递推数列常见类型及其求解策略聂文喜

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1、娜理把端粼澎麟嫩.聂文喜递推数列常见类型及其求解策略l一2 一一数列是高中代数中相 当 重 要 的一部分内容,不仅在高考中占有 很大比例,而 且在数学竞赛中 也频频 露 面,其 中递推数列 是数列 中的一个难 点.为了帮助 同学们突破 这一难点,在这里对递 推数列 常见类型及其求解 思维策略作一探索归纳,供参 考.一、a.+,=a,+f(n)这 类递 推 数列可用 累加 法 求出通 项,即用公式a,=ul+(a:一a,)+(a3一aZ)十 +(a,一“,一1) 一“l十f(1)+f(2)十一卜f(n一1).例l(1 9 99年全国高考理 科第 2 3题改编)已知数列 谧T ,。中,xl1,且x

2、、1一x。+(去),b。,且。、l,求一,.解:由已知得( n+ l,智,+粉-. .智一击或智一1啥去).=口1一1aZ倪3a,.一.-.一口l口Za。一lnn”n一a.2一3三、a.+1=Pa.+q这 类递推数列 的通项 求 法很多,较 为 简单的求法 是 用待定系数法构造 等比数 列,即令a”+,+又户(a,.+久),a,+,= Pa。+(P一l从,与原式比较 得( P一1从一q,又-q P一1,从而转化 为a”解:由x”十,l、。一了。寸气下厂)一,O得.T”一二,一 ,一 ()”一(,)2),又x;=1,:.了。一x:+(了2一xl) +(x3一xZ)+1.1.,1 气T, j一.T

3、。一1夕一1州卜刃一州卜了歹州卜州卜认二万 D口D”,1、._:口一L万)”b一1二、a“+,=f(n)a,这类 递推数列可用 累乘法求 出通 项,即用公 式a。=a,f( 2)。例2以l叹艺f(n一1).an.一以,一l=a,.f(l)+尚,是公比为,的等比数列例3(20 02年 全国高考题)某城市20 01年 末汽车保有童为3 0万辆,预计 此后每 年报废上一年 末汽车保有量的6铸,并且 每 年 新增汽车数童 相同,为保护城 市环 境,要求该城市汽车保有量不超过6 0万辆,那么每年新增汽车数童不应超 过 多少辆?解:设200 1年末汽车保有量 为“1万辆,以后各年末汽车保有 量依次为a:万

4、辆,“3万辆,则a;=30,a。+1=0.94a,+x,设a。+1+几=0.94(a。+久),即a。+,=0.94a,一0.0 6几,(200 0年 全国高考题)设 a”是 首.一0.06又x,几50x项为1的正项数歹,l,且(n+l)a三+;一na三+a。a,+1一O(, ,一1,2,3,),则它的通项公式是“。50x_J,50x、二己十,一万一一U”4 气a , ,一百一.)数理傲囊瀚雄撇滩蓉故是公比为0.94的等比数列.一(。1一率)(。.94)一,.J业3业3 一 一低a , ,一。一粤十3。一警,。9,一当3。一警、0,即簇8时,二蕊一(蕊a,一3 0.50.T,_兰3U一万一簇U,

5、即,1.8时,lin、a,-saT3并 且数列a。逐 项 增 加,可以任 意靠近五、+ 1一Pa.+q r.这类递推数列 可以两 边 同 除以q计,即a ,、IP_a,.r、,_风,。r,二_P_; 二任手一二弓+二,令b”一弓,则戊+1二b , , q“qqq一 q一q十二,从而转化为类型四,求 出b。后再求。,.q例5(1987年全国高考题)已知b井士1bbb 且b并O,al一了:一尸六二,a,一二下下 u。_ :+丁丁下五了石 一”“(1+b )“一”l+b一”一 ”(1+;l )”十(n)2 ),写出用,和b表示a ,的表达式.解:将已知递推式两边 同乘以( l+b )”得( l+。)

