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1、选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库解圆锥曲线问题常用方法解圆锥曲线问题常用方法+ +椭圆与双曲线的经典结论椭圆与双曲线的经典结论+ +椭椭 圆与双曲线的对偶性质总结圆与双曲线的对偶性质总结解圆锥曲线问题常用以下方法解圆锥曲线问题常用以下方法：1 1 1 1、定义法、定义法（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1r2=ed2。（2）双曲线有两种定义。第一定义中，arr221=，当r1r2时，注意r2的最小值为 c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤
2、其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2 2 2 2、韦达定理法、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法” 。 设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产
3、生的弦中点问题， 常用 “点差法” ， 即设弦的两个端点 A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB 中点为 M(x0,y0)， 将点 A、 B 坐标代入圆锥曲线方程， 作差后， 产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0( 12222 =+baby ax与直线相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(x0,y0)，则有020 20=+kby ax。（2）)0, 0( 12222 =baby ax与直线 l 相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(x0,y0)则有020 20=kby ax（3）y2=2px（p0）与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为
4、M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p.【典型例题典型例题】例例 1 1 1 1、(1)抛物线 C:y2 =4x 上一点 P 到点 A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为_选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库FAPHBQF FPHy0xA(2)抛物线 C: y2 =4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为。分析分析： （1）A 在抛物线外，如图，连 PF，则PFPH=，因而易发现，当 A、P、F 三点共线时，距离和最小。（
5、2）B 在抛物线内，如图，作 QRl 交于 R，则当 B、Q、R 三点共线时，距离和最小。解： （1） （2，2）连 PF，当 A、P、F 三点共线时，PFAPPHAP+=+最小，此时 AF 的方程为) 1(13024=xy即y=22(x-1),代入 y2=4x 得 P(2,22)， （注：另一交点为(2,21)，它为直线 AF 与抛物线的另一交点，舍去）（2） （1 ,41）过 Q 作 QRl 交于 R，当 B、Q、R 三点共线时，QRBQQFBQ+=+最小，此时 Q 点的纵坐标为 1，代入 y2=4x得 x=41，Q(1 ,41)点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个
6、典型例题，请仔细体会。例例 2 2 2 2、F 是椭圆13422 =+yx的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P 为椭圆上一动点。（1）PFPA+的最小值为（2）PFPA2+的最小值为分析：分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径FP或准线作出来考虑问题。解： （1）4-5设另一焦点为F，则F(-1,0)连 AF,PF542)(22=+=+FAaPAFPaFPaPAPFPA当 P 是FA 的延长线与椭圆的交点时,PFPA+取得最小值为 4-5。（2）3作出右准线 l，作 PHl 交于 H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=21，PHPFPHPF=2,21即PHPA
7、PFPA+=+2选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库xy0ABC MD 5当 A、P、H 三点共线时，其和最小，最小值为3142 =Axca例例 3 3 3 3、动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹方程。分析分析：作图时，要注意相切时的“图形特征” ：两个圆心与切点这三点共线（如图中的 A、M、C 共线，B、D、M 共线） 。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径” （如图中的MDMC=） 。解：如图，MDMC=，26=
8、MBMADBMBMAAC即8=+MBMA（*）点 M 的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15 轨迹方程为1151622 =+yx点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出4) 1() 1(2222=+yxyx，再移项，平方， 相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！例例 4 4 4 4、ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB=53sinA,求点 A 的轨迹方程。分析：分析：由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以 2R（R 为外接圆半径） ，可转化为边长的关系。解：解：sinC-sinB
9、=53sinA2RsinC-2RsinB=532RsinABCACAB53=即6=ACAB（*）点 A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）2a=6，2c=10a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922 =yx（x3）点评：点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例例 5 5 5 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2上移动，AB 中点为 M，求点 M 到 x 轴的最短距离。分析分析： （1）可直接利用抛物线设点，如设 A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设 AB 中点为 M(x0y0)用弦长公式及中点公式得选校网 高考频道 专
10、业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库xy0MABA1A2M1M2B1B2出 y0关于 x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。（2）M 到 x 轴的距离是一种“点线距离” ，可先考虑 M 到准线的距离，想到用定义法。解法一：解法一：设 A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB 中点 M(x0，y0)则 =+=+=+02 22 102122 22 12 21229)()(yxxxxxxxxx由得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9即(x1+x2)2-4x1x21+(x1+x2)2=9由、得 2x1x2=(2
11、x0)2-2y0=4x02-2y0代入得 (2x0)2-(8x02-4y0)1+(2x0)2=92 02 0041944xxy+=，1149) 14(49442 02 02 02 00+=+=xxxxy, 5192=450y当 4x02+1=3即220=x时，45)(min0=y此时)45,22(M法二：法二：如图，32222=+=+=ABBFAFBBAAMM232MM， 即23 411+MM，451MM， 当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。M 到 x 轴的最短距离为45 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片
12、 大学视频 院校库xyF1F20ABCD点评：点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消 x1，x2，从而形成 y0关于 x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点 M 到 x 轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为 A、B 到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证 AB 是否能经过焦点 F，而且点 M 的坐标也不能直接得出。例例 6 6 6 6、已知椭圆)52( 1122 =+mmy mx过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭
13、圆及准线从左到右依次变于 A、B、C、D、设 f(m)=CDAB,（1）求 f(m),（2）求 f(m)的最值。分析：分析：此题初看很复杂，对 f(m)的结构不知如何运算，因 A、B 来源于“不同系统” ，A 在准线上，B 在椭圆上，同样 C 在椭圆上，D 在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到 x 轴上，立即可得防)()(22)(2)()(CDABCDABXxxxxxxxmf=)()(2DACBxxxx+=)(2CBXx+=此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。解解： （1）椭圆1122 =+my mx中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点 F1(-1,0)则 BC:y=x+
14、1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 x 1+x2=-)52(122mmm12222)()(2)()(2)(2121=+=+=mmxxxxxxxxxxCDABmfCACDAB选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库（2）)1211 (2121122)(+=+=mmmmf当 m=5 时，9210)(min=mf当 m=2 时，324)(max=mf点评：
15、点评：此题因最终需求CBxx+，而 BC 斜率已知为 1，故可也用“点差法”设 BC 中点为 M(x0,y0),通过将 B、C坐 标 代 入 作 差 ， 得0100=+kmy mx， 将 y0=x0+1 ， k=1 代 入 得01100=+mx mx， 120=mmx， 可 见122 =+mmxxCB当然，解本题的关键在于对CDABmf=)(的认识，通过线段在 x 轴的“投影”发现CBxxmf+=)(是解此题的要点。【同步练习同步练习】1、已知：F1，F2是双曲线12222 =by ax的左、右焦点，过 F1作直线交双曲线左支于点 A、B，若mAB=，ABF2的周长为（）A、4aB、4a+mC、4a+2mD、4a-m2、若点 P 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1，则 P 点的轨迹方程是（）A、y2=-16xB、y2=-32xC、y2=16xD、y2=32x3、已知ABC 的三边 AB、BC、AC 的长依次成等差数列，且
