凝固过程中热传导的反问题

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1、第29卷第2期清华大学学报(自然科 学版)JOURN A LO FT S NGH UAUNIVERSIT YVo1.2 9No.21989凝固过程中热传导的反问题机械工 程 系郝守 卫柳百成张卓其陈 驾宇摘要在铸件的凝固过程中,铸件/ 铸型界面的热交换行为是影响凝固速度的关键因素在讨论了几种求解热传导反问题的方法后,着重介绍了非线性估计法(N。司in ea:E“t ima tio nMetl l od(NEM) ),同时也讨 论了优化试验方案。以N EM为理论基础.开发了两个程序并成功地应用到求解凝固过程中随时 间而变化的金属/铸型界面热交换系数以及铸件、铸型中的温度场。关镶词:凝固过程,热交

2、换系数,热传导反算法O前言自从6 0年代末使用计算机对凝 固过程进行数值模拟的方法以来,已取得许多重大进展,许多铸造工作者认为在铸造中实现计算机辅助设计( CAD)将为古 老 的铸 造 技术的飞跃 提供良机。-然而,要在 铸造行业中实现计算机辅助设 计,首先要解决许多理论 问题,其中包括目前人们了解甚 少 的金 属/铸型界 面 的热交换条件。尽管 人们 较早就开 始重视并专 门研究了这个 问题,但目前许多研究人 员仍认为还不存在一种令人满意的办法来确定界面热交换系数值的大小。要确定界面热交换情况,目前较好 的方 法是求解热传导的反 问 题 ( Inver s ePr o-bl emof Hea

3、七 Conduc七i on),即在已知内部某些特定点的温度后反算界面热流 或界面 热 交换系数2一“美 国密歇根 大学 的K.K.H。和R.D.Y.Peh lke在该领域做出了突 出的 贡献。他们首次将Be ck的非线性估计法1应 用到求解金属/ 铸型 的界 面热 交换系数。他们的研究是 针对铝、铝一铜铸件一 维平 面传热间题l。本 文着重介绍 了 一种适 用 于求解金属/ 铸型 界面 热 交换问题的方 法非线性 估 计法(NEM)“。这种方 法 的数学 优 点决定了它 在铸造 中的应 用前景。另外,还介绍了使 用该理 论时 的优化试验准则。同时,以N EM为理论基础而 开发 的HIC及HIP

4、软 件分别适 用于不 同凝 固 特性的金属 的圆柱坐标及平面 一 维传热反问题 的求解,取得 了令人满意 的结果。本文于198 了年5月2 8日收到第一稿,于1 9 8了年 1 2月收到修改稿凝固过程中热传导的反问题l非线性估计法(Nonline arEstimationMethod)1.飞几 种 反算法目前,求解热传导反问题 的方法通 常有:i)精确解法(ExaetMethod)62)积分 法(In七egralMe七hod)53)有限 差分 法(Fini七e一Differe neeMe七 hod)2,7.在铸造条件下使用1),2)类 方法求解是 不太可行的。只有第3 )类 方法 才最有利 于

5、求解通常的非线性问题。第3 )类 方法 中,I.Fr ank7在求解界面 热流 时采用了时间的k次多项近似式,当多项式次数太高时,很难保证计算的稳定性。J.M.Dav i e s8使用了另 一种更复杂 的方法来求解,它 包括 误差函数及几个 未知系数,这种方法不仅难解,而且 也 有Fr ank。方法中的缺点。然 而,在铸造条件下界面热流或界面热交换 系数变化都是非常急骤 的。显然,上述两种方法也较难 在铸造 中得到应用。J.V.Be ck的非线性估计法 具有处理变热 物性及潜热等非线性问 题 的能力,而且 不需 很多测量 温度,不需外推界面温 度,同时也 没有热流 不稳定性。因此,认为Be c

