1) 31k k RNPQ,把 k 换成得 | RN | = （ 10 分)1 k222 3(1) 3k k S =| PQ | | RN | = =) 1 2
8、22226(1) (31)(3)k kk 2 28213() 10kk 2 2183() 102kkS2 ， 16， S 2 ， (当 k = 1 时取等号) （12 分）2 21kk8 2S3 2又当 k 不存在或 k = 0 时 S = 2综上可得 S 2， Smax = 2 ， Smin = （14 分）3 23 2-7-2 2解： 又为锐角1) 12(1) 12(2 tan1tan22tan22 421)42sin(xxxf2)( 都大于 0nnnaaa2 1211anaaa,32 02nannaa1 ，. nnnnnnnaaaaaaa111 )1 (1112 1111 11nnnaa
9、a 1322121111111 11 11 11nnnaaaaaaaaa1111211nnaaa, , 又43 21)21(2 2a143)43(2 3annaan12 ， ，131aan21211na211 11 11121naaa3 (本小题满分 14 分)解：（1），2 分121nnaa) 1(211nnaa故数列是首项为 2，公比为 2 的等比数列。3 分1na，4 分n na2112 n na（2），5 分nnb nbbbba) 1(44441111321nnnbnbbb24)(21nnnbnbbb2)(2211121) 1() 1(2)(2nnnbnnbbbb得，即8 分nnnnb
10、bnb11) 1(221) 1(2nnbnnb212) 1(nnnbbn得，即9 分112nnnnbnbnb112nnnbbb所以数列nb是等差数列（3）11 分1111 21 221 1211nnn naa设，则 132111naaaS)111(211322naaaaS)1(21112naSa13 分14 分321 3212112nnaaaS4. (本小题满分 16 分（1）当时，1 分1acxxxxg23 21 31)(cxxxg2)(在（1，1）上为单调递增函数，在（1，1）上恒成立2 分)(xg0)(xg在（1，1）上恒成立3 分02cxx 4 分2c（2）设，则)()(xfxg5、；
11、11a 4 3a 6、解：(1)由 f(mn)f(m)n得：f(0)f(00)f(0)0函数 f(x)的图象均在 x 轴的上方,f(0)0,f(0)13 分f(2)f(12)f(1)24，又 f(x)0f(1)2,f(1)f(1)23 分(2) 22222222222211 242444kxkxkxkxffffff xxxxA又当时，其导函数恒成立，在区间上为单调递增函0x 0fx yf x0,数22222124140 4kxkxxkxkx x 当时，；0k 0x当时，；10k 22440011kkx xxkk24,01kxk当时，01k22440011kkx xxkk240,1kxk综上所述
12、：当时，；当时，；0k 0x10k 24,01kxk当时，。01k240,1kxk7、解：（I）是“保三角形函数”，不是“保三角形函数” 1 12,fxfx 3fx分任给三角形，设它的三边长分别为，则，不妨假设，, ,a b cabc,ac bc由于，所以是“保三角形函数”. 3 分0ababc 12,fxfx对于，3，3，5 可作为一个三角形的三边长，但，所以不存在三角形 3fx222335以为三边长，故不是“保三角形函数” 4 分2223 ,3 ,5 3fx（II）设为的一个周期，由于其值域为，所以，存在，使0T g x0,0nm得， 1,2g mg n取正整数，可知这三个数可作为一个三角形的三边长，nm T,TmTm n但，不能作为任何一个三角形的三边长故1gTm 1,2gTmg n不是“保三角形函数”
