变化与不变结合直观与理性统一——从一道中考压轴题的

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1、命题感悟 变化与不变结合直观与理性统一 从一道中考压轴题的命制历程看动态问题的考查视 角 江 苏 省 连 云 港 市 教 育局 教 研 室马敏 江苏省连云港市教育科学研究所 孙朝 仁 动态问题是近年中考数学试题的热点题型，也是中 考“ 压轴题” 的亮点之一 这类题型的信息量大 ， 综合性 强 ， 融数与方程 、 函数与图形于一体 解题时要用运动和 变化的眼光去观察 、 思考 、 研究图形运动 、 变化的全过程 ， 综合运用函数 、 方程 、 分类讨论、 数形结合等数学思想方 法解决 问题 一、试题再现及简要分析 已知 梯 形A B C D， A D B C， A B上B C， A D = 1

2、， A B= 2 ， BC= 3 问题1 ： 如图1 ， 助 A B 边上一点 ， 以肋 、 P C 为边作平行 四边形P C Q D 请问： 对角线P Q、 DC 的长能否相等? 为什么? C Q D Q 图 1 图 2 问题2 ： 如 图2 ， P 为A B 边上任意一点 ， 以P D、 P C 为边 作平行 四边形P C Q D 请问： 对角线 的长是否存在最小 值? 如果存在， 请求出最小值； 如果不存在， 请说明理由 问题3 ： P 为A B 边上任意一点 ，延长P D到E ，使D E = 肋 ， 再以朋 、 为边作平行四边形P C Q E 请问： 对角线 的长是否也存在最小值? 如

3、果存在， 请求出最小值 ； 如果 不存在 ， 请说明理由 ， 问题4 ：如 图3 ， P 为DC 边 上任意一点 ，延长P A到E， 使 AE = n P A( n 为常数) ， 以雎 、 船 为边作平行四边形P E Q B 对角 图3 线即 的长是否也存在最小值? 如果存在， 请直接写出最 小值 ； 如果不存在 ， 请说明理由 该题为2 0 1 2 年连云港市中考数学试题压轴题 ，是一 道以初中最重要的 、 学生常见的基本几何图形( 梯形 、 平 行 四边形 、 矩形等) 为载体 ， 以几何图形基本变化为切人 过程是保密的， 但为了确保试题的信度 、 效度 、 区分度 ， 建 议学校成立考试

4、命题组 ， 采用命题者与教学者的分离 ， 建 立学校统一评价制度， 使命题真实反映教学情况 即使是平时的考试，命题组也需进行集体命题 、 探 讨 ， 相互审题 试题是命题组集体智慧的结晶 集体命题的 过程 ， 是命题组内教师相互学习、 交流思想、 共同提高的过 程 真正的集体命题 ， 必然会有讨论甚至争论 ， 而讨论和争 论不仅有利于营造学科组的学术气氛，而且会尽量减少 命题的失误， 逐渐提高编拟试题的比例 ， 避免“ 垃圾题” 的 出现， 增强试题对教师的教学和对学生的学习的指导性 总之， 通过命题， 促使教师对教材上的知识点和新课 程标准的具体要求进行梳理和分类，从而提高其对教学 内容的把

5、握能力 通过命题， 引导教师在命题中学习， 在 命题中成长 ， 在命题中进步， 在命题中不断 自我更新 出一份好的试卷是一件很不容易的事情 ，是一项复 0 连 8 ： 中。 7 毂 - ?初 中 版 杂和艰苦的 1 二 作 ， 需要教师平时坚持不懈地积累， 特别要 注意收集信息和对教育 、 教学发展前沿动态的把握 在此 基础上 ， 教师还要发挥团结合作精神 ， 发挥集体智慧 ， 逐 步形成工作合力，激发教师参与试卷命题的积极性和主 动性 只有不断提升新课程理念 ， 不断提高数学试题研究 水平， 才能命制出既符合新课程理念 ， 又适合评价教育 、 教学的优秀试卷来 参考文献 ： 1 陈德 前 编

