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1、 求斜三角形的边长问题教学案例(建议 2 课时)林志红一、学习目标(1)知识与技能:能根据问题的需要合理作出垂线段, 构造直角三角形; 会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题。(2)过程与方法:通过探究活动,掌握一般探究活动的基本步骤;通过小组同学评论、动手操作等方法,掌握提高学生发现问题、解决问题的能力。培养学生转化和分类讨论的数学思想。(3)情感态度与价值观:经历观察、计算、分析、归纳等过程,体验解决实际问题的基本方法,获得成功和克服困难的体验;通过一题多变,激发学生学习数学的兴趣;通过小组之间的分工与合作,培养现代社会学习和生活中应具有的交流合作意识。二、重难点分析重点:能根据问题
2、的需要合理作出垂线段, 构造两个特殊直角三角形,将斜三角形的问题转化为特殊的直角三角形。难点:(1)在“变式”图形中如何添加辅助线,构造特殊的直角三角形;(2)在已知什么条件时应考虑分类讨论。三、活动流程图:四、活动记录:求斜三角形的边长分组学习和讨论题动手操作 探寻规律活动一 活动二添加辅助线转化图形利用直角三角形纸片拼接图形 研究斜三角形可解的条件归纳基本图形(一)复习提问:师:直角三角形 ABC 中,C=90 ,请同学们总结我们学习过的有关直角三角形的所有知识:1在直角三角形中。30角所对的直角边等于斜边的一半;2直角三角形的斜边中线等于斜边一半;3直角三角形中的边角关系:(1)边角之间
3、关系如果用 表示直角三角形的一个锐角,那么: 的 对 边的 邻 边;的 邻 边的 对 边;斜 边的 邻 边;斜 边的 对 边 cottancossin(2)三边之间关系a2 +b2 =c2 (勾股定理 ) (3)锐角之间关系A+ B=90(二)探究过程:一已知三角形的两角一边,求此三角形其他边长活动 1:计算顶角为 120o的等腰三角形一边的长一、情景引入(1)已知如图ABC 中,A=30,AB= ,若ACB=120,求 BC 的长310师:你能有几种方法?二、小组活动(一) 活动目的:通过小组活动,总结求 BC 长的各种方法。在独立思考的基础上,小组交流讨论得出结论,培养团结协作精神。(二)
4、组员分工:组长(统筹整个小组交流) ,4 人合作进行,1 人进行记录并做好交流发言准备,1 人进 行交流发言。(三)方法总结:方法一:解:过点 B 作 BDAC 于 D,在 RtABD 中,A=30BD= 3521AACB=120 BCD=60ABCDA CB 在 RtBCD 中,BC= 10235sinBCD方法二:解:过点 A 作 ADBC 于 D,在 RtABD 中,BAC=30ACB=120 B=30AD= 3521BBD=ABcosB=15ACB=120 ACD=60在 RtACD 中,CD= 53tanACDBC=BD-CD=15-5=10方法三:(在方法二的基础上加以改进,利用等
5、腰三角形的条件)解:过点 A 作 ADBC 于 D,在 RtABD 中,BAC=30ACB=120 B=30BAC=BAC=BC下面的方法就与方法一完全相同了!师:将方法一的图形进行图形的变换(如旋转、翻折)能否得到方法二的图形?方法四:DABCDABCDA CBDABC解:过点 C 作 CDAB 于 D,在 RtABD 中,BAC=30ACB=120 B=30BAC=BAC=BCBD= 3521ABBC= 10cosD方法五:(过程略) 方法六:(过程略)(此时,BCD 是等腰三角形) (此时,BCD 是等边三角形)活动 2:计算可转化为特殊直角三角形的斜三角形一边的长一、情景引入(1)已知
6、如图ABC 中,A=30,AB= ,若B=15,求 BC 的长310师:根据我们总结的添加辅助线的基本原则,比较活动 1 的三种方法,哪种方法可行?二、小组活动(一) 活动目的:通过小组活动,总结求 BC 长的各种方法。在独立思考的基础上,小组交流讨论得出结论,培养团结协作精神。(二)组员分工:组长(统筹整个小组交流) ,4 人合作进行,1 人进行记录并做好交流发言准备,1 人进行交流发言。(三)比较方法:方法一:方法一可行,因为此图已转化为两个特殊三角形(一个 30o,一个 45o) ,而且已知 30o的直角三角形中一边的长DA CBD D CABDCAB方法二: 方法二的困难是: 在ABD
7、 中,B=15,而 15的三角函数值我们还需要求出,给我们增添了困难。方法三:方法三的问题是:由于辅助线的添加将已知的 AB长度“破坏”了,不能直接利用已知长度求一条边,解决的办法是:设 CD=x,再将 AD 与 BD 都用CD 表示,利用方程思想:AD+BD=AB 解决问题。但也会遇到与方法二同样的问题:在CBD 中,B=15,因此此方法不可取!其他方法可行吗?想一想?(渗透方程思想)活动 3 总结: 添加适当的辅助线,将斜三角形转化为特殊的直角三角形师:将下列三角形添加适当的辅助线,将其转化成特殊的直角三角形师生共同总结:两种基本图形:(一幅三角板,有一条边相等)DCABDCAB45 75
8、451510545B CA DEFGHICAB3045 二已知三角形的两边一角,求此三角形其他边长问题 1:已知ABC 中,A=30,AB= ,若 AC=10,求 BC 的长.310师:上述三种方法依然可行吗?通过小组活动,在独立思考的基础上,小组交流讨论得出结论,培养团结协作精神。方法一:解:过点 B 作 BDAC 于 D,在 RtABD 中,A=30BD= 3521AAD= CD=AD-AC=515230cosAB在 RtBCD 中,BDC=90BC 2=CD2+BD2BC=10方法二与方法三: 由于A=30的条件无法应用,所以此种辅助线无法解题:方法四:分析:过点 C 作 CDAB 于
9、D,在 RtABD 中,A=30AD= 35210cosA由此发现 AD= B从而可知 ABC 为等腰三角形,此问题可解!师:通过上述两个问题的讨论,请同学们总结,在三角形角与边的条件时,添加辅助线应DA CBDABCDA CB遵循什么原则?学生讨论总结:(1)在构造的特殊直角三角形中,应已知一边的长度;(2)充分挖掘已知条件。 (如本题实际是一个等腰三角形,但已知条件中并没有告诉我们,需要我们去发现。 )问题 2:已知ABC 中,A=30,AB= ,若 BC=10,求 AC 的长.310师:要求各小组利用作图工具,画出图形,并体会此问题与问题 2 的不同.通过小组活动,小组交流讨论得出结论,培养团结协作精神。问题解决:此题有两解:AC=10 或 20三研究三角形可解的条件师:在斜三角形中已知哪些条件,求三角形的边长时,答案是唯一解、两解、无解?分组讨论,总结:(SAS、ASA、AAS 、SSS)唯一解SSA: 无解、唯一解、两解AAA 无解四课下思考师:利用一幅三角板(有一条直角边相等,可重合)可以拼成哪几种四边形?为下节课做准备。CA CB