6、, a s。一。 (:+。)一,“”一 ,十点,设. T。一 (1+,一”一、一”一”一”1+b一一”5 0、 T3b)”谈,.,则,r,一.bT。一,+b1+b.设二。+又一l, (.T。一,十.,_一50了,、,故有飞刃飞叫,了头击饥幻,则可求出几-bbZ一1故 每年新增 汽 车数量不应超 过3.6万辆.四、a.+,=pa.+an+b这 类 递推数列一般 由t 1 ,+ : pa,+“n+l, ,得a,+:一pa,+一+a(,+l)+b,a。+2一a、+,=P (a,+,一a”) +a,令b,一a ,十,一“,则b。十,一Pb。+“,从 而转化为 类型三,求出b,后,再求a ,.例4已知数

7、列a,中,。,一l,且al,+l一3 a。十Zn,求该数列的通项公 式.解:由a,+;3a,+Zn,得a,+:=3a。+,+2(,+l),相减得a”+2一a,+,一3(a。+,一a”)+2,令b,一a , a+,一a,.,则b。十,l 3 ,。+2,由a,1,得aZ=3al+2只1=5,. .bl一aZ一a,=4,由b。千 ,一3b。+2,得l ),十1+1一3 (b”+1),数列b,+U是以b:十1一5为首 项,以3为公比的等比数列.:.b。+I一53,一 ,扛,一53”一一1,即心十,一a。一53一一1.与a。+,=3a,+Zn联立方程组,b、.、.JbbZ生,乙十; 二一万少是以 朴十不

8、厂一-万一万一一万 口-一10-一10-一1为首项,以b为公比的等比数列.b犷 :。. T。十二;一一二一;下-万.扩白“一1口一1夕+1一bbZ一1,故a。一护+1一歹二1b,+一b(b一l) (b十1)”+“六、几+,一P口,qa.+r这 类 递推数列 可以等式 两 边取倒数,即二pa, ,l,q 一宁一厂 口。P,10.、,厂孕b。-一,只组仇+l “”r一p一一“”+-+孕,从而 转化 为类型四,求 出b。后再求P例6(第1 3届“希望杯”赛题)已知数列毛仇,中,a”+l一叹月3a。+1_1二 ,主U,一下不,贝马 Ja20 02=解:。+,一华下且。9一杏,O“”月一119d十l一a

9、 , , 一一反目+13a,+1a”一,。5_11 排 阵 刁导a.一丁丁.j一n一芍丁。乙乙县p洽一炭一3“常数夔撇熬麟姗麒粼这说 明数列之是公差 为3的等差数列1、人气八寸一二,夕 J,解得一或一普,不妨取又2一3 一一11.,_。,、_._,。,一寸,L 乙UU乙一刃.J7- - t公U 了,一-一1识叨a2 002口,a一,+1一普(a一,)5 98 6故a20 02=15 9 86., .a。+;一a。是以a,一a;=1比的等比数列.为首项,一荟为公J七、a。+,一Pa二这类递推数列 可以两 边取对数,即19吼十,一 lgP+ l rg a。,令b。一lg a。,则b。十,动。+lg

10、P,从而转化为类型四,求出b。后再求a。.例7已知正数数列(a。满足a,1,且武+1二10 0a。,求该数列的通项公式、解:将已知递推式 两边 取以1 0为底的对数得Zlga。+,=2+lga。,令b,一lga,a”十1一a。一1(一兰、一;3a,al+(a:一a;)+(a3一aZ)+ +(a, ,一a。_;)二.,2、,_,1.11一吸、 一下下,”l 一J一 一1十. 乙、1一气一下,) j.(一兰)。一:3nj 二s一5 一一。.,1,只组口。+一下口,厂十1 。1,。、,:_一口。+,一乙下犷又口。一翻,02=lgal一U:.弋b ,一2是以bl一2-一2、,一一.、.1 刀目伙,以百

