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1、3 8 中学数 学研 究 2 0 1 5第 7期 = + ， = + 丢 ， 3 A A P Q 面积与 A A B C的面积之比是多少? 解 ： 取 D， E， F分别为 A A B C 的边 B C ， A C， A B 的 中点，则 由 A Q = 寺 + = ( + 的 另解 ： 1 l 4 C 上 J A B+A B)=A ( 2 A D+ 2 A F)= 图 4 ( + ) ， 所以 Q J T D F的中点 ，同理 P为 的 _ + 。 十 1 中点 ，所以有P Q ： E F= 1 C B 即P Q C B ， 且 I P Q l= 1 l C B l ， 而A点到 P Q的距
2、离d 是A点到 z的 丢 以 = = = 一， 即 S A AP Q1 6 = 三1 6 为 觫 l l d 4 4 Js c 评注： 本题得 II P QC B后， 问题就变得简单易 解 ， 这里 向量平行更是功不可没 正 因为P 9 C B是 破解本题的关键所在， 因此， 也就必然有如下的简单 另 解 ： 由 已 知 砀= 丢 + ，A P = +丢 一 ， 则 一= 一 一 一= ( 一 十 ) 一 ( 1A B P Q A Q A P 1 A C 1 1 + ， 则 = 一 = ( + A B ) 一 ( + - A B ) = -( A B A C ) = ， 即 而= 寺C B ，
3、 所以 尸 Q C B ， 且i P Q f = 1 f C B i ， 而 点 l ， ， 0 一 十 到 P Q的距离 d 是 A点到 B C的距离 d 的 倍 ， 所 以 ： ： ： 三 ： s伽 c 一 l l d 一l 历 l (z ：一4 4 一 1 6为瓣 启示 ： 由于此类问题预先并不知道 向量( 平行) 的位置关系， 可以先作一个 图形的示意图， 通过对 已 知条件的转化( 化简)在得 到明确 的位置关系后将 图形加 以修正， 这 一过程中， 既要用到向量的相关知 识 ， 也要用到平面几何相关知识 ， 从而进一步综合考 查学生的数学素养， 这也正是命题者青昧不 已的原 因之一
4、， 教学中要不断总结， 使学生真正掌握 ， 所谓 纵 观立体 几何考题 感悟 向量方法解题 北京市第八十中学 ( 1 0 0 1 0 2 ) 孙世林 每个学期的学期末全 国各地 的 中小 学都进 行 了期末考试 ， 纵观北京各 区高三数 学期末考试立体 几何考题， 学生的得分情况不理想， 在解题中为避免 难度较大的几何推理 ， 同学们 常建 立空间坐标 系利 用坐标形式的向量解决 问题， 但试题 中往往没有 明 确的垂直关系， 建 立坐标 系要通过 一定 的转化、 证 明， 难度较大， 一味强调 坐标法会造成得分的 困难 ， 出现这种现象一是空间想象能力、 几何推理有待提 高， 再有就是对向量
5、知识本质认识不够， 恰当利用非 坐标形式的向量解题 ， 既可避开技巧要求过高 、 转化 复杂 的几何法， 又可以很好 的回避有 时建系的困难 ， 下面就从近期的高三期末立体几何考题谈起 ： 1 纵观空间位置 关系问题 ， 感悟用非坐标形 式向量解题 向量具有“ 数”与“ 形”双重身份， 兼具代数的 严谨与几何 的直观， 要正确理解向量加法、 减法与数 乘运算 的几何意义 ， 如， 首尾相接 的若干 向量之和， 等于由起始 向量 的始点指 向末尾 向量 的终 点的 向 量 ， 我们可把这个 法则称为向量加法的多边形法则 解题时可以将有关线、 面用向量表示出来， 再利用共 线向量定理 、 共面向量
6、定理及 向量垂直 的条件得到 证 明， 这样可以很好 的避开学生感觉 困难 的几何关 系 的论 证 例 1 ( 2 0 1 5年北京市海淀区高三期末考试题) 如 图1 所示， 在三棱柱A BC A l B C ， 中， A A。 B B 2 0 1 5年第 7期 中学数学研 究 3 9- 为 正方 形， B B C C为 菱形 ， B B。 C =6 0 。 ，平 面 A A B， B上 平面 B B 1 C C 设点 E， F分别是 B C， A A 的中点， 试判断直线E F与平面 A B C的位置关系， 并 说 明理 由 解析： A 为正方形 ， E， F分别是 BC 。和 + + 十
7、+ 1 A A l 的中点， E F=E B 1 + B l A l + A 1 F= 1 + 一 1 1 l + A 1 A=( B B l c )+ 一 寺 1 = 一 B c+鲋 ， E 、 B c 、 鲋 是共面向量， 又E F 平面 A B C， E F 平面 A B C 点评 ： 本题不存在 两两垂直的三条棱 ， 若建立空 间坐标 系， 需要找 出一条和底 面垂直的直线作 为 。 轴 ， 这样会使部分点的 坐标不好确 定； 采取几何法 ， 通过充分观察几何体 的特征 ， 可直观的猜测 出直线 F与平面 A B C平行 ， 此处难度较 大， 需要 学生有很 好 空间想象能力， 接下来
