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1、 数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来高一年级不等式讲义 培养创新思维 开发个性潜能1第一讲 集合的含义与表示课标考纲解读1理解集合的概念，会判断一组对象能否构成集合。2了解元素与集合的“属于”关系，会判断某一元素属于或不属于某一集合，掌握表示“属于”与“不属于”的符号“ ”与“ ”。3了解常用数集及其记法。4掌握集合元素的特征，并能运用它们解题。5理解列举法和描述法的意义，掌握这两种集合的表示方法和特征，并会运用它们正确地表示一些简单的集合。一、考点知识清单：1.一般的，我们把 统称为元素，把 叫做集合，简称 。2.只要构成两个集合的 ，我们就称这两个集合是相等的。3.元素与集合
2、之间存在的两种关系：如果 是集合 A 的元素，就说 集合 A，记作 aa；如果 不是集合 A 中的元素，就说 集合 A，记作 。a4.集合中的元素具有三个特性： 、 、 。确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能说明他是或不是某个集合的元素，两者情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可。例如：“著名的科学家” “与 接近的数”等都不能2组成一个集合；互异性：集合中的元素是互不相同的，即同一元素在同一集合中，不能重复出现；无序性：在一个集合中，元素之间都是平等的，它们都充当集合中的一员，无先后次序之说，无高低贵贱之分。5.数学中一些常用的数集及其记法：（1） 称为非负整数集（或自然数集） ，
3、记作 ；（2） 称为正整数集，记作 ；（3） 称为整数集，记作 ；（4） 称为有理数集，记作 ；（5） 称为实数集，记作 。6.常见的集合表示方法有 、 、 。例：列举法：正整数集 = ；描述法： 或 。N,4321)(xp)(xpA7.把集合中的元素 的方法叫做列举法，例：正整数集 = 。N,43218.用集合所含元素的 的方法叫做描述法，其形式： 或 。)(x)(xp9.集合的分类： 、 、 。 数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来高一年级不等式讲义 培养创新思维 开发个性潜能210奇数集： ；偶数集合： 。二、典例分析考点一 集合的概念命题规律：判断一组对象是否构成集合例 1
4、、下列各组对象哪些能构成一个集合？（1）著名的数学家；（2）某校 2007 年在校的所有高个子同学；（3）不超过 20 的非负数；（4）方程描述法： 在实数范围内的解；092x（5）直角坐标平面内第一象限的一些点；（6） 的近似值的全体。3针对训练：1下列各组对象不能构成集合的是（ ）A某校大于 50 岁的教师 B。某校 30 岁的教师 C。某校的年轻教师 D。某校的女教师2.对于以下说法：接近于 0 的数的全体构成一个集合；正三角形的全体构成一个集合；未来世界的高科技产品构成一个集合；不大于 3 的所有自然数构成一个集合。正确的是（ ）A B。 C。 D。3.由实数 ， ， ， ， 所组成的
5、集合中，最多含有元素的个数为（ ）x2x3A2 B。3 C。 4 D。5考点二 元素与集合之间的关系命题规律：（1）判定元素与集合之间的关系；（ 2）考查正确运用元素与集合之间的从属关系符号“”与“ ”，以及特殊数集的符号。例 2、用符号“”或“ ”填空：（1）2 ，3 ；1x5xZ（2）4 ，5 ；n,2 Zn,12（3） （-1，1） ， （-1，1） 。2xy 2)(xy针对训练：1.给出下列关系： ； ； ； 其中正确的个数为（ ）R1QN3Q3A1 B。2 C。3 D。42设 ，试问 10，10 2，10 3 是否属于 M？nmkM,2例 3、设集合 ， 。若 ，试判断Zkx,Zkx
6、B,1BbAa, 数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来高一年级不等式讲义 培养创新思维 开发个性潜能3与 A，B 的关系。ba例 4、数集 A 满足条件：若 ，则 。若 ，求集合 A 中的其他元素。Aa)1(1a3考点三 集合中元素的特征命题规律：（1）利用集合元素的三性（确定性、互异性、无序性）分析解决问题；（2）解题后检验元素是否满足集合元素的三性。例 5、若集合 A 的四个元素 x,y,z,w 为边长构成一个四边形，那么这个四边形可能是（ ）A梯形 B。平行四边形 C。菱形 D。矩形针对训练：1.已知集合 A= ，若 ，求实数 的值。12,3aA3a2.已知 ，求实数 的值。