11、为公比的等比数列.,。、,1、。_:二口,一乙气仇一乙),L一二)乙八,1、乙一乙L-二 ) 乙a。=IG2l一分”一、a。+:一Pa.+1+qa.九、a.+;一Pn+q这类递推数列一般由。,十“计,p”十小得a,+;+a,+2p(n+l) +q,相减得a。+:一a,P,从而转化 为数列a:。一 ;、aZ。分别 成等差数列.例9(第1 2届“希望杯”高二 培训题)已知数列 a。中,a:=1,且a, +;=6n一a,则通项公式a,解:丫a,+,+a。=6n,., .a。+:十a。+,=6(刀十1),以上两 式相减得心十2一击6 ,:.数列内,一 :是以1为首项,6为公 差的等差数列.a:。一 ,

12、=1十6(n一1) 一6n一5=3(Zn一1)一2;aZ。一6(Zn一1)一aZ,一 1=6n一l3Zn一1,故八n n9自1人 一一n nnoCj奇1 1| 一一这类递推数列 一般可化为a。+:+油,.+,一(P+几) (an+;+又a,),令b。一。,十,+加,则瓦十,一( P+幻b,求出b。后再求a,.例8已知 数列a。满足al1,aZ二2,且1.2, ,、气._,_._、 a, ,十2一资么,+1+专a,求该数列的通项公式.3一, 飞3一”一,一 一、一一”一一、-解:将1 a+2一万a”+2 十二 了a,J化 为a, ,十:+为奇数,为偶数.几a,十 1二(粤+、) (a。十,+、,

13、),一告一+以+告)。,比较 系数得十、a.a,+;pq,这类递推数列 一般由a ,街+1p丫.即得a、+la,+2P。”+,相除得任,士;“”一g,从 而转化为数列内。一;、aZ。分别为等比数列.例10已知数列a。中,a:二l,且a,:a。+、=3”,求嘶.解;. aoa,+,二3”,: a,+,a。+2二3”+,相除得召”+2C,:.数列a,一 ,是以l为首项,3为公比的等比数列.:.aZ。一 l.3刃一 二3二鲤尹习32月一 l以2”一 z一3二3誓:.。一3乡!”“ ”t3丁,n为偶数+一、同时含a。与S,的递推式这类递推数列一般有两种思 考 方法:, - -种是 利用a,一S。一凡一

14、1( n 2 )消 去S。转化为a,的递推式,另一种 方法是 利用a ,一S。一S,一,消去a。转化 为S。的递推式,求出S。后再求药。例11(1994年 全国高考题)设a,是正数 组 成的数列,其 前。项和 为S。,并对任意正整 数n,a。十2二2、范瓦.,求通项a ,.解法1令。二l,得“,+2一2丫厄瓦2丫厄石丁,解得a,一2,当n妻2时,:.(丫瓦一了百)=s,一,. a;二2,. ., ,)2时,S,2,. .、厉万一了厄一0,:.丫了万一丫万.二招石,. .甲污万一左下万=了厄-,:.乃丁少是等差数列.、店二之、概十(,一1 )丫尸丁二丫厂丁。: S。2n2,易求a。一4,一2.十

15、 二、同时含有两个数列的递 推式这类 递 推数列 可用 消元法 或联 立方程 组求解.例1 2已知两个数列a。、b,中a,1,。.,、。_,_l,。.,、,1b,一。,当, ,“时,a一言(“a,卜,+“一;,”一言a (,一、十2 b。一、),求这两个数列的通项公 式.解:由已知 可得a。十氏,a,一 ;十b,一,:.a”十 扛,是 常数列,又a,+b:1,故a。十b。一l, 又由己知得。一b。一告(。,一b。一 , .a一瓦是以。又一bZ一为 首项,以告为公比的等比数列.,1、._,.。“二一口,二气下碑)Ja。二S,尸S,一z(a。+2)8(a,一,+2)28整 理得(a,+a。一 ,)(a。一a,一 、一4) 一。,丫a。0,. 。a,一a二一 ,4,. .a。为等差数列. .a二az+(n一1)4=4n一2.解 法2当拉)2时,a,二S,一S。一 :,代入a,十22了丽二,得S。一S。一 1+22厂骊二,由、可得一奋1十声),、一劫卜声)上 面介绍了十二种类型的递推数列 的通项求法,但有的数列 既无法递推,又无 法转化为特殊 的数列,这类数列 的通项可以用归