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1、1第七章. 矩阵特征值和特征向量计算但高次多项式求根精度低, 一般不作为求解方法. 目前的方法是针对矩阵不同的特点给出不同的有效方法.工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振 动，机械机件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和 相关分析可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。1. (),( )det()0( )2.()0ijn nAaIAAnAAIA xAxxxAj llj lllll=-=-=已知求代数方程的根。称为 的，一般有 个零点，称为 的特征特征多项式值。设 为 的特征值，求相应的齐次方程的非零解（即求的非零解）， 称为矩阵 对应于 的特征向量。1. 幂法和反幂法 一、幂法 求矩阵的
2、按模最大的特征值与相应的特征向量。它是 通过迭代产生向量序列，由此计算特征值和特征向量。1212(0)(1)( )( )(1)( ) 1(1)(1,2, )(1,2, ),(1,2,),/,.1(1,2ininkkkkk iikin nAininu uuxxAxkxkxxxuilllllql+=LLLLL设阶实矩阵 的特征值满足且与相应的特征向量线性无关.给定初始向量由迭代公式产生向量序列可以证明，当 充分大时，有相应的特征向量为为简便，不妨设(0)1, )(1,2, ),.iniii inuninxuaa=LL。因为 线性无关，故必存在 个不全为零的数使得(1)( )1(0)1111(1)1
3、112 11 122 111 11 1121()()()0,(2,3, ) lim() lim()nn kkkkk iiiii iikkkkn nnki iiikn ki iikixAxAxAuuxuuuinuukaa llllaaalllallaqllaql+=+=+=LL由设由得故只要 充分大，就有(1)111 11 111 1 21(1) 1(1) (1)1( ) 11 111 11( )( )( )(), (1,2,) n kkkki ii ikk kkkki k ikk ixuuuxxxuxuinxxxillaalalllal al+=+ +=+=L因此，可把作为与 相应的特征向量的
4、近似。由为的第 个分量。21(0) 1( ) 1( ) 1110,2kkkAxxuxl lal a=按上面式子计算矩阵 按模最大的特征值与相应的特征向量的方法称为。 幂法的收敛速度依赖于比值，比值越小，收敛越快。两点说明：）如果的选取恰恰使得幂法计算仍能进行。因为计算过程中舍入误差的影响，迭代若干次后，必然会产生一个向量它在方向上的分量不为零，这样，以后的计算就满足所设条件。）因幂法111,(1)0(1)ull=+LLLLLL前面假定如果按模最大的特征值有多个，即幂法是否有效？（ ）是重根，即矩阵 仍有 个线性无关的特征向量。此时有 显然，只要不全为零，当 充分大时，就有(1)1 111111
5、(1)12( )(1)()kk mmmmk i mk ikxuuuuAx xxlaaaallll+=LLL因也是矩阵 相应于的特征向量，故有为相应的特征向量，即对这种情况幂法仍然有效。1213(1)11113 11 12233 11(1)(21)21(2 )2 11 12211 122(2) 2( 11,2( )2,( 1)()()(),()kkkkkn nnkkkkkk i ik iAnxuuuuxkxuuxuuxxxlllllllaaaalllaalaall+-+= -=+ -+-+ L（ ）且矩阵 有 个线性无关的特征向量。由上式可知，是个摆动序列，当 充分大时，有2)( )(1)11
6、11 122( ) 11 122(1)( )1 111 1 (1)( )11 1122/( 1)( 1)2 2( 1)kk ikkkkkkkkkkkkkxxuuxuuxxu xxulaal aalla lla+ -+ -+-又由故在这种情况下，仍可按幂法产生向量序列。12121(1)( ) 1( ) 12nmmnkkkAxAxxAnlllllllllll+= -LLL综上可知，当 的特征值分布为或时，用幂法可以计算出 及相应的特征向量。如果按迭代所得向量序列呈有规律的摆动，则可能为的情况。否则应考虑用别的方法求解。此外，当矩阵无 个线性无关的特征量时，幂法收敛很慢，亦应考虑改用其他方法。幂法计
7、算简便易行，它是求大型稀疏矩阵按模最大特征值的常用方法。幂法小结二、幂法的加速因为幂法的收敛速度是线性的，而且依赖于比值，当 比值接近于1时，幂法收敛很慢. 幂法加速有多种，介绍两种。21ll000(1)() 0(1)()1(0)1 000 1(1)120 101122 10()()()()()()iikkn kkkk ii ikkAAIAAIAIxAxxAI xAIxAIuuulllllllllallllaall+=+-=-=-=-=-+-L（一）原点移位法矩阵 与的特征值有以下关系：若是 的特征值，则就是的特征值，而且相应的特征向量不变。如果对矩阵按计算，则有1010010002101()
8、(2,3,)kn nniiuinllallllllllll lll+-+-=+-=LLL这样，用幂法计算的最大模特征值及相应特征向量的收敛速度比对 用幂法计算要快。这种加速收敛的方法称为原点移位法使用简便，但 选取困难。在一些简单情形， 可估。如当矩阵 的特征值满足（或时，原点移位法有.取则2022221012112111, )2nnnnnnnlllllllll lllllllllllll-=-+-且 因此，用原点移位法求 可使收敛速度加快。30(0)(1)( ) 00(4)4 1405 1302.9,102.8(1,1,1) ,()6.9140510.10100.1(3.1000568,2.