6、制 中考数 学模 拟试 题 ， 路 在何 方 f J 中 学数 学( 下) ， 2 0 1 3 ( 5 ) 2 孟伯谨 让命题研 究成 为数 学教师专业成长 的助推 剂 J 中学数 学( 下) ， 2 0 1 3 ( 4 ) 3 王平 源于理解 利 于价值 五年 中考模拟试题命 制的心路历程 J 中学数学教学参考( 中) ， 2 0 1 3 ( 4 ) 衄 2 0 1 4 年1 月 命题感悟 点， 以基本数学思想方法( 转换思想、 建模思想、 数形结合 思想 ) 为统领 ， 融形象直观与理性思维于一体的动态几何 题 试题以问题串的形式设置4 个小问题， 由易到难 ， 由静 到动， 由定到变，

7、由变再到定 ， 层层发展 ， 逐渐深入 ， 分别 从不 同的角度 ， 在不 同状 态下 ， 对平行 四边形 的对角线是 否存在最小值， 以及最小值是多少进行了探究 试题注重 基础 知识 考查 ， 贴近学 生思维 ， 以能力立意 ， 解法多样 ， 深 刻考查学生对数学问题的 自主学习能力、 独立探究能力 、 直觉思维能力以及有条理的理性思考能力 试题符合“ 标 准” 要求 ， 切合考纲意图， 体现了较好的区分度， 使不同层 次的学生得到不同的发展 二、 试题命制历程回顾 1 确立试题命 制的出发点 “ 动” 中有“ 定 ” 动态问题中仅有动点( 动线、 动面) 不是命题的必备 条件 ， 必备的条

8、件是必须找到和动点( 动线、 动面) 紧密联 系的定点( 或是其他确定的数学关系， 如函数关系等 ) ， 而 且这个定点必须有它值得研究和探索之处，所以命制动 态问题的试题 ，所必备的最重要条件是必须在动点之后 隐藏着定点， 即“ 动” 中有“ 定” 这是我们命制该题的出发 点 我们发现， 动点尸 在梯形一腰A B 上移动 ， 以P D、 P C 为边 作平行四边形P C Q D，其对角线与梯形另一腰D C 相交于 点G， 这里的点G 就是一个定点 ， 而且线段P G的长度有最 小值 ， 即有其可研究和探索之处 所 以有 了初始问题 1 和 问题2 ， 如下所示 已知梯形A B C D， A

9、D B C ， A B上B C ， A D = 1 ， B C = 3 问题1 ： 如图1 ， 取A B 的中点P ， 连接P D、 P C ， 以P D、 P C 为边作平行四边形P C Q D， 求对角线P p 的长 问题2 ： 如图2 ， P 为AB 上任意一点， 以P D、 P C 为边作 平行四边形P C Q D， 问 ： 对角线即 的长是否存在最小值? 如果存在， 请求出最小值 2 确立试题命 制的核 心点 “ 定 ” 中有“ 变” 这里的“ 定” 不是一成不变的， 随着动点的变化， 定点 的相关特征应该也是有规律地变化，其变化规律是命题 的核心点 如果无论动点如何变化 ， 定点就

10、是毫无变化 ， 换言之， 这个定点是个“ 死点” ， 那么这种动态问题就失去 了它生长与发展的空间 出于这种想法 ， 我们设想将P D 延 长到E， 使D E = P D， 或使D E = n P D， 这样 ， 从具体到抽象， 从 特殊到一般， 就形成了初始问题3 和问题4 ， 如下所示 问题3 ： P 为边A B 上任意一点，延长肋 到E，使D E = P D， 再 以朋 、 P c 为边作平行 四边形P C Q E， 请 问： 对角线 的长是否也存在最小值? 如果存在， 请求出最小值 问题4 ： P 为A B 上任意一点 ， 延长P D J E， 使D E = n P D， 再以船 、

11、P C 为边作平行 四边形P C Q E ， 对角线 的长是否 也存在最小值? 如果存在 ， 请直接写 对角线 长的最 小值 这两个问题的设置 ， 为定点G 赋予了更多的内涵 ， 使 得这个核心点变得丰满 ， 由问题1 到问题4 ， 体现了特殊到 一般 的思想 同时 ， 求解的途径很多， 可以从全等到相似 来考虑， 也可以从垂直相交， 再到斜交来思考 ； 求解的方 法也很多 ， 可以列比例式求解 ， 也可以直接用面积求解 3 确立试题命制 的生长点“ 动” “ 定” 转化 一个运动问题如果想要有发展， 有生成， 有延伸 ， 能 够产生出新的形式和变式 ，那么就要着力于对。 动” 和 “ 定”

