《“画龙点睛”数学专题讲解(五)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《“画龙点睛”数学专题讲解(五)（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一部分第一部分曲线积分曲线积分 一、计算曲线质量的积分对弧长的曲线积分（第一类曲线积分） Ldsyxf),(的计算方法 方法一：特殊计算法 例题 1 计算+ Ldsyxyx)934(22，其中149:22 =+yxL，其中长度为a。 解答：根据对称性得+=+ LLdsyxdsyxyx)94()934(2222adsdsyxLL3636)49(3622 =+=。 例题 2 计算 +dszyx)(222，其中 =+=+04324:222zyxzyx。 解答：162244)(222=+dsdszyx。 方法二：定积分法 情形一：)(:xyL=（bxa） ， += badxxxxfdsyxf)(1)
2、(,),(2。 情形二： = )()(:tytxL（ t） ， +=dtttttfdsyxf L)()()(),(),(22。 例题 3 计算+Lyxdsxe22，其中L由xy =，24xy=及x轴围成的曲线段。 解答：令)20(0:1=xyL，)40(sin2cos2:2 = yxL，)20(:3=xxyL， 则+=32222212222LyxLyxLyxLyxdsxedsxedsxedsxe 43)243(4202420212+=+=edxxedsedxxexLx。 二、就算变力沿有向曲线段做功的曲线积分对坐标的曲线积分（第二类曲线积分） （一）二维空间对坐标的曲线积分+ LdyyxQdx
3、yxP),(),( 1、二维空间对坐标的曲线积分的产生设L是有线曲线段，),(),(),(yxQyxPyxF=，在力),(yxF的作用下，一质点从L的起点沿L到终点，),(yxF对质点所做的功为 “画龙点睛”数学专题讲解（五）：曲线积分与曲面积分此部分内容仅需数一掌握，也是数一内容中的重难点，请留意！+= LdyyxQdxyxPW),(),(。 2、二维空间对坐标的曲线积分的计算方法如下： 方法一：定积分 情形一：)(:xyL=（起点对应的ax=，终点对应的bx=） ，则 +=+baLdxxxxQxxPdyyxQdxyxP)()(,)(,),(),(。 情形二： = )()(:tytxL（起点
4、对应的=t，终点对应的=t） ，则 +=+dttttQtttPdyyxQdxyxP L)()(),()()(),(),(),(。 例题 1 计算+ Ldyyxdxxxy)()2(22，其中L是22,yxxy=围成曲线的正向。 解答：令2 1:xyL=（起点0=x，终点1=x） ，xyL=:2（起点1=x，终点0=x） 。 + Ldyyxdxxxy)()2(22+=21)()2()()2(2222LLdyyxdxxxydyyxdxxxy +=+10423222)()2()()2(1xdxxxdxxxdyyxdxxxy L67)22(10523=+=dxxxx， +=+01222 21)()2()
5、()2(2dxxxxdxxxxdyyxdxxxy L1517)2(102=+=dxxxxx，故301 1517 67)()2(22=+Ldyyxdxxxy。 方法二：格林公式 定理：设D为平面（单或多）连通区域，),(),(yxQyxP在D上具有一阶连续偏导数，其中L为其正向边界，则有 =+DLdxdyyP xQdyyxQdxyxP)(),(),(。 例题 1 计算+ Lxxdyyexyydxe)sin5(cos， 其中L为曲线22yyx=沿y增加的方向。 解答：yexyyxQyeyxPxxsin5),(,cos),(=， yeyPyeyxQxxsin,sin5=， 令0:0=xL（起点)2
6、, 0(，终点)0 , 0(） ， +=+ +00)sin5(cos)()sin5(cos LxxLLLxxdyyexyydxedyyexyydxe， 由格林公式 =+ + DLLxxdxdyyP xQdyyexyydxe)()sin5(cos(025 221 43 340sin340sin552 04sin2022 0 =ddrrdydxdyD， 2cos1sin)sin5(cos020=+ydydyyexyydxe Lxx， 所以2cos125)sin5(cos+=+Lxxdyyexyydxe。 例题 2 计算+Lyxydxxdy224，其中L是不过原点的简单闭曲线。 解答：设L所围成的区
7、域为D，22224),(,4),(yxxyxQyxyyxP+=+=， 22222)4(4 yxxy yP xQ +=（)0 , 0(),(yx） 。 情形一：DO)0 , 0(，由格林公式得0)(422=+ DLdxdyyP xQ yxydxxdy； 情形二：DO)0 , 0(，作222 04:ryxL=+（0r，0L在L内且为逆时针方向） ，设0L围成的椭圆区域为1D，0L与L围成的区域为2D，由格林公式得 0)(4 2022=+ DLLdxdyyP xQ yxydxxdy，于是有+=+0222244LLyxydxxdy yxydxxdy， 而=+=+1100222222) 11 (11 4