9、214326, 0.968TkkAAxxAI xAIxlll+- = -= -=- -=- - =-4例：,用原点移位法求矩阵 的按模最大的特征值，要求误差不超过10 。解：取按进行计算4(5) 54 547661), 3.1000568(3.0999984,2.2142846, 0.9687501), 3.09999840.000058410xaaaa-=-=-= 11232120103.09999842.95.9999984(3.0999984,2.2142846, 0.9687501) .6,3,2.8,1,2 0.113.131TAxAAllllllll ll+=-=-=-所以，矩阵
10、的按模最大的特征值为相应的特征向量为不难求出， 的特征值为若对 直接用幂法，则比值而用原点移位法，则有因此收敛速度明显加快。 $ 121122 2112121lim0() 22kkkkkkkkkkkkkkk kkkkkkkkaaaacaaaaaakaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAitk+-=-=-=-+-+（二）、幂法的埃特肯(Aitken)加速如果序列线性收敛到 ，即则当 充分大时，有序列比更快地收敛到 ，这就是 kena将这一方法用于幂法所产生的序列，可加快幂法的收加速法.敛速度。1010122 10 0 210010211. (),( ,),.2. 1,0,0,1.3.max
11、4. , ()5. ,26., ,77.,ijnriri nrAaxxxNkrxxxxyxAyxxkNeaalaaa aalaaaallelaa aa ll =-=-+-L算法：输入初始向量误差限 最大迭代次数置求整数 ，使，计算置 计算若输出停机；否则，转若置0,1,3kk+ 转 ；否则，输出失败信息，停机。(也可采用幂法迭代两步或三步，加速一次的方法）三、反幂法反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量的方法, 也是修正特征值、求相应特征向量的最有效的方法。11111,1AnnuAAuuuA uA uuAAAAAllll-=设 为阶非奇异矩阵，为 的特征值与相应的特征向量，即此式表明，的特
12、征值是 的特征值的倒数，而相应的特征向量不变。因此，若对矩阵用幂法，即可计算出的按模最大的特征值，其倒数恰为 的按模最小的特征值。 这就是反幂法的基本思想。1(1)( )(1)1( )(1)kkkkkAAAxxxA xxA-+-=因为的计算比较麻烦，而且往往不能保持矩阵 的一些好性质（如稀疏性），因此，反幂法在实际运算时以求解方程组 代替幂法迭代求得，每迭代一次要解一个线性方程组。由于矩阵在迭代过程中不变，故可对 先进行三角分解，每次迭代只要解两个三角形方程组。反幂法计算的主要步( ) ( )( )( )( )1( )(1)1.2.max, 3. , .k kkkk riri nkkAALUx
13、rxxxyLzyUxzaa +=骤：对 进行三角分解求整数 ，使得计算，解方程组4*0, ,()iiiiAAIAIllllllllllllllllllllll-用带原点移位的反幂法来修正特征值，并求相应的特征向量是非常有效的。设已知 的一个特征值 的近似值为，因接近 ，一般有故是矩阵的按模最小的特征值，且由上式可知，比值较小。因此，对用反幂法求一般收敛很快，通常只要经过二、三次迭代就能达到较高的精度.反幂法的一个应用* 1*1*1.(),(,),2 .1,1;3.;max;5. , , , ;1116., ,7;7.,ijnriri nrAaxxxNkuAILUrxxxxyLzyUxzxxuk
14、Nlelabaelllbb =-=-=+L算法：输入近似值，初始向量误差限 ，最大迭代次数 ;置作三角分解 4.求整数 ，使，计算置若则置,输出停机；否则，转若置1,4kkub+ 转 ；否则，输出失败信息，停机.111AuuuA uA uulll-=(0)210021012(0,0,1) .2.930.93102.9300.931 010.93100010 01/0.931TAAxAIAI- =- - =- -=- - = 例：，用反幂法求矩阵 接近2.93的特征值，并求相应的特征向量，取解：对作三角分解得40.9310 00.931 000.93 1/0.9333.0000954,310(1
15、, 0.9992431,0.9991478)(1,-1,1)0.001.TTurl- - -+ -按算法迭代 次，与准确值 的误差小于，与准确值比较，残差2. Jacobi方法12Jacobi,:(1) , (,) (1,2, ),(),T niijn nTAQQ AQdiaginAQAaQBQ Al lll=LL方法是求实对称矩阵的全部特征值及相应特征向量的一种方法 它基于以下两个结论任意实对称矩阵 可通过正交相似变换化成对角阵 即存在正交矩阵使得其中是 的特征值中各列即为相应的特征向量。(2) 在正交相似变换下，矩阵元素的平方和不变。设为正交矩阵，记22,1,1(), Jacobi,nnijn ni