7、x,02例 6、判断下列说法是否正确，并说明理由。（1）1， ， ， ， 这些数组成的集合有五个元素；23412（2）由 a,b,c 组成的集合与由 b,a,c 组成的集合是同一个集合。例 7、含有三个实数的集合可表示为 ，也可表示为 。求 的值。1,ab0,2ba2076b考点四 集合的表示方法命题规律：（1）用列举法表示集合；（ 2）用描述法表示集合；（3 ）选择适当的方法表示集合；（4）集合的不同表示方法的相互转化。例 8、用列举法表示下列集合：（1）不大于 10 的非负偶数集；（2）自然数中不大于 10 的质数集；（3）由 所确定的实数集合。),(Rba例 9、用描述法表示下列集合：（
8、1）使 有意义的实数 的集合；612xyx（2）坐标平面上第一、第三象限上的点的集合；（3）函数 的图象上所有点的集合；)0(2acb 数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来高一年级不等式讲义 培养创新思维 开发个性潜能4（4）方程 的解集。)(01)2(2 Zmxmx针对训练：1.用适当的方法表示下列集合：（1）绝对值不大于 2 的整数；（2）在直角坐标平面上不在一、三象限内的点；（3）方程 的解；01yx（4） NyxM,4),(例 10、 （1）已知集合 ，求 M；Z16（2）已知集合 ，求 C。NxC例 11、下面三个集合： ； ； 。 （1）它们是不12xy12xy),(2
9、xy是相同的集合？（2）它们各自的含义是什么？考点五 创新、拓展、探究命题规律：给出定义求集合或求满足条件的集合。例 12、设 P，Q 为两个非空实数集合，定义集合 P+Q= ，若 P=0，2，5，QbPa,Q=1，2，6，则 P+Q 中元素的个数是（ ）A9 B。8 C。7 D。6例 13、已知集合 A= 。 （1）若 A 中只有一个元素，求 的值；（2）若Raxa,012 aA 中最多有一个元素，求 的取值范围；（ 3）若 A 中至少有一个元素，求 的取值范围。 数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来高一年级不等式讲义 培养创新思维 开发个性潜能5例 14、若集合 ，ZnxA,1
10、3， 。nxB,23nxM,36（1）若 ，问是否有 ，使 ？mBbAa,bam（2）对于任意 ，是否一定有 且 ？证明你的结论。, M例 15、设 S 是由满足下列条件的实数所构成的集合： ；若 ，则 。请解S1aSa1答下列问题：（1）若 ，则 S 中必有另外两个数，求出这两个数；2（2）求证：若 ，则 ；aSa1（3）在集合 S 中元素能否只有一个？请说明理由。（4）求证：集合 S 中至少有三个不同的元素。例 16、非空集合 G 关于运算 满足：（1）对任意 都有 ；（2）存在 ，Gba,bGe使得对于一切 ，都有 ，则称 G 关于运算 为“融洽集” 。现给出下列集ae合与运算： ， 为
11、整数的加法； ， 为整数的乘法；非 负 整 数偶 数， 为多项式的加法。其中 G 关于运算 为“融洽集”的是 。二 次 三 项 式课堂训练：1.用描述法表示下列集合：（1）被 5 除余 1 的正整数集合；（2）大于 4 的全体奇数构成的集合；（3）坐标平面内，两坐标轴上的点的集合；（4）三角形的全体构成的集合。2.设集合 ，集合 ，若 ，试判断 与NnaA,12NkkbB,542 AaaB 的关系。3集合 M 中的元素是非零的自然数，且满足：如果 ，则 。回答下列问题：Mxx8 数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来高一年级不等式讲义 培养创新思维 开发个性潜能6（1）写出只有 1
12、个元素的集合 M（2）写出只有 2 个元素的集合 M；（3）满足题设条件的集合 M 共有多少个？【基础训练】一、选择题（共 6 个，每题 4 分）1下列指定对象，能构成一个有限集合的一组是 （ ）A.泸州市所有的高中学生 B.平面上所有的点 C.我们班上所有的高个子 D.全国著名的数学家2下列各式中，正确的是 ( )A0=0 B00 C0 D 03集合 A=a,b,c的非空真子集的个数是 ( )A5 B6 C7 D84若 U=x|x7, x N,A=x|x 为质数 ，则 A 为 ( )UA2,4,6 B4,6 C1,4,6 D0,1,4,65如果集合 A=x|ax2 2x 1=0中只有一个元素，则 a 的值是 （ ）A0 B0 或 1 C1 D不能确定6下列命题中， (1)如果集合 A 是集合 B 的真子集，则集合 B 中至少有一个元素 (2)如果集合 A 是集合 B 的子集，则集合 A 的
