混凝土结构在往复荷载下的塑性损伤模型

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1、宫婷，清华大学土木工程系宫婷，清华大学土木工程系 附录 A 外文资料的书面翻译 混凝土结构在往复荷载下的塑性损伤模型 混凝土结构在往复荷载下的塑性损伤模型 原文:原文: Lee J, Fenves G L. Plastic-damage model for cyclic loading of concrete structure. Journal of Engineering Mechanics, 1998, 124(8) : 892-900 摘 要：摘 要：本文基于连续损伤力学中的断裂能量和刚度退化的概念，建立了一个混 凝土在循环荷载作用下的塑性损伤模型。该模型有两个损伤变量，分别是拉伸损

2、伤和压缩损伤。本文在屈服函数中引入一个多重硬化变量来描述不同的损伤类 型。单轴强度函数被分为有效应力和弹性刚度退化两部分。弹塑性响应的本构关 系与退化损伤响应解耦，这有利于进行数值模拟。在现有的模型中，用有效应力 的强度函数控制本构模型屈服面的演化，这样便于用实验结果进行校核。一个简 单的同时满足热力学一致性标量退化模型被用来模拟裂缝在扩展和闭合过程中 弹性刚度的损伤和恢复效应。本文通过几个单调和循环荷载作用下的混凝土试件 数值模拟算例验证了该塑性损伤模型的适用性。 引言 研究裂缝发生和发展的模型是混凝土结构失效分析中最重要方面之一。 混凝土的裂缝发展有别于其他的材料，例如金属和玻璃。混凝土中

3、的裂缝不是突然出现在自由表面上，而是一个微裂缝的持续延伸和扩展过程(Mehta 和 Monteiro 1993)。微裂缝的形成宏观表现为材料的软化行为，并且引发了结构中的内力集中和重分布。 这个现象在宏观层面上可以用经典塑性力学模拟（Pramono 和 Willam 1989；Chen 1994） 。另外，微裂缝的扩展还引起了刚度退化，这可以从混凝土在循环荷载作用下的行为中观察得到(Karsan 和 Jirsa 1969;Gopalaratnam 和 Shah 1985)。刚度退化很难用经典塑性力学模拟。在连续损伤力学中，刚度退化可以用应力和有效应力之间的关系来模拟。Kachanov(1986

4、)、Lemaitre 和 Chaboche(1990)对连续损伤力学进行了综述。之后，一些基于连续损伤力学的混凝土本构模型也得以建立(Mazars 1986; Mazars 和 Pijaudier-Cabot 1989; Cervera et al. 1995)。但是，连续损伤力学理论中没有考虑非线性（也就是塑性）应力的影响，所以其并不能提供一个合适的剪胀性控制。 而剪胀性控制对于模拟多轴荷载受力下素混凝土和钢筋混凝土结构的行为是十分重要的。 在塑性损伤模型中，刚度退化被嵌入到了一个塑性模型中(Simo 和 Ju 1987；Ju1989；Lubliner et al 1989；Yazdani

5、和 Schreyer 1990)。在这耦合的弹塑性损伤模型中(Simo 和 Ju 1987；Ju1989)，有效应力的概念被用来描述刚度退化。这个宫婷，清华大学土木工程系宫婷，清华大学土木工程系 模型的优点是刚度退化最初就被耦合到本构关系中， 并且可以从线性方程式的塑性变形中解耦。但是正如其他基于连续损伤力学的模型一样，用实验数据来校准表征屈服面演化的参数是十分困难的，因为大多数实验数据是基于应力的。 在 Lubliner 和 coauthors(Lubliner 等 1989)提出的模型中(本文中指的是Barcelona 模型)，一个基于断裂能的标量损伤变量描述了所有的损伤类型。除了损伤变量

