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1、 6 6- -1 1 刚体运动学刚体运动学刚体运动学刚体运动学6 6- -2 2 刚体动力学刚体动力学刚体动力学刚体动力学本章内容：本章内容：6-1-1 刚体模型刚体模型6-1 刚体运动学刚体运动学6-1-2 刚体的平动和转动刚体的平动和转动6-1-3 角速度 角加速度角速度 角加速度本节内容本节内容6-1-4 定轴转动定点转动定轴转动定点转动6-1-1刚体模型刚体模型6 6- -1 1- -1 1刚体模型刚体模型刚体模型刚体模型刚体(rigid body) ：在外力作用下现状和大小都不变 化的物体。刚体是一个理想模型。1 1. . 刚体的平动刚体的平动刚体的平动刚体的平动2. 2. 刚体的转
2、动和转轴刚体的转动和转轴刚体的转动和转轴刚体的转动和转轴任意点P绕同一轴作 圆周运动。角量相同。特点：。线量相同。BABAAB /ABp转轴A B BA6-1-2 刚体的平动和转动刚体的平动和转动6 6- -1 1- -2 2 刚体的平动和转动刚体的平动和转动刚体的平动和转动刚体的平动和转动3. 刚体的一般运动：平动与转动叠加ABBB ABBAA 刚体运动分解刚体运动分解平动与转动的分 解不是唯一的平动与转动的分 解不是唯一的角量与转轴的位 置无关。角量与转轴的位 置无关。任意点p的速度rvrrr=因为在定轴转动中，方向沿转轴方位仅有 两种可能，可用标量进行计算。rrrrvr or6-1-3
3、角速度 角加速度角速度 角加速度6 6- -1 1- -3 3 角速度角速度角速度角速度 角加速度角加速度角加速度角加速度tddvr=tddvv=1. 各点绕轴作半径不同的圆周运动 2. 各转动平面垂直于转轴 3. 各点的 ， 相同zABAB6-1-4 定轴转动 定点转动定轴转动 定点转动6 6- -1 1- -4 4 定轴转动定轴转动定轴转动定轴转动 定点转动定点转动定点转动定点转动?定轴转动定轴转动定轴转动定轴转动转轴相对某惯性系的位置和方向固定不变。刚体绕通过固定点的瞬时轴的转动。?定点转动定点转动定点转动定点转动ttO刚体的平面平行运动：刚体中任一点的运动 始终平行于某一固定平面.o
4、cv刚体的一般运动=平动+定点转动刚体的平面平行运动=平动+定轴转动6-2-1 转动惯量转动惯量6-2 刚体动力学刚体动力学6-2-2 定轴转动刚体的角动量和角动量定理定轴转动刚体的角动量和角动量定理6-2-3 定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律本节内容本节内容6-2-4 转动的动能定理转动的动能定理6-2-5 刚体的定点运动 旋进刚体的定点运动 旋进 6-2-6 刚体的平面平行运动（不讲）刚体的平面平行运动（不讲）6-2-1转动惯量转动惯量6 6- -2 2- -1 1转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量=2 iirmI?刚体的转动惯量刚体的转动惯量刚体的转动惯量刚体的转动
5、惯量刚体可以看作是由无数有 一定体积的质量元构成的 连续质量系统。刚体可以看作是由无数有 一定体积的质量元构成的 连续质量系统。 = =mrId2转动惯量是对轴而言的转动惯量是对轴而言的?质点系的转动惯量质点系的转动惯量质点系的转动惯量质点系的转动惯量imirxyz1. 转动惯量是转动惯性大小的量度 (kgm2) 2. 转动惯量决定于刚体对轴的总质量及对轴的质量分布 3. 同一刚体对不同的轴的转动惯量一般是不相同的由定义式求转动惯量的由定义式求转动惯量的方法步骤方法步骤：1）在刚体上）在刚体上选取选取一个质元一个质元dm；2）计算）计算dm到转轴的距离到转轴的距离r.3) 求出积分求出积分:m