8、DDLLdxdyrdxdyrydxxdyryxydxxdy。 例题 3 设),(yxQ在xoy平面上具有一阶连续的偏导数，且+ LdyyxQxydx),(2与路径无关，且对任意的Rt，有+=+), 1 ()0 , 0()1 ,()0 , 0(),(2),(2ttdyyxQxydxdyyxQxydx，求),(yxQ。 解答：因为+ LdyyxQxydx),(2与路径无关，所以xxQ2=，于是)(),(2yxyxQ+=。 +=+=+10210210)1 ,()0 , 0()()(),(),(2dyytdyytdyytQdyyxQxydxt， +=+=+tttdyytdyydyyxQxydx 00)
9、, 1()0, 0()()(1 ),(2， 因为+=+), 1 ()0 , 0()1 ,()0 , 0(),(2),(2ttdyyxQxydxdyyxQxydx， 所以+102)(dyyt+=tdyyt 0)(，两边对y求导得12)(=tt， 故12),(2+=yxyxQ。 例题 4 设曲线积分+ Ldyxydxxy)(2与路径无关，其中连续可导且0)0(=。计算 +)2, 1 ()0 , 0(2)(dyxydxxy。 解答：因为+ Ldyxydxxy)(2与路径无关，所以xyxy2)(=，于是xx2)(=， Cxx+=2)(，因为0)0(=，所以0=C，于是2)(xx =。 2|21)2,
10、1 ( )0, 0(22)2, 1()0, 0(22=+yxydyxdxxy。 例题 4 设)0()(2+AyxydxxdyL，其中L是绕过原点的正向闭曲线，)(x可导且1) 1 (=。 （1）求)(x； （2）求A。 解答： （1）22)(),(,)(),(yxxyxQyxyyxP+=+=， 222222)()(,)()()( yxyx yP yxxxyx xQ += += ， 任取一条不绕过原点的正向闭曲线L，在L上任取两点BA,，将L分成21,LL，过BA,作一条曲线3L，使3L与21,LL围成绕原点的闭曲线，由格林公式得 AyxydxxdyLL+ 312)(，AyxydxxdyLL+3
11、22)(，两式相减得 0)(2=+Lyxydxxdy ，即曲线积分与路径无关，于是yP xQ =，从而有 )()()(xxxx=，即0)(2)(=xxx，解得2)(Cxx =， 又因为1) 1 (=，所以1=C，于是2)(xx =。 （2）作222 0:ryxL=+（其中0r，0L在L内，取逆时针方向） ，设由0L围成的区域为1D，由10,LL围成的区域为2D，由格林公式 0)(2022=+ DLLdxdyyP xQ yxydxxdy，于是+=+02222LLyxydxxdy yxydxxdy， 而2211002222=+ DLLdxdyrydxxdyryxydxxdy，故2=A。 （二）三维
12、空间对坐标的曲线积分+ LRdzQdyPdx 1、产生设L为三维空间的有向曲线段，),(),(),(),(zyxRzyxQzyxPzyxF=，在F的作用下，质点从L的起点沿L至终点，F对质点所做的功为 += LRdzQdyPdxw。 2、计算方法 方法一：定积分 设 =)()()(:tztytxL（起点=t，终点=t） ，则 + LRdzQdyPdx dtttttRttttQttttP)()(),(),()()(),(),()()(),(),(+=。 例题 1 计算+ Ldzxyzdyxzydxyzx)()()(222， 其中 =tztytxLsincos:（起点0=t，终点2=t） 。 解答
13、：+ Ldzxyzdyxzydxyzx)()()(222+=20222)cossin(cos)cos(sinsin)sin(cosdtttttttttttt 38)2cossin(cos32022=+=dtttttt。 方法二：斯托克斯公式 设L为曲面的边界，L的方向与的侧按右手准则确定，cos,cos,cos为曲面上一点的法向量的方向余弦，则有 dsRQPzyx RQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdx L = =+coscoscos。 例题 2 计算+ Lxdzzdyydx， 其中L是2222Rzyx=+与0=+zyx的交线， 从x轴的正向看为顺时针方向。 解答：设截口圆为，
14、取下侧，且31coscoscos=，由斯托克斯公式 =+dsxzyzyxxdzzdyydx L11131233331Rdsds= 。 （三）曲线积分的应用作功 例题 1 位于) 1 , 0(的质点A对质点M的引力大小为)0(2krk，其中r为两质点之间的距离，质点M沿曲线22xxy=从)0 , 2(B运动到)0 , 0(，求质点A对质点M所做的功。 解答：设质点M的坐标为),(yx，+= LdyyxQdxyxPw),(),(，其中,QPF=， 由题意，22) 1(|+=yxkF。 1 ,yxMA=，1 , ) 1(12200yx yxMAF +=，于是 1 ,) 1(|23 220yxyxkFFF+=，则 +=+= LLdyyxykdxyxkxdyyxQdxyxPw23 2223 22) 1()1 () 1(),(),(， 因为25 22) 1()1(3+=yxykxyP xQ，所以曲线积分与路径无关，故 += Ldyyxykdxyxkxw23 2223 22) 1