6、之外， 模型还分别引入了一个弹性和塑性的退化变量来模拟弹性刚度的退化。在本构关系中，刚度退化和塑性变形耦合在一起，使得用实验结果校核参数变得较为方便。但是，耦合的关系给出了一个较为复杂和不稳定的数值算法，使得在迭代计算时引起了伪塑性卸载(Lee 和 Fenves 1994)。 因为类准脆性材料在循环荷载作用下要经受多个损伤状态，例如受拉开裂、受压压溃和刚度退化，所以采用一个单一的损伤变量是不够的。可以采用多重硬化(损伤)变量(Murray 等 1979; Mazars 1986; Ohtani and Chen 1988; Mazars and Pijaudier-Cabot 1989)来解释

7、不同的损伤响应。各向同性连续损伤力学模型(Mazars 1986; Mazars and Pijaudier-Cabot 1989)采用多个损伤变量也不能描述损伤在拉伸和压缩作用下的不同结果， 因为损伤变量会使得两种作用最终有同样的损伤演化。 当循环荷载在拉、压之间变化时，可以在拉区向压区逐渐转化的过程中观察到退化的刚度重新恢复(Reinhardt 1984)。刚度的恢复是裂缝闭合的结果。基于各向同性和各向异性这两种损伤模型的研究， 一些用于模拟刚度恢复的模型也已经被提出(Ortiz 1985; Ju 1989; Cervera e 等. 1995; Hansen and Schreyer 1

8、995).。 本文使用基于断裂能损伤的概念建立了一个在循环荷载作用下的塑性损伤模型，这个模型类似于 Barcelona 模型。分别采用考虑拉、压损伤的两个损伤变量来解释不同的损伤状态。使用多重损伤（或硬化）变量对由 Lubliner 等人提出的屈服函数进行了修改。 单轴强度函数被分解为与有效应力和弹性刚度退化两部分，本文中将后者称为退化损伤。弹塑性响应的本构关系与退化损伤响应解耦。有效应力的强度函数被用来控制本构模型屈服面的演化， 这使得用实验结果进行校核变得简单易行。最后，引入一个简单的并满足热力学一致性的刚度恢复模型来模拟裂缝的扩展和闭合。在现有的方法中，尽管弹性损伤仍然是各向同性的，但塑

9、性损伤模型已提供了拉力和压力各自单独的演化， 并且通过塑性应变诱导方向性的损伤。 通过混凝土结构的数值算例与试验结果的对比分析可知， 本文建立的塑性损伤方法的适用性。目前模型的开发还局限于适用于混凝土材料微小变形理论。文中x?和lx?分别代表了矩阵 x 特征值矩阵和第 i 个特征值。 塑性损伤模型的框架 宫婷，清华大学土木工程系宫婷，清华大学土木工程系 研究者已经使用热力学的方法提出了塑性损伤和连续性损伤模型(Ju 1989; Hansen 和 Schreyer 1994)。本构关系由热力势函数推导而来，因此和热力学的相关公式相一致。在热力学的方法中，由于需要定义明确合理的势函数，并且需要优先

10、定义若干状态变量及其共轭的状态变量， 因此很难基于物理观察结果建立一个更适合类准脆性材料建模的本构关系，如混凝土本构关系。将塑形流动法则与混凝土模型相结合来估计混凝土的剪胀性时，结果不理想。本文建立的塑形损伤模型的本构方程是由一个更直接，但仍然满足热力学一致性的方法推导出的。对现有模型的热力学说明在附录 I 中给出。 在塑形增量理论中，应变张量分解为弹性应变张量e和塑形应变p，弹性应变张量与应力张量之间满足线弹性关系，应变张量公式如下： ep = +；:e-1 = E （1a,b） 其中弹性刚度E是一个四阶张量；：应力张量。在塑形损伤理论中，塑形应变代表了所有的不可逆变形，包括由微裂缝引起的部

11、分。从（1）式中可得，应力应变关系为： :p = E (- ) （2） 在连续损伤理论中，应力通过一个四阶张量D映射到有效应力中： : = D （3） 有效应力是由（2）式中的无损伤弹性刚度定义的，因此有效应力可表达为： :p 0 = E(- ) （4） 其中0E ：初始弹性刚度张量。在实际考虑中，各向同性的退化损伤是由多种假定得来的。若用一个标量型退化损伤参数 D（01D）来体现各向同性的损伤，则有 D=1/(1-D)I，其中 I 是一个四阶单位张量，因此由（3）式有： (1) ; (1):DD=p 0 E(- ) （5a,b） 通过对比（2）和（5）式，可得(1)D=0EE ，其中 D 代