6、rIddI2=Oxxmdd = =x dRO sinRRrrmd2d = =202 31dmLxxLmIL= 2222 121dmLxxLmILL= )d2(20 = =L II或或O例：例：质量为质量为m，长为，长为L的均匀细棒对某轴的转动 惯量。的均匀细棒对某轴的转动 惯量。 1.对中心轴解：1.对中心轴解：=mxIdd22.对端轴对端轴解：解：xxmdd = =xOxmdxL= =xxd2 xLmxd2 = =mrId2平行轴定理平行轴定理2mdIIc+=+=20dmRmRIR= 例例求质量为求质量为m、半径为、半径为R的均匀细圆环的转 动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。的均匀细圆环的
7、转 动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。ROI I是可加的是可加的，所以若为，所以若为薄圆筒薄圆筒（不 计厚度）结果相同。（不 计厚度）结果相同。dmmRIdd2= =解：解：细圆环和薄圆筒细圆环和薄圆筒对中心轴对中心轴的转动惯 量相同；同理，圆盘和圆拄的转动惯 量相同；同理，圆盘和圆拄对中心 轴对中心 轴的转动惯量相同。的转动惯量相同。例例：求密度均匀圆盘求密度均匀圆盘(R、m) 对垂直盘面的中心轴 的转动惯量对垂直盘面的中心轴 的转动惯量.解：解：2Rm = =mrIdd2203 21d2mRrrIR= 质量面密度质量面密度rrrd22R圆盘和圆拄圆盘和圆拄对中心轴对中心轴的转动惯量相同。
8、的转动惯量相同。例：例：圆环带圆环带(R1, R2, m)，对垂直盘面的中心轴的转 动惯量，对垂直盘面的中心轴的转 动惯量.解：解：)(2 12 2RRm =)(21d22 22 1321RRmrrIRR+=+= 本题还可以应用本题还可以应用“负负”质量法求解。质量法求解。 请同学自行验证。请同学自行验证。m1R2R例：例：组合体的转动惯量组合体的转动惯量：1. 匀质杆与质点球，2 . 匀质盘+匀质盘（如滑轮组）1. 匀质杆与质点球，2 . 匀质盘+匀质盘（如滑轮组）解：解：1.22)2(121LmMLI+=+=2.2 222 1121 21RmRmI+=+=常见的刚体转动惯量见下表，要牢记！
9、常见的刚体转动惯量见下表，要牢记！Mm2L 2L11,mR22,mR组合体对某定轴的组合体对某定轴的 I，等于 各刚体对同一转轴，等于 各刚体对同一转轴 I之和。转动 惯量具有可叠加性。之和。转动 惯量具有可叠加性。RR2MRI = =OOOO22MRI = =ROOOOOOOOrROOOO)(222rRMI+=+=22MRI = =OOOO22MRI = =RL12422MLMRI+=+=RLOOOO2R522MRI = =球体球体OOOO球壳球壳2ROOOO322MRI = =作业：6.2， 6.3， 6.4， 6.5?刚体的角动量刚体的角动量刚体的角动量刚体的角动量质量元对质量元对O点角
10、动量点角动量im)(ivimiRiLrrr =iviRimiLrr =|)(同方向各同方向各iiL)L(Lrrr= = =cosLLiz对转轴对转轴Z：ZLrOiLrimiRrir6-2-2 定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理6 6- -2 2- -2 2 定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理()()= = = = = 22 iiiiiiiiz rmrmcosvRmcosLL ILz= =注意：注意：注意：注意：1. Lz，I， 均对同一转轴均对同一转轴 2. Lz 与与 同方向，即同号同方向，即同号?定轴转动的角动量定
