基于排队论基础上的加工业生产的稳态模拟模型(高徐郑)

《基于排队论基础上的加工业生产的稳态模拟模型(高徐郑)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《基于排队论基础上的加工业生产的稳态模拟模型(高徐郑)（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 1基于排队论基础上的加工业生产的稳态模拟模型 基于排队论基础上的加工业生产的稳态模拟模型 高志华，徐哲，郑小洪 指导教员：数模组 （海军航空工程学院 烟台 264001） 摘要摘要：这是一个维修策略的评价与加工业的生产优化问题。 根据题意我们可以知道，这是一一个闭循环多服务窗有备用用品的排队稳态 模型问题（即mmNnGM/+排队模型问题） 。在所给的维修策略下，我们采 用mmNnMM/+排队稳态模型对其进行近似求解， 得到机床的生产利用率、 备用状态的机床数、等待修理的机床数以及机床和修理工忙期的平均值等参数。 根据对这些参数的分析，我们认为在该生产过程中维修工人较空闲，备用机床反 而过于充

2、足，因此应当适当地减少维修工人和备用机床，增加机床操作工人。 对于上述mmNnMM/+排队稳态模型的优化， 我们建立生产优化模型， 然后采用边际分析法对该模型进行求解，并根据结果给出了最优人事安排方案 为：2 个工人维修，51 名工人操作机床，51 台机床用于加工，3 台机床备用。 关键字：关键字：mmNnGM/+，mmNnMM/+1，边际分析法221 问题的提出 1 问题的提出 某工厂共有 50 机床加工原料，另配有 4 台备用机床，若正在加工的机床发 生故障时，立即将备用机床投入生产中去，而发生故障的机床则送到由三名修理 工组成的机修组进行修理，一台机床只由一名工人操作使用，维修时也只由一

3、名 修理工修理。机床发生故障的间隔时间服从均值等于 157 小时的指数分布，一名 修理工修理一台机床的时间服从4,10小时之间的均匀分布。 进入修理状态的机 床被修理完成后成为备用机床。 机床在加工和修理的过程中必须遵守下面两条规 则： 1 某机床发生故障直接交给修理工修理时，总是送给休息时间最久的修理 工。 2 某机床修理完成，若直接交给工人加工时，总是送给休息时间最久的工 人。 要求我们通过了解机床用于生产的利用率、处于备用状态的机床数、等待修 理的机床数以及机床和修理工忙期的平均值等，对此维修策略进行评价。 在该系统运行三年（共 156 周，每周工作 5 天，每天工作 8 小时）中，要求

4、 我们通过建立数学模型以分析整个生产系统的特性： 平均每小时有多少工人处于 工作状态；平均每小时有多少修理工处于工作状态；平均每小时有多少台机器在 等待修理等， 并进一步研究生产工人人数和修理工人人数变化对生产系统运行情 况的影响，给出最优的人事安排方案。 2 问题的分析问题的分析 这是一个维修策略的评价与改进问题。初步分析题意我们可以知道这是一 个闭循环多服务窗有备用用品的排队模型问题（即mmNnGM/+排队模型 问题） 。其中发生故障的机床相当于顾客，它们在修理后是可以循环利用的；而 维修工则相当于排队模型中的服务窗。而对于mmNnGM/+模型，目前没 有什么精确而简单的求解方法，故我们采

5、用mmNnMM/+近似求解。我们 假设一名修理工修理一台机床的时间服从均值为7/1的指数分布，然后通过对该 排队模型的队长、排队长等的分析可以得到机床用于生产的利用率、处于备用状 态的机床数、等待修理的机床数以及机床和修理工忙期的平均值,通过对这些参 数的分析， 我们可以得知该维修策略的维修工人较空闲， 备用机床反而过于充足， 因此我们要增加工作机床的数量，减少备用机床的数量和维修工人的数量。 对于上述模型我们可以进行排队系统的稳态模拟， 并建立排队系统最优化模 型。 我们将通过调整服务窗即维修工人的个数即通过合理的人事安排来改善改该 排队系统的性能，比如：平均每小时有多少修理工处于工作状态；

6、平均每小时有 多少台机器在等待修理等。 为此我们建立生产优化模型， 用边际分析法进行求解， 并对该生产过程的作出了合理的人事安排。 33 模型的假设模型的假设 1. 假设机床在修理后不会对它的故障率产生影响； 2. 假设所有的员工都能准时上下班，没有迟到早退现象； 3. 假设所给的故障率等数据是准确无误的； 4. 假设机床不会出现老化等问题； 5. 假设在这 3 年间无安全事故。 4 模型的符号说明模型的符号说明 u 单位时间内服务窗的平均服务率即维修工的平均修复率； 单位时间内机床的平均故障率； N 系统的备用机床数目； n 系统的服务窗数目即维修工数目； m 系统的顾客数量即工作机床数目；

7、 qL 单位时间平均等候修理的机床数； l 单位时间平均忙着的维修工人数； h 单位时间平均工作的机床数； L 单位时间平均备用机床数； ip 机床处于状态i的概率。 5 模型的建立与求解模型的建立与求解 5.1 维修策略评价模型 根据题目所给条件， 我们知道这是一个闭循环多服务窗有备用用品的排队模 型问题，其工作过程如下图所示： 4我们记单位时间出故障的机床数目为该排队系统的可能出现的状态， 那么状态空间应为, 2 , 1 , 0mNE+=L： 对0状态，表示有m台机床正常工作,N台备用的； 对1状态,表示有m台机床正常工作,1N台备用的； MM 对N状态,表示有m台机床正常工作,无备用的；

