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1、解解 又又 441248)(4),(22222+=+=+=+=yxxyxyxfAxx xyyxfBxy8),(= 412448)(4),(22222+=+=+=+=yxyyxyxfCyy ,0162= BAC且且, 08 =A故故1)0 , 1(= =f为为f的最小值的最小值 .故故)0 , 0(点不是点不是的的f在在)0 , 1( 处处 ：, 0642= BAC, 08 =A故故 1)0 , 1(=f为为f的最小值的最小值 .1. 求函数求函数)(2)(),(22222yxyxyxf+=+=的极值的极值 .2. 求函数求函数)sin(sinsin),(yxyxyxfz+=+=在由在由轴轴yx
2、轴，轴，所围成三角形中的最大值所围成三角形中的最大值.及直线及直线 2=+=+ yx解解令令,0)cos(cos0)cos(cos =+=+= =+=+=yxyzyxxzyx方程组在三角形内有唯一解方程组在三角形内有唯一解).32,32(在该点处在该点处.233),(= =yxf在三角形的边界在三角形的边界0, 0=yx和直线和直线 2=+=+ yx上，上，均有均有. 0),(= =yxf因此因此)32,32(是函数在该三角形是函数在该三角形上的最大值点，上的最大值点，是函数在该三角形上的最大值是函数在该三角形上的最大值. 232最大值最小值（简称最值）问题最大值最小值（简称最值）问题函数函数
3、 f 在闭域上连续在闭域上连续函数函数 f 在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值最值可疑点最值可疑点稳定点、偏导数不存在的点稳定点、偏导数不存在的点边界上的最值点边界上的最值点特别特别,当区域内部最值存在当区域内部最值存在,且只有一个极值点且只有一个极值点P 时时,)(Pf为极小为极小 值值)(Pf为最小为最小 值值依据依据(大大)(大大)例例1 1 有一宽为有一宽为 24cm 的长方形铁板的长方形铁板 , 把它折起来做成把它折起来做成一个断面为等腰梯形的水槽一个断面为等腰梯形的水槽, , 积最大积最大. . 问怎样折法才能使断面面问怎样折法才能使断面面x24 x224x2224 sin2si
4、ncossinAxxx=+=+(: 012, 0)2Dx 0 , y 0, z 0, 而且还须满足条件而且还须满足条件Vxyz = =这类附有约束条件的极值问题称为条件极值这类附有约束条件的极值问题称为条件极值. . 条件极值问题的一般形式是在条件组：条件极值问题的一般形式是在条件组：)(, 2, 1, 0),(21nmmkxxxnk=+=求求n元函数元函数12 1212(,)naaa nnf xxxx xx=在约束条件在约束条件12(0,1,2, )nixxxa xin+=+=下最大值下最大值112212lnlnln+ ().nnnLaxaxaxxxxa=+=+12+0,1,2, ,.iii
5、naLinxxxxxa= += +=12,1,2, .i i naaxinaaa=+=+解解例例4 4 设设0,0(1,2, ).iaain=求求n元函数元函数12 1212(,)naaa nnf xxxx xx=在约束条件在约束条件12(0,1,2, )nixxxa xin+=+=下最大值下最大值212(, )n kln nLxxxxx =1 2 12 2 22000000nna xa xa x 1212 12 12max.nnaaaaaa n naa aaaaa+=+=+ 课堂练习课堂练习1求函数求函数在附加条件在附加条件xyzu = = azyx/1/1/1/1=+=+)0, 0, 0, 0(azyx(1) 下的极值下的极值. .2 求表面积为求表面积为2a而体积为最大的长方体的体积而体积为最大的长方体的体积. .