11、理定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理tZL tI ZMdd d)(d= ?定轴转动的转动定理定轴转动的转动定理定轴转动的转动定理定轴转动的转动定理tIIZMdd=说明说明说明说明：1. 力矩力矩Mz是刚体转动状态改变的原因 是是刚体转动状态改变的原因 是Mz与与 的瞬时作用规律的瞬时作用规律2. 总力矩（代数和）总力矩（代数和）=ZiZMM)dd(tpFrr =类比=类比0)(dd00IILLZLtttZMZZ=（角动量定理的积分形式）（角动量定理的积分形式）例例例例：长为L，质量为M的均质杆，一端悬挂并可绕o轴 在铅直平面内自由转动，开始杆处于静止状态， 在杆的中心
12、作用一冲量，其方向垂直于杆。 求：求：求：求：冲量作用结束时，杆获得的角速度。Sr解解解解：假定冲量作用时间 极短，在 作用过程中杆来不及发生位移。0 0=JdtMZSLdtLFJr220=MLS23r=cSro当当MZ=0 时，时，常量=常量= ILz说明：说明：说明：说明：1. 对定轴转动刚体，对定轴转动刚体，I一定，一定， 将保持不变；将保持不变；2. 对定轴对定轴非刚体非刚体，I 可以变化：可以变化：常量= 常量= III若刚体对某定轴的合外力矩为零,则刚体对 同一定轴的角动量保持不变.若刚体对某定轴的合外力矩为零,则刚体对 同一定轴的角动量保持不变.儒可夫斯基凳直升机儒可夫斯基凳直升
13、机6-2-3 定轴转动刚体角动量守恒的条件定轴转动刚体角动量守恒的条件6 6- -2 2- -3 3 定轴转动刚体角动量守恒的条件定轴转动刚体角动量守恒的条件定轴转动刚体角动量守恒的条件定轴转动刚体角动量守恒的条件3. 在非定轴转动时， 的方向保持不变；在非定轴转动时， 的方向保持不变；Lr回转仪回转仪例例：阿特伍德机由一轻绳跨过一定滑轮组成。绳：阿特伍德机由一轻绳跨过一定滑轮组成。绳 两端分别悬挂质量为两端分别悬挂质量为m1和和m2和物体和物体A、B （m1 m2），滑轮质量为），滑轮质量为m，半径为，半径为R，在转动，在转动 过程中受磨擦阻力矩为过程中受磨擦阻力矩为Mr，并设绳与滑轮之间，
14、并设绳与滑轮之间无相对滑动，试求物体的加速度和绳的张力。无相对滑动，试求物体的加速度和绳的张力。解解：受力分析如图（隔离体）：受力分析如图（隔离体）ABc1m2m.c o RrM1T2TA1T1mar1GB2T2mar2G滑轮视为匀质圆盘的刚体滑轮视为匀质圆盘的刚体2 21mRI = = Q绳质量忽略绳质量忽略2211;TTTT= 且，否则滑轮将不转动且，否则滑轮将不转动21TT ) 1(:111amGTA= )2(:222amTGB= = )3(:12 IMrTRTCr= = )4( Ra = =可解出：可解出： mmmRMgmmar21)(2112+ = =)(;)(2211agmTagm
15、T = =+ += =一般方法一般方法一般方法一般方法：对质点应用牛顿第二定律，对刚体应用转 动定律，并由角量与线量关系，列出几何补充方程。：对质点应用牛顿第二定律，对刚体应用转 动定律，并由角量与线量关系，列出几何补充方程。.c o RrM1T2TA1T1mar1GB2T2mar2G例例: :有一子弹有一子弹,质量为质量为m,以水平速度以水平速度v0 射入杆 的下端而射入杆 的下端而不复出不复出, 求杆和子弹开始一起运 动时的角速度求杆和子弹开始一起运 动时的角速度?m mv v0 0解解: 碰撞时间很短.: 碰撞时间很短.杆和子弹组成的系统动量守恒吗?杆和子弹组成的系统动量守恒吗?系统对轴O角动量守恒!系统对轴O角动量守恒!M.lM.lO O 2 31 0Mlmlvmlv+=+= lv = =Qlv Mmm0 33 +=+= 如果子弹穿出或反弹如果子弹穿出或反弹
