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1、 求斜三角形的边长问题教学案例(建议 2 课时)林志红一、学习目标（1）知识与技能：能根据问题的需要合理作出垂线段, 构造直角三角形; 会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题。（2）过程与方法：通过探究活动，掌握一般探究活动的基本步骤；通过小组同学评论、动手操作等方法，掌握提高学生发现问题、解决问题的能力。培养学生转化和分类讨论的数学思想。（3）情感态度与价值观：经历观察、计算、分析、归纳等过程，体验解决实际问题的基本方法，获得成功和克服困难的体验；通过一题多变，激发学生学习数学的兴趣；通过小组之间的分工与合作，培养现代社会学习和生活中应具有的交流合作意识。二、重难点分析重点：能根据问题
2、的需要合理作出垂线段, 构造两个特殊直角三角形，将斜三角形的问题转化为特殊的直角三角形。难点：（1）在“变式”图形中如何添加辅助线,构造特殊的直角三角形；（2）在已知什么条件时应考虑分类讨论。三、活动流程图：四、活动记录：求斜三角形的边长分组学习和讨论题动手操作 探寻规律活动一 活动二添加辅助线转化图形利用直角三角形纸片拼接图形 研究斜三角形可解的条件归纳基本图形（一）复习提问：师：直角三角形 ABC 中，C=90 ，请同学们总结我们学习过的有关直角三角形的所有知识：1在直角三角形中。30角所对的直角边等于斜边的一半；2直角三角形的斜边中线等于斜边一半；3直角三角形中的边角关系：（1）边角之间
3、关系如果用 表示直角三角形的一个锐角，那么： 的 对 边的 邻 边；的 邻 边的 对 边；斜 边的 邻 边；斜 边的 对 边 cottancossin（2）三边之间关系a2 +b2 =c2 (勾股定理 ) （3）锐角之间关系A+ B=90（二）探究过程：一已知三角形的两角一边，求此三角形其他边长活动 1：计算顶角为 120o的等腰三角形一边的长一、情景引入（1）已知如图ABC 中，A=30，AB= ,若ACB=120,求 BC 的长310师：你能有几种方法？二、小组活动(一) 活动目的:通过小组活动，总结求 BC 长的各种方法。在独立思考的基础上，小组交流讨论得出结论，培养团结协作精神。(二)
4、组员分工：组长（统筹整个小组交流） ，4 人合作进行，1 人进行记录并做好交流发言准备，1 人进 行交流发言。(三)方法总结：方法一：解：过点 B 作 BDAC 于 D,在 RtABD 中，A=30BD= 3521AACB=120 BCD=60ABCDA CB 在 RtBCD 中，BC= 10235sinBCD方法二：解：过点 A 作 ADBC 于 D,在 RtABD 中，BAC=30ACB=120 B=30AD= 3521BBD=ABcosB=15ACB=120 ACD=60在 RtACD 中，CD= 53tanACDBC=BD-CD=15-5=10方法三：（在方法二的基础上加以改进，利用等
5、腰三角形的条件）解：过点 A 作 ADBC 于 D,在 RtABD 中，BAC=30ACB=120 B=30BAC=BAC=BC下面的方法就与方法一完全相同了！师：将方法一的图形进行图形的变换（如旋转、翻折）能否得到方法二的图形？方法四：DABCDABCDA CBDABC解：过点 C 作 CDAB 于 D,在 RtABD 中，BAC=30ACB=120 B=30BAC=BAC=BCBD= 3521ABBC= 10cosD方法五：（过程略） 方法六：（过程略）（此时，BCD 是等腰三角形） （此时，BCD 是等边三角形）活动 2：计算可转化为特殊直角三角形的斜三角形一边的长一、情景引入（1）已知
6、如图ABC 中，A=30，AB= ,若B=15,求 BC 的长310师：根据我们总结的添加辅助线的基本原则，比较活动 1 的三种方法，哪种方法可行？二、小组活动(一) 活动目的:通过小组活动，总结求 BC 长的各种方法。在独立思考的基础上，小组交流讨论得出结论，培养团结协作精神。(二)组员分工：组长（统筹整个小组交流） ，4 人合作进行，1 人进行记录并做好交流发言准备，1 人进行交流发言。(三)比较方法：方法一：方法一可行，因为此图已转化为两个特殊三角形（一个 30o，一个 45o） ，而且已知 30o的直角三角形中一边的长DA CBD D CABDCAB方法二： 方法二的困难是： 在ABD
7、 中，B=15,而 15的三角函数值我们还需要求出，给我们增添了困难。方法三：方法三的问题是：由于辅助线的添加将已知的 AB长度“破坏”了，不能直接利用已知长度求一条边，解决的办法是：设 CD=x，再将 AD 与 BD 都用CD 表示，利用方程思想：AD+BD=AB 解决问题。但也会遇到与方法二同样的问题：在CBD 中，B=15,因此此方法不可取！其他方法可行吗？想一想？（渗透方程思想）活动 3 总结： 添加适当的辅助线，将斜三角形转化为特殊的直角三角形师：将下列三角形添加适当的辅助线，将其转化成特殊的直角三角形师生共同总结：两种基本图形：(一幅三角板，有一条边相等)DCABDCAB45 75
8、451510545B CA DEFGHICAB3045 二已知三角形的两边一角，求此三角形其他边长问题 1：已知ABC 中，A=30，AB= ,若 AC=10,求 BC 的长.310师：上述三种方法依然可行吗？通过小组活动，在独立思考的基础上，小组交流讨论得出结论，培养团结协作精神。方法一：解：过点 B 作 BDAC 于 D,在 RtABD 中，A=30BD= 3521AAD= CD=AD-AC=515230cosAB在 RtBCD 中，BDC=90BC 2=CD2+BD2BC=10方法二与方法三： 由于A=30的条件无法应用，所以此种辅助线无法解题：方法四：分析：过点 C 作 CDAB 于
9、D,在 RtABD 中，A=30AD= 35210cosA由此发现 AD= B从而可知 ABC 为等腰三角形，此问题可解！师：通过上述两个问题的讨论，请同学们总结，在三角形角与边的条件时，添加辅助线应DA CBDABCDA CB遵循什么原则？学生讨论总结：（1）在构造的特殊直角三角形中，应已知一边的长度；（2）充分挖掘已知条件。 （如本题实际是一个等腰三角形，但已知条件中并没有告诉我们，需要我们去发现。 ）问题 2：已知ABC 中，A=30，AB= ,若 BC=10,求 AC 的长.310师：要求各小组利用作图工具，画出图形，并体会此问题与问题 2 的不同.通过小组活动，小组交流讨论得出结论，培养团结协作精神。问题解决：此题有两解：AC=10 或 20三研究三角形可解的条件师：在斜三角形中已知哪些条件，求三角形的边长时，答案是唯一解、两解、无解？分组讨论，总结：（SAS、ASA、AAS 、SSS）唯一解SSA: 无解、唯一解、两解AAA 无解四课下思考师：利用一幅三角板（有一条直角边相等，可重合）可以拼成哪几种四边形？为下节课做准备。CA CB
