高中数学联赛培训题

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1、 橙子奥数工作室 http:/ 教学档案 非卖品 高中数学联赛培训题一 一选择题每小题 6 分 1 设2+?对一切大于1的自然数n都成立 则整数m的最大值为_ 12在ABC中若, ,a b c成等比数列则tantan22AC的取值范围是_ 二解答题每小题 20 分 13若,0, x y对于任何实数t表达式1( 2coscos cos )cos cos2txyxy 1coscoscos2xyt +恒为负试求, x y所满足的关系式 14已知函数22( )f xxxa=+(0)a 数列na满足1 1()nnafa +=13aa=()nN设n n naabaa=+数列 nb的前n项和为nS试比较nS

2、与7 8的大小并证明你的结论 15已知ABBCCA是抛物线22(0)ypx p=的三条任意切线它们交成一个ABC求证ABC的垂心在某条固定的直线上 橙子奥数工作室 http:/ 教学档案 非卖品 高中数学联赛培训题二 一选择题每小题 6 分 112PP是双曲线22221xy ab=0a 0b 的弦P是12PP的中点O是坐标原点斜率 1 2PPk存在且不为零OPk也存在且不为零则 1 2PPkOPk = A.222a ab+B.22b aC.22a bD.222ab b+ 2数列ka为等差数列共有21n+项其中奇数项之和为320偶数项之和为290则第1n +项的值为 A.30 B.305 C.1

3、5 D.该数列不存在因而1na+不能求出 3 已知x和y是实数1(4)zxyi=+2(4)zxyi=+12zz+10=令34uxy=则u的最大值为 A.0 B.34 C.2 34 D.4 4 现有四个命题( )arccosarccotf xxx=+的值域是7,44( )arcsinarccosg xxx=+是偶函数( )sin(arcsin )xx=是周期函数sin(arcsin )arcsin(sin )xx=成立的充分必要 条件是 1,1x 其中正确的命题是 A.只有 B.只有 C.只有 D.只有 5设变量x满足2xbxx+ 1b +都成立的x的取值范围是_. 10已知等腰三角形的最大边长

4、为13周长为28面积为27则它的最小边长是_. 11在正方形ABCD内部一点P满足PB是PA与PC的等差中项PD是PB与PC的等比 中项PAPBPDPC+3 111lg( !)()10 23nn+? 15如果一个矩形的长和宽都为奇数在其内部是否存在这样的点它到四个顶点的距离都 是正整数 橙子奥数工作室 http:/ 教学档案 非卖品 高中数学联赛培训题三 一选择题每小题 6 分 1若2351xyz=则2x3y5z从小到大的顺序是 A.325yxz及32aa称为凹数例如 104525849都是凹数而 123684200 都不是凹数则所有凹数的个数是_. 三解答题每小题 20 分 13已知23x试

5、求函数21221( )2xxxyf xx+=的最大值 14已知点M是抛物线24(1)xy=的顶点以M关于x轴的对称点C为圆心且与x轴相切作圆C过抛物线上任意一点P作圆C的两条切线 这两条切线交抛物线准线于AB两点求AB的取值范围 15实数,m n满足1,1mn且2222(log)(log)log ()log ()aaaamnaman+=+(1)a 试求log ()amn的范围 橙子奥数工作室 http:/ 教学档案 非卖品 高中数学联赛培训题四 一选择题每小题 6 分 1若A=两边之和小于第三边的三角形B =三边之比为1:2:3的三角形则关系式()AB ()()ABABAB=中成立的个数是 A

6、.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 2方程3cos101012xxx=+的实数解有 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 3, a b是异面直线直线c与a所成的角等于c与b所成的角这样的直线c A.有一条 B.有两条 C.不存在 D.有无数条 4等腰三角形的周长为a一腰的中线将周长分成5:3则三角形的底边长为 A.6aB.2aC.6a或2aD4 5a或3 5a 5若, a b均为正整数则恰过( ,0)a(0, )b和(1,3)这三点的直线共有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.无数多条 6若3log (arccos)2a=2arccos(log)3b=3arccos(

7、log)2c=则, ,a b c的大小关系是 A.bac若方程logaxxm+=的解是P则方程xxam+=的解是_. 933333331234199319941995+?被3除所得的余数是_. 10 函数( )f x , ( )g x的定义域为R且( )0f x 的解集为 12xx的解集为_. 11设复数zabi=+( ,0)a bR b21z z+和21z z+都是实数则z =_. 12已知,0,2 且互不相等2cos (1cos )3sin (1sin )2+= cos(1cos)3sin(1sin)2cos (1cos )3sin (1sin )0+=+=,则 cot2+的值为_. 三解