12、的相互转化和变形 ， 这是有生命力试题的基本特征 经过多次打磨 ， 我们对该题还是不太满意， 主要因为 问题2 到问题4 的思考过程中， 数学思想 、 数学方法 、 数学 模型的应用变式不多，若能够将图中的动点和定点做一 些转化 ， 产生一些新 的形式和变式 ， 那应该会更加完美 于是就有了将动点 到腰D C 上的想法， 这样点P 的载体 变了， 定点G 就移到了腰A 曰 上， 原来的定点和动点就很 自 然地进行了转化， 而且与前面的3 个问题 ， 无论在思想方 法还是解决思路上， 都能很 自然地衔接 这样就形成了下 面这个新的问题 若P 为D C 上任意一点 ， 延长P A到E， 使A E

13、= n P A( n 为 常数 ) ， 以船 、 船 为边作平行四边形P E Q B， 对角线 的长 是否也存在最小值? 如果存在 ， 请直接写 最小值； 如果 不存在 ， 请说明理由 但是这个问题显然与问题4 有重复之处 ， 所以就用这 个问题替代初始问题4 我们还将问题 1 和问题2 进行 比对 ，觉得两个问题梯 度太小， 可以归为一个问题 ， 于是就对问题1 进行重新思 考 ， 设置成题中的问题1 三 、 动 态试 题 的考查 视角 1 考查学生最熟悉 的基本 图形 教学 中有这样 的基本 图形 ， 点城 在腰 B 上 ， 或在腰 D C 上， 只要条件合适且都有成直角的可能， 对于学生

14、而 言就是熟悉面孑 L 教材中学习平行四边形时， 也是从三角 形人手 ， 以一边中点为对称中心作中心对称图形 ， 从而得 到平行四边形 因此， 利用这一基本图形把R I D P c 变为 平行 四边形 ， 中线变为对角线 ， 换个角度认识 ， 图形虽发 生变化 ， 但问题本质没有变化 若对问题2 、 3 、 4 的图形进 行补形( 如图4 、 5 、 6 ) ， 更容易发现问题的本质 ， 同时给人 初 中 版中7 毒 i ： - ? 垂 4 誊 命题 感悟 美感 ， 万变不离其形 ， 突出了变化中的不变性 4 图 5 图 6 试题设计从学生最熟悉的基本图形人手 ，既有利于 学生在考试中的发挥

15、，又容易减轻学生在考试时的心理 压力 试题中无论是直角梯形 、 直角三角形 ， 还是平行 四 边形 、 矩形 ， 都是学生最熟悉的图形， 甚至有些条件也是 最基本的， 如所给的直角梯形三条边已知， 那么这样的梯 形是固定的， 即斜腰是可求的， 进一步可以发现各个角也 是可求的 学生见到这些基本图形 ， 既感到亲切 ， 也容易 激发解题灵感 以这些基本图形作为考查的切入点， 也体 现 了核心 内容重点考查 的原则 2 考查学生最熟悉的基本方法 试题解法设置突出通性通法，解答过程没有特殊技 巧， 也无需技巧 ， 都是最基本的求解方法 无论是在直角 三角形中列方程求解， 还是通过三角形全等、 相似求

16、解 ， 学生平时就是应用这些方法解决问题的但在新问题情 境中能否结合具体问题想到这些基本方法 ，且合理使用 基本方法 ， 就是学生能力的体现了， 也是学生创新思维的 展现 对于问题1 ， 可从以下三种路径来思考 思考1 ：首先根据 已知条件 ，可以确定直角梯形 A B C D的腰D C 的长， 即由A D= 1 ， A B = 2 ， B C = 3 ， 可以构造直 角j角形 ， 也可以利用相似二 三 角形 ， 得D C = 2 、 根据设 问判断 、 D C FJ u 否相等，从假设相等出发，因为四边形 P C Q D 是平行四边形， 则进一步得四边形P C Q D 是矩形 ， 边 转化为角 ， 所以有 _ D P C = 9 0 o