6、k的非线性估计法 较适 用凝 固过程中的热传导反 问题。1.2非线性估计法对于两 个接触的试 样,且具 有有限的h值则热 传导问题 能用数学 式 描述如 下。黝二pca a (1)非线性估计法 的关键 在于使F(二)达到最 小。N对 F(二)=二艺(T (二)了一Ij一i,厂yi,户2(2)其中:二可以是 界面 热 流(q )或 界面热 交换系数h,为了便于讨 论,下面 问题全部针 对 瓦T( h),和犷,分别对应在(二,九)的计算和测量 温度。对j的要求是在每一个 时间步长内h变化可 认为是均匀的。使F(幻达 到最小值的方 法很多,其中较有效的一种方 法是使用Tayf or展 开及刁F( h

7、)/ah=o。(3)其 中T,(h)二T,(h)+功,Ah、,hz+1=h+l一hz。,=。几妥,38清华大学学报 一. . . . . . . 曰. . . . . . .结合式(3 )及aF( h)/a几=0可推导出下 一次迭代时h的校正值。名 艺(Y,一T,j(h)必,J叭l十1少丝一性下- 一一(4) 名 万(沪,)“一lj=1迭代 从估计 一个h。值开始,对应l=。,增加迭代 次数l直到h:、,/从E(E为一个有 限小的数),便认为满足了要求,计算便转入下一个时间 间隔内的计算。2试验设计从 方程(4)中可以看出敏感 系数咖,对于求解h是至关重要 的。从式(3 )中可 以发现诱,越大

8、,则T,(幻对人的变化越敏感。下 面通过一个无 量纲 量来研究这个问题。不一神_丫一Tma二一Toin(5)其中Tmax和Tm、。分别为试验过程 中的最高和最低温度。假设热物性为常数,h也不是时间和温度的函数。坐标原点在界面处指向试块A(见图1(a)则方程(1)可改写为k器一。,黔(6);丝李迎=。:,(。,)一:,(。,)U环(7)在二二L处的 边界条件为:,(:,卜:,:)或一*旦互玲兰 l=。,(,)初始条件则为T通(劣,o)= =T摊(t)T,:(:),q,、,)及T,)都是已知函数。将式(6 )一(9)对h求偏导,然后乘以h/ (Tma x一Tmi。)得到(8)(9)aZ历,ax么。

9、a子,=p,一a了(10)、a子,三“,之一=、历,(。,卜子,(o,U戈_ hT汤(o,t)一Ta(o,t) ,- 一了石;二叫了 丽一(11)凝固过程中热传导的反问题历,(L,t)=o或毋,(二,o)二oa汤,(L,t)_ a劣(1 2)及,(13)界面界面试试块A A A潞潞. . .No.iNo.2. . . . .JX二LX=。一热流(a)热流(6 )图1热电偶布置示 意图注 意到式(1 。)一(13 )除方程(11)外均为齐次。从方程(1 1)中可以发现,如果T,(o,t)一T,(o,t)为。,则敏感系数必,始终为。,如 果T,(o,t)一T,(o,t)为正,则热 流从试块A传向试

10、块B,且敏感系数在试块A为负,在试块B为正。结合方程( 3)可以看出当h增加时,计算温度减少。从上述分析及公式(10 )(13 )可以发现,在越靠近界面处,则!引越大,因而温度对h的变化越敏感。因此热 电偶要尽可能布置在靠近界面处,然而又不能太靠近界面,因为界面处有热午扰层。上 面 的分析同时也说 明,在 界面处TA一TBTm。、一Tmsn越大,则1协将越大。这个结论,在决定初始温度 分布和边界条件时非常有用。对于初始条件来说,优化试验有两种方案:1)试块A,B初始温度相同且均匀;2)试样A,B初始温度不 同,但必须均匀。第l种条件在铸造条件下几乎不可能实施,因而 也没有什么实际意义。第2种方

11、案则较易满足。故采用第二种初始条件。从方程(2)中可以得 出结论,边界条件最好是给定边界热流或绝热条件,但它们对界面处 1引的影响不 很显著,然而给定边界 温度条件却要容易得多,本文采用了给定边界温 度条件及绝热边界条件。3试验结果及讨论现在球墨铸铁的应 用越来越广泛。然 而,球铁的独特凝固特性使得在数值模拟其凝固过程 时所遇 的困难更大。例如,它 的浇注温度为1300135 0,比有色合金要高得多(有色金 属 浇温通常为 7 00 80 0)。它的结晶区间要比许多有色合金和钢宽得多。结晶区间越宽,则处理潜热 的数学模型经受 的考验越大。更为重要的是,球铁凝固期间其膨胀量 的平均值为4.5写,

