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1、数学奥林匹克报数学奥林匹克报 Mathematical Olympiad Express 普及数学知识，传播奥林文化，快递竞赛信息。普及数学知识，传播奥林文化，快递竞赛信息。 2006 第 35 届美国数学奥林匹克2006 第 35 届美国数学奥林匹克 U.S.A. Mathematical Olympiad 2006 年 4 月 18 日 12301700 2006 年 4 月 18 日 12301700 1、设p是一个质数，s为整数，0sp。证明：存在整数m，n，使得 0mnp， 且sm psn ps p成立的充要条件是：s不是1p的约数。 这里 x表示实数x的小数部分，其定义为 x x
2、x，其中 x是不大于x的最大整数。 2、设k为给定的正整数，求最小的正整数N，使的存在一个由21k +个不同正整数组成的集合， 其元素和大于N，但其任意k元子集的元素和至多为2N。 3、对整数m，我们用( )p m表示m的最大质因子，为方便计，令()1p 1，( )0p， 求所有的整系数多项式f，使得数列()()202 np f nn 有上界。 （特别地，这要求对任意n0，都有()2f n0） 。 2006 年 4 月 19 日 12301700 2006 年 4 月 19 日 12301700 4、求所有的正整数n，使的存在kN，k2 及正有理数1a，2a，ka满足 12kaaa+1kaan。 5、一个在数轴上跳动，初试位置在 1，依下述规则进行每一次跳动：如果兵在位置n上。 那么它可以跳到位置1n+或12mnn+，这里2mn是n的约数且 2 的幂次最大， 证明：如果k是不小于 2 的正整数，i是非负整数， 那么兵跳到位置2iki的最少次数大于兵跳到位置2i的最少次数 6、设E、F分别是凸四边形ABCD的边AD和BC上的点，满足AE EDBF FC， 射线EF分别与射线BA和CD交于点S和T。 证明：SAE、SBF、TCF和TDE的外接圆有一个公共点。