12、表了弹性刚度的退化。 本文使用一个基于标量塑性势函数的流动法则来计算塑性应变率。对于有效应力空间中定义的塑性势函数，塑性应变由下式给出 p =()? （6） 其中?不是 Lame 常数的导数， 而是一个被称为塑性一致性参数的非负函数。 除了塑性应变之外，还需要另一个内部变量来描述损伤状态。在现有的模型中，假定是唯一必要的状态参量，它的变化表达式如下 宫婷，清华大学土木工程系宫婷，清华大学土木工程系 rH( (), =,)? ? （7） 其中 r 为一个 0 阶的应力齐次函数。由于刚度损伤变量(1-D)的使用，并且对任意正的标量 x 都有：( )()rr x=，H(r(),) = H(r(),)

13、?式（7）可变为： H()=,? （8） 正如接下来所述的一样，考虑塑性损耗后可以推导函数 H。 通过实测类准脆性材料， 我们观察到在应力空间有一个能够判别破坏或损失状态的曲面。这个曲面叫做屈服面，它在经典塑形力学中根据损伤参数或硬化参数而演化，而且限制了当前的容许应力。由于类准脆性材料中的受拉损伤和受压损伤具有较大的差别，因此不能采用一个参数来表征所有的损伤状态。为了反映混凝土在拉、压情况下的不同响应，需要采用一个多硬化参数（或多软化参数）的屈服函数，这个函数至少有 2 个参数来描述本构模型屈服面的演化。若两个状态参量 ft和 fc分别代表材料的单轴抗拉强度和抗压强度， 则屈服面应符合如下条

14、件： ,()0,tcFff?（9） 假设F?对三个参数而言都是一阶的齐次函数， 即对任意给定的正实数 x 都有,)(,()tctcxffxxfFFfx=?。 而且， 假设在应力空间中F?是一个各向同性的函数。这个屈服面函数将始终保持着各向同性， 尽管它的硬化行为导致了屈服面的扩张或收缩。 在现有模型中， （9）式中的单轴强度函数由两个损伤参数t和c表示。 (); ()tttcccffff= （10a,b） 假设（10）式都能被可以分解为退化损伤和有效应力响应两部分，则该式与（5）式形式相同，有： 1() (); 1()()tttttcccccfDffDf= （11a,b） 其中01,01tcD

15、D ，分别为拉力和压力的退化损伤响应。ft和 fc分别表示单轴拉伸和压缩应力函数的有效应力响应。因为 Dt（或 Dt）仅是 kt和 kc的函数，则（5）式中的退化损伤变量 D 可用于同时描述拉伸和压缩的退化响应，其中 D 可定义为： ( )1 (1)(1)tcDDDD= （12） 应当注意的是， （12）式中的 D 满足01D，且单轴拉伸情况下：Dc=0，D=Dt，单轴压缩情况下：Dt=0，D=Dc。因此，在单轴响应中，为不失一致性的结果， （11）式可采用： 宫婷，清华大学土木工程系宫婷，清华大学土木工程系 (1) ; (1)ttccfD ffD f= （13a,b） 由于F?是一个一阶的齐

16、次函数以及（12）式中 D 的定义，可将(5)式和（13）式中代入（9）式，可得到： ,()0,tcFff?（14） 通过引进新的向量函数(),()ttccffc = c() = c， （14）式中的屈服函数可改写为一个应力和损伤变量的函数()( ,),tcFFff=,?()0F, （15） 其中，F 也是一个具有多重硬化演化的各向同性一阶齐次标量函数。 有了上述理论框架上，可仅仅采用和描述现有的塑性损伤模型中的弹塑性响应，如下式： :)0(F|p 0 = E(- ), （16a） p =()? （16b） H()=,? （16c） 除了（16）式之外，利用 Kuhn-Tucker 的补充条件和塑性一致性条件可得到以下关系式，用作加载/卸载条件： 0; 0; 0FF=?