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1、20082008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数数学（文史类）学（文史类）本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟. . . .祝考试顺利祝考试顺利注间事项：注间事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条 形码粘贴在答题卡上指定位置 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效. 3.填空题和解答题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在 试题卷上无效.
2、4.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 1010 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 5050 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. . 1.设 a=(1，2), b=(3,4),c=(3,2)，则(a+2b)c=A.( 15,12)B.0C.3D.112.3 21(2)2xx10的展开式中常数项是A.210B.105 2C.1 4D.1053.若集合1,2,3,4, 05,PQxxxR=1212.cc aa+ABxA的形式，并指出( )f x的周期；（）求函数17(
3、 ) ,12f x在上的最大值和最小值17.（本小题满分 12 分）已知函数322( )1f xxmxm x=+（m为常数，且m0）有极大值 9.（）求m的值；（）若斜率为5 的直线是曲线( )yf x=的切线，求此直线方程。18.（本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，平面1ABC侧面11.A ABB（）求证：;ABBC（） 若1AAACa=， 直线AC与平面1ABC所成的角为，二面角1,.2ABCA+=的大小为求证：19.（本不题满分 12 分）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部 分） ，这两栏的面积之和为 18000cm2，
4、四周空白的宽度为 10cm，两栏之间的中缝空白的宽 度为 5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm） ，能使矩形广告面积最小？20（本小题满分 13 分）已知双曲线)0, 0( 1:2222 =baby axC的两个焦点为12( 2,0),(2,0),(3, 7)FFP点在双曲线C上. （）求双曲线C的方程； （）记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若OEF的面积为2 2,求直线l的方程21.（本小题满分 14 分）已知数列an和bn满足：a1=，an+1=432+nan,bn=(1)n(an3n+21)，其中为实数，n为正整数。 （I）证明：对任意
5、实数，数列an不是等比数列；（II）证明：当18 nb 时，数列是等比数列；（III）设nS为数列 nb的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数n，都有12?nS 若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.20082008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案数学（文史类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算.第小题 5 分，满分 50 分. 1.C2.B3.A4.D5.C6.A7.A8.D9.B10.B 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，第小题 5 分，满分 25 分.11.1012.30（或6）13
6、.214.0.9815.（3，2） ， （x2）2（y3）216（或x2y24x6y30） 三、解答题：本题共 6 小题，共 75 分. 16.本小题主要考查三角函数的恒等变换、周期性、单调性和最值等基本知识和运算能力. （满分 12 分）解：()f(x)=21sinx+23)4sin(22 23)cos(sin2122cos1+=+=+xxxx.故f(x)的周期为 2kkZ 且k0.()由x1217，得35 445+x.因为f(x)23)4sin(22+x在45,上是减函数，在1217,45上是增函数.故当x=45时，f(x)有最小值223+；而f()=2，f(1217)466+2，所以当x
7、=时，f(x)有最大值2. 17.本小题主要考查应用导数研究函数性质的方法和基本运算能力.（满分 12 分）解：()f(x)3x2+2mxm2=(x+m)(3xm)=0,则x=m或x=31m,当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(,m)m(m,m31)m31(m31,+)f(x)+00+f(x)极大值极小值从而可知，当x=m时，函数f(x)取得极大值 9， 即f(m)m3+m3+m3+1=9,m2. ()由()知，f(x)=x3+2x24x+1,依题意知f(x)3x24x45，x1 或x31.又f(1)6，f(31)2768，所以切线方程为y65(x1), 或y27685(x31
8、)，即 5xy10，或 135x27y230.18.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角、二面角等有关知识，考查空间想象能力 和推理论证能力.（满分 12 分） ()证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作ADA1B于D， 则由平面A1BC侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1A1B， 得AD平面A1BC.又BC平面A1BC 所以ADBC. 因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱, 则AA1底面ABC,所以AA1BC. 又AA1AD=A,从而BC侧面A1ABB1, 又AB侧面A1ABB1， 故ABBC. ()证法 1：连接CD,则由()知ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角
9、，ABA1就 是二面角A1BCA的平面角，即ACD，ABA1=.于是在 RtADC中，sin=aAD ACAD=,在 RtADA1中，sinAA1DaAD AAAD=1,sin=sinAA1D,由于与AA1D都是锐角，所以AA1D.又由 RtA1AB知，AA1DAA1B2，故2.证法 2：由()知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设 AB=c（ca，则 B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(0 , 0 ,22ca),A1(0,c,a)，于是)0 , 0 ,(22caBC=，1BA（0，c，a）,)0 ,(22ccaAC
10、=,1AA=(0,0,a)设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z),则由=+=. 0, 0, 0, 0221 xcaazcyBCnBAn得可取 n（0，a，c） ，于是nAC=ac0，AC与n的夹角为锐角,则与互为余角.sin=cos= 222222222)()0 ,(), 0( |cacccacaccaca ACnACn+= +=,cos=,), 0 , 0(), 0( |2222 11 cacacaaca BABABABA+= +=所以 sin=cos=sin(2),又 0，2，所以+=2.19.本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、不等式等知识解决实际问题的能力.（
11、满分 12 分）解法 1：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab=9000.广告的高为a+20，宽为 2b+25，其中a0，b0.广告的面积S(a+20)(2b+25)2ab+40b+25a+50018500+25a+40b18500+2ba4025=18500+.2450010002=ab当且仅当 25a40b时等号成立，此时b=a85,代入式得a=120，从而b=75.即当a=120，b=75 时,S取得最小值 24500.故广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小.解法 2：设广告的高和宽分别为xcm，ycm，则每栏的高和宽分别为x20，,225y其中x2
12、0，y25两栏面积之和为 2(x20)18000225=y,由此得y=,252018000+x广告的面积S=xy=x(252018000+x)252018000+xxx,整理得S=.18500)20(2520360000+xx因为x200，所以S2.2450018500)20(2520360000=+xx当且仅当)20(2520360000=xx时等号成立，此时有(x20)214400(x20)，解得x=140，代入y=2018000 x+25,得y175，即当x=140，y175 时，S取得最小值 24500，故当广告的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小.20.本
13、小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识，考查待定系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力.（满分 13 分）()解法 1：依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为142222 =ay ax（0a24)，将点（3，7）代入上式，得147922=aa.解得a2=18（舍去）或a22，故所求双曲线方程为. 12222 =yx解法 2：依题意得，双曲线的半焦距c=2.2a=|PF1|PF2|=,22)7()23()7()23(2222=+a2=2，b2=c2a2=2.双曲线C的方程为. 12222 =yx()解法 1：依题意，可设直线l的方程
14、为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得(1k2)x24kx6=0.直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F, +=, 33, 10)1 (64)4(, 01222，kkkkkk(1, 3 ) (-1,1)(1,3).设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由式得x1+x2=,16,142212kxxkk =于是|EF|=2 2122 212 21)(1 ()()(xxkyyxx+=+=|1|32214)(122 2 212 212 kkkxxxxk+=+而原点O到直线l的距离d 212k+,SOEF=.|1 |322 |1|3221 12 21|212222 22kk kkk kEFd=+
15、 +=若SOEF22，即, 0222|1 |32224 22 =kkkk解得k=2,满足.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=22 +x和. 22 +=xy解法 2：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理，得(1k2)x24kx60.直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， +=. 33, 10)1 (64)4(, 01222，kkkkkk(1, 3 )(-1,1)(1,3).设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由式得|x1x2|1|322 |1|4)(222212 21kk kxxxx=+.当E、F在同一支上时（如图 1 所示） ，SOEF|SOQFSOQE|=|21|