8、答题每小题 20 分 13若, , ,0a b c d 证明在方程21202xab xcd+=21 2x + 20bc xda+=21202xcd xab+=2122xda x+ 0bc+=中至少有两个方程有不相等的实数根 14已知二次函数2( )1f xaxbx=+( ,0)a bR a设方程( )f xx=的两个实数根为1x和2x1 如果1224xx 2 如果12x 的轴的正方向是否存在一点K使得对于经过K点的抛物线的任意一条弦AB总有2211KAKB+为定值证明你的结论 15已知, a b是任意的正实数求证11() 12nnnnnnaababbab n+?橙子奥数工作室 http:/ 教

9、学档案 非卖品 高中数学联赛培训题六 一选择题每小题 6 分 1函数4153yxx=+的值域为 A.1,2 B.(0,2 C.(0, 3 D.以上都不对 2方程2000sinxx=+的实根的个数为 A.0 B.1 C.2 D.大于 2 3已知一个整系数多项式某同学求得的结果是( 2)56f = (1)2f= (3)53f=(6)528f=则他计算错误的是 A.( 2)f B.(1)f C.(3)f D.(6)f 4已知边长为a的菱形ABCD3A=将菱形ABCD沿对角线折成二面角已知2,33则两对角线距离的最大值是 A.3 2aB.3 4a C.3 2a D.3 4a 5 已知复数列na的通项公

10、式为(1)(1)(1)(1)23niiiain=+?则1nnaa+= A.2 2B.2 C.1 D.2 6以凸n边形的各边为直径作圆凸n边形必能被这n各圆覆盖则n的最大值是 A.3 B.4 C.5 D.大于 5 二填空题每小题 9 分 7已知, ,a b c依次成等差数列222,a b c依次成等比数列这个等比数列的公比q =_ 8点P是异面直线, a b外任一点过P点与, a b均平行的平面有_个 9不等式2221011xx xx+的解集是_ 10设08x则函数2(8)(8)( )1x xxf xx+=+的值域是_ 11 已知22( )(sin4sin4)(cos5cos )f xxx=+的

11、最小值为( )g则( )g的最大值是_ 12已知直线l经过抛物线2:4C yx=的焦点且斜率2k l与抛物线C交于,A B两点AB的中点M到直线:340mlxym+=(3)m 的距离为0.2则m的取值范围是_ 三解答题每小题 20 分 13已知01c在x轴上取两点,M N使得以MN为直径的圆与圆C外切求点A的坐标使得对所有满足条件的,M NMAN为定角 15已知奇函数( )f x在(,0)(0,)+上有定义且在(0,)+上是增函数(1)f0=又知 函 数2( )sincos2gmm=+0,2集 合,M N满 足( )0Mm g=恒成立时的x的范围是_ 9已知7523Mts=其中t是奇数s不能被

12、3整除则M的所有形如2 3pq的约数之和等于_ 10已知1x257,xx?都是正整数且1257100xxx+=?则222 1257xxx+?的最大值是_ 11在ABC中C为钝角, ,a b c为三角形的三边且C的对边为c2()ab bc=+则a2bc的大小关系是_ 12将一枚硬币掷出若出现正面点P就在数轴上移动1+若出现反面就不动掷币次数不超过12次而且点P达到了坐标点10+就不再掷了则点P到达坐标点10+的所有不同情况共有_种 三解答题每小题 20 分 13 已知ABC30B 3BC =以B为圆心 以1为半径的圆与以A为圆心 以(1)r r 为半径的圆相交求证顶点,B C至少有一点在圆A的内

13、部或边上 14已知数列12,na aa?的各项都是非负实数且2 10nnnaaa+求证对所有不小于2的自然数n都有1 2nan+15已知PQ是圆222xyr+=0r )中与x轴垂直的一条定弦求证所有被PQ平分的弦所在的直线都与同一条抛物线仅有一个公共点 橙子奥数工作室 http:/ 教学档案 非卖品 高中数学联赛培训题八 一选择题每小题 6 分 1函数11 2222(log)2log1yxx=+的递增区间是 A.1(0, )2B.12 ,)22C.2,)2+ D.不存在 2ABC中AB是cos2cos2BA的 A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3数列100!n

14、n(1,2,3,)n =?是 A.递增数列 B.从第 2000 项以后有减有增数列 C.递减数列 D.能够找到一项从这项以后是递减的 4如果, ,0x y z 且2221xyz+=则表达式yzxzxy xyz+的最小值 A.3 B.3 C.3 2D.3 3 5若存在实数a使等式()()lg()lg()x a xay a yaxaay+=在实数范围内成立则2222(3):()xxyyxxyy+的值为 A.3:1 B.1:3 C.2:1 D.1:2 6命题甲一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面则这两个二面角相等或互补命题乙底面为正三角形侧面为等腰三角形的三棱锥是正三棱锥命题丙过圆锥的两条母线的截面以轴截面的面积最大其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 二填空题每小题 9 分 7若1 lg22 sin1sinxx+= +则x的解集是_ 8若n为自然数且32298nnn+是某个自然数的立方则n =_ 9从19,20,21,91,92,93?中选取两个不同的数使其和为偶数的选法总数是_ 10如果332cos(sincos)