12、而有色金属及钢在凝固时则是收缩的。因此,必须对球墨铸铁进行更 深入的研究及 分析。4D清华大学学报. 俘NEM 原理,结合铸造 凝固条件,采用 显式有限 差分 法解热传导方程,用 温 度回升法 处理潜热,直接反算h值。它 具有计算速度快、收敛性好、精度高、使用灵 活 等优 点。开发了HIC及HIP两 个程序分别适用 于圆柱形坐标及平 面一维传热的反问题。它们所需的测温点如图1(a )和1(b )所示,其中2,3点实测温度作为Y。平 面 问题(图1 (a )的1,4点实测 温度作为边界条件,而 圆柱 形时(图1 (b) ),只使用4点作为边界条件,轴心处按绝 热边 界条件处理。试验装置如 图2所

13、示,铸型为 两开 型的灰铁金型,采 用螺 栓紧固,型厚分别 为2 0mm,1 0mm。两端用 绝热材料以减少轴向热流,保证中 间截面处为 一维径向传热。型内 表面 为机加工面,浇注时内表面不刷 涂料,不预热。采 用镍 铬一镍 铝 热 电 偶及XWC一3 。 。长图 自动平衡记录仪测温。眺眺;共共互互一一 任任L. . . 二二r一一5 5 5 5 5 5 5 5 50 0 0 0 0 0 0, , , ,; ; ; ; ; ; ; ; ;砂17 。(功19。) 了了了了i i i i i i i i i, , , , , , , ,生生生生. . .t- - - 价二介派派热电偶的布置No.1

14、:铸件的中心No.2:铸件内距界面7.smmNo.3:铸型内距界面lmm(或2,nm)N。.4:铸型外表面图2试验装置及实测热电偶 布置示意图图3为在型 厚为1 0 mm时,计算温度同实 测温度的比较,最 大偏 差为2 5( 2%左右)。图4为用HIC程序反算出的界面 热 交换系数,它同传统 的结 论有所不同。从 图4可以看 出,由于球铁在凝固时产生石墨 化膨胀,因而 在金 属/铸 型界 面处不仅 不产生 气隙,而且界面接触条件会逐 步改善。因此,界面 热交换系数在凝 固期 间是 逐步上升的。此外,型 厚对h值也有一定的影响gY.Ni sh ida等人对 界面 的压 力对h变化 的 影 响做了

15、更直接的试验 研究”他们 的试验是对液 态铝 突然 加压。通 过试错法计算表明加压后金属/ 铸型界面热 交换 系数急剧上升。. 为了检验HIP,HIC程序在铸造有色金属条件下 的适 应情况,对文1,1 0中的数据又分别进行计算。凝固过程中热传导的反问题从 图5中可 以看出,在3mi n左右,h值急剧下降。K.K.H。和R.D.Peh lke1 200中心 峨花址,_泛1 8口O铸件铸型叹戳二,.冰,丫日.莽之lm m议衬之二丧面10, J li于 算温度实测温度8121 6j/min3n.n 口n” 八) (n U八甘旧洲Jq户0图3实测及 计算 温度的比较图4HI C程序计算出的界面热交换系

16、(型厚=1 0mm)数时间曲线.通过使用电联仪及位移传感器测 出在3mi n左右在界面处形成气隙。这就不难 理解h值急剧下降的现象。计算温度同实测 温度相比不超 过 1 0,通过 计算表明H IP适 用 于无载菏中心151 1111 飞40 0召0 01 011 1 工n 一.一-.ZOmr 门1.狱。.它!狱泛4 0mm 一一80m m 一1 0 01 5 0024681 012t/st/min图5使用文献l 中数据计算出的界面热交换系数时间曲线图6实测温度曲线”l42一清华大学学报有色金属条件,而且能计算出急剧变化 的万一才曲线。图6为Y.N i sh ida等人 的实测温度场。图7,图8为使用H IC进行计算的结果。比较 图6和 图7可以发现 几条温度变化曲线几乎完全吻合。这也就说明了 图