8、要在平 面A B C内找一条线 段与 E ，平行 ， 再通过严格的几何推理与论证 ， 也 需 要很好的思维能力； 采取非坐标形式的向量 ， 利用向 + 1 量的加、 减法的几何意义表示为E F=一 B c+ B A ， 根据 向量共 面的条件得证 例 2 ( 2 0 1 5年北京 市朝 阳 区高三期 末考 试理 科题 )如 图 2 ， 在四棱锥 P A B C D 中， 底面 A B C D是正方形 ， 侧面 P A B上 底 面A B C D， P A=A B， 点E是P B的 中点， 点 F在 边 B C上 移动求 证 ： A E L P F 图 2 解析 ： 。底面 A B C D是 正
9、方形， 。 B C j _4 B， 叉 。BC 上 平 面 B， A E c 平 面 ， B C上 E， 即 + A E B F=0 ， P A=A B， 点E是尸 的中点， A 上 + 十 + P B， 即A 尸 B =0 ， 。 A E P F =A E ( P B+B F) ：AE PB + AE BF = 0 点评 ： 本题很 多学生误认 为 上 平面 A B C D， 从 而建立空间坐标 系， 利用向量的坐标形式进行垂 直的证明， 以至于不能得分 ， 利 用传统 的几何法 ， 难 度在于点，是棱 B C上动点， 确定题 目中的垂直关 系 有一定的难度 ， 把相关线段 A E、 P F
10、用具有垂直关 系 + 的向量A B， A P， B C来表示 ， 再利用数量积的运算 ， 便 迎刃而解， 这种办法突出向量的相互表 示和运算 ， 避 免 了繁琐的几何推理 ， 收到 了很好 的效果 2 纵观“ 立几”中的探究性问题 ， 感悟如何选 择 向量 的基 底 非坐标形式的向量解决立体几何 问题， 关键是 结合 图形选择恰当的基底， 构建基向量， 利用 向量加 法、 减法的几何意义 ， 把有关 向量表 示 出来 ， 再把有 关问题转化为向量之间的运算来解决 例 3 ( 2 0 1 5年北京市东城 区期末考试理科题) 如 图 3 ， 上 平 面 A B C， A B 上 B C， A B
11、=P A =2 BC =2 ， M 为 P B的中点 ( 1 )求证 ： A M 上 平面 P BC ； ( 2 )求二面角 AP c B 的余 弦值 ； ( 3 ) 证明： 在线段 P C上存 在点 D， 使得 肋上A C， 并求 的值 解 析 ：( 1 ) P A 上 平 面 C 图 3 A BC ， B C C 平 面 A BC， P A 上 B C B C 上 A B， P A n A B =A B C j _平 面 P A B 又 A M c 平 面 P A B， A M 上B C P A =A B， M 为 P B的中点 A M 上 P B 又 P B n B C =B， A M
12、上 平 面 P C ( 2)如 图， 作 A E j _PC于 点 E， 作 B ，上 P C于点 F， 由 已知 P B：2 ， A C= ， P C=3 在 P c 中， A P = 2 ， A C ： ， L PAC ： 90。， AE ： ， PE = ， P = 9 PC， c 。 s APC 图 4 =了2 ，在 船 c中， P c =3 , B C =1 ， LP BC=9 0 。 ， F = = = 吉 c P ， c 。 s L B C P = ， 由 = A P + P E = A P + 告 庑；B F = B C + C F ， 由 E = + = + P c = +
13、=BC + ， 。 ：一 二 _ _： l AE l 1 B l 一一+ 一CPAP BC + PCBC + 1 PC CP 。 + 寺 P + 亏 + 。 2 5 2 2 丁 亍 4 0 中学数学研 究 2 0 1 5第 7期 = 又二面角AP CB为锐角， 所 以二面角A P cB的余弦值 为 ( 3 )假设在线段 P C上存在 点D， 使得B D_ L A C 且 设 C D =AC P BD =BC+C D =BC+A C P = B C+A ( B PB C )=( 1一A ) B C+A B P， 同时A C= AB+BC， 又 B D j _ AC， AC BD =0 又A C
14、BD = ( 1一A) A B B C+A A B B P+( 1一A) BC 十A B C B 尸 =0+A22 、 乏( 一 )+( 1一A)+0= ， 、 I 一 5 A ， 1 5 A ： 0 ， A ： ， c D =- C P 所 以 在线段 P C上存在点 D， 使 得 肋J _ A C 此时 ： 4 点评 ： 向量法是解决立体几何探 宄性 问题 明显 优 于传统的几何法， 平时我们可 以有意识 的用非 坐 标形式的向量法解决探 究 问题 的训练 ， 这样 可以很 好的 弥补坐标法的不足 ， 完善数学思维， 非 坐标形式 的向量解决立体几何问题 ， 关键是选择合适的基底 ， 构建基向量 ， 利用向量加 法、 减法的几何 意义， 把有 关向量表示出来， 再把有关问题转化为向量之间的 运算来解决 3 纵观“ 立几”的综合问题 ， 感悟从 向量结果 向几何结论的回归 立体几何是中学数学重要的 内容之一， 也是高 考必考的知识点， 本部分知识要求学生要