8、 对1+N状态,表示有1m台机床正常工作,无备用的； MM 对1+mN状态,表示有1台机床正常工作,无备用的； 对mN+状态,表示没有机床正常工作,无备用的。 在分析问题时，首先我们求出系统在时刻t的状态为i的概率)(tpi。我们知道机器的发生故障规律服从参数为157/1=的负指数分布，而维修时间则服从10, 4的均匀分布，为了简化模型我们假设它服从相同均值的负指数分布，其平均服务率为7/1=u，所以在),(ttt+时间内故障规律情况分为2： （1）有一台机床发生故障的概率为)( tot+，没有机床发生故障的概率 为)(1tot。 （2）在所有机床在接受维修的时候，当ni时，其中一个机床修理完

9、毕离5开 并 成 为 备 用 品 的 概 率 为)( totiu+， 没 有 机 床 完 成 维 修 的 概 率 为)(1totiu；当ni 时，其中一个机床修理完毕离开并成为备用品的概率为)( totnu+，没有机床完成维修的概率为)(1totnu； （3）当多个机床同时发生故障或同时修理完毕的概率为)( to，是可以忽略的。 因此在时刻tt+,系统中状态为i的情况有下列四种（多个机床同时发生故障或同时修理完毕的概率为)( to，我们不予考虑） ，见表一： 表一： 在区间),(ttt+ 情况 在t时刻的故障机床数到达 离开 在tt+时刻的故 障机床数 A i i B 1+i o i C 1i

10、 o i D i o o i 其中o表示发生一个，表示没有发生。 它们发生的概率分别是（见表二） ： 表二： 情况 当ni时 当ni时 A )1)(1)(tiuttpn )1)(1)(tnuttpn B tiuttpn+)1)(1 tnuttpn+)1)(1 C )1 ()(1tiuttpn )1 ()(1tnuttpn D ttiutpn)( ttnutpn)( 由于上述四种情况是互不相容的，所以)(ttpn+等于上述四种情况的概率之和。 而求稳态概率np时， 我们只需令0)( =tpn， 便可得稳态时概率关系， 即K氏代数方程（见表三） ： 6表三： 状态 K氏代数方程 状态 K氏代数方程

11、 0 10uppm= M M 1 212uppm= N 1+=NNnuppm M M 1+N 21) 1(+=NNnuppm1n nnnuppm=1 M M n 1+=nnnuppm 1+mN mNmNnupp+=1 由表三可得： +=mNiNpuNimnnmmNinpunnmnipuimpi niNi niiiii1)()!(!1)(!0)(!000又由正则性条件+=mNiip01可得0p的值，然后通过各状态的概率我们可以求出下列参数：=+=+=101010)()(niimNNiiNiiNiiiplpNimmphpiNL，+=+mNniipn， +=mNniiqpniL)(。因此用于生产的利

12、用率为：)/(hLlLhq+=。 在本模型中7/1,157/1,50, 4, 3=umNn。通过上述模型可求解得到2230. 11920. 21626.494224. 1=qLlhL；9130. 0=。维修工人较空闲，备用机床反而过于充足，因此我们要通过改善人事安排来解决这些问题。 5.2 生产优化模型 在生产过程中，我们要对 53 个工人和 54 台机床在未来三年（共 156 周） 内进行安排。我们先假设有x个维修工，则由题意知道有x53个工人在操作机 床，开始时（即0=t时刻）有1+x台备用机床。 7要使生产系统生产效益最好，即机床处于备用状态、故障机床在等待维修 和故障机床维修时的时间之

13、和的期望值z最小。即我们建立生产优化模型如下： )(6240minqLlLz+= （1） 根据维修策略评价模型，我们知道qLlL,都是关于x的函数。显然要使z最小，唯一可变的是x，所以z是一个关于x的函数。我们要求的是使得)(*xz最小的最优解*x。因为x只能是整数，)(xz不是一个连续的函数，所以不能用经典的微分法求解，我们采用边际分析法求解。根据)(*xz的特点我们可以得到： +) 1()() 1()(*xzxzxzxz将（1）代入上式得： +)1() 1() 1(6240)()()(6240)1() 1() 1(6240)()()(6240*xLxlxLxLxlxLxLxlxLxLxlx

14、Lqqqq将上式化简后可得： )()()() 1() 1() 1(0)1() 1() 1()()()(*xLxlxLxLxlxLxLxlxLxLxlxLqqqq+我们可依次求出54, 2 , 1L=x时的值，并根据上式作差，若它们的差符合上式即为最优解*x。我们用Matlab求解得：，5100325. 2) 1 (=z ，4106079. 2)2(=z ) 3( zLL，44102011. 3)4(100185. 3=z所以2*=x， 即最优人事安排方案为：2个工人维修，51名工人操作机床，51台机床用于加工，3台机床备用。 6 模型的评价模型的评价 优点:如果考虑到服务时间服从均匀分布具有后

15、效性，模型过于复杂，因而 造成求解麻烦或不易将其扩充至更大型的问题。 而本模型中我们将服务时间假设 为相同均值的负指数分布，大大简化了模型，并运用计算机强大的计算能力进行 大量计算，在短时间内可求得质量较优的解。在对人事安排上，我们充分考虑到 生产的经济效益，通过建立差分方程模型，并运用边际分析法进行求解，使生产 过程得到了合理的安排。 缺点：模型的简化算法可能与实际有较大的误差，因此不能求出全域的最8优解。 参考文献 参考文献 1 陆传赉，排队论，北京，北京邮电学院出版社，1994 年 2 运筹学教材编写组，运筹学，北京：清华大学出版社，1990 年 附录附录 程序一（程序一（维修策略评价模型的求解） function y=f(n); if n0 error(n is smaller than 0,error input.);