从数值解浅析热传导方程精确解级数项的选取

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1、http:/ -1- 图 1 几何形状和网格 从数值解浅析热传导方程精确解级数项的选取从数值解浅析热传导方程精确解级数项的选取 黄庆宏1，张敏2，许彬2 1 南京师范大学动力工程学院，江苏南京（210042） 2 南京理工大学动力工程学院，江苏南京（210094） 摘摘 要要： 用热传导方程的精确解检验数值求解过程的正确性是数值计算方法中一种重要的手 段。反之，用数值解来分析精确解的完整性也是一种有意义的方法。本文用基元有限容积法 和二阶迎风格式， 在结构化网格中数值求解热传导方程， 同时给出三个例子进行数值解和精 确解的比较， 以此来说明某些教科书中古典导热方程精确求解过程的不足， 并且分析

2、阐述两 者之间的内在辨证关系和它们的互补性。 关键词关键词：数值解，精确解，热传导方程 1. 引言引言 固体中的热传导问题是传热学领域中最古老、 最经典和最成熟的分支之一。 经过无数前人的努力， 对于导热方程在各种边界条件下的精确解形成了一套系统的求解方法， 这使得它们成为检验今天数值求解精确度的一块基石1-3。 随着数字化时代的到来， 数值计算传热过程日臻完善。 当今天用数值解来回顾古老的精确解时， 我们会发现一些有趣的现象， 并使我们对传热研究中这块完美的领域有一个更深刻的认识。本文基于这一点给出几个例子，以示之真4-5。 2. 基本导热方程基本导热方程 对一个标量物理变量，一般的稳态扩散

3、方程可写成 0)()(1=+ SxxFxxfii ii(1)其中，)(ixf和)(ixF是几何形状因子，S是单位体积中的净源项，是对应于变量 的扩散系数。根据方程(1)，在笛卡尔直角坐标系和圆柱坐标系中，导热方程分别为： 0TTTTkkkSxxyyzz+=(2)2110TTTTkrkkSrrrrzz+=(3)其中T为温度，k为导热系数。在结构化网格中，控制方程(2-3)的离散方程之间存在着不同的差异。 3. 算例算例 3.1 二维笛卡尔直角坐标系中复合边界条件的导热 问题二维笛卡尔直角坐标系中复合边界条件的导热 问题 图 1 给出了这个问题的几何描述。顶边和左边界为绝热边界条件， 底边温度 T

4、1已知， 右边界为第三类对流边界条件， z方向视为无穷大。常物性、无内热源的控制方程及边界条件如下： http:/ -2- 0= + yTkyxTkx(4)0)(00= += = =axxTTkh xT xT(5)010= =byyyTTT(6)其中(a = 1, b = 1)， 3, 1, 0, 11=hkTT (7)此问题的精确解7是： =+=122 1coscoshcos)(cosh12),(),(nnnnnnabxybHHaHTTTyxTyx (8)其中，n是如下超越方程的解： Hann=)tan( LL1,2,3n = (9)这里，H = h/k = 3。由于超越方程的根有无穷多个，

5、而对于问题精确解有贡献的是超越方程前面有限个根，在这里我们分别取超越方程的前 9 个和前 15 个根来计算精确解。方程（9）的前 15 个正根如表 1 所示。 表 1 方程Hann=)tan(的根 n 1 2 3 4 5 6 7 8 1.1925 3.8089 6.7040 9.7241 12.7967 15.8945 19.0061 22.1259 n 9 10 11 12 13 14 15 25.2510 34.6439 40.9139 44.0503 47.1874 69.1584 72.2981 （a）取 9 个根时 （b）取 15 个根时 数值解 精确解 图 2 精确解和数值解的比较

6、 数值计算采用 2020 均匀正交结构网格（见图 1） ，两种情况的计算结果分别如图 2 所示，其中实线为数值解（有限容积法） ，虚线表示精确解。当我们取超越方程的前 9 个根计算精确解时，得出的结果与数值解相比较，在底边高温区，精确解出现波浪型，和数值解之http:/ -3- 间有较大的不一致性。如果我们把求解根增加到 15 个时，这不一致性将大大减小。由此可得到这样的结论，满意的精确解至少要取到 15 个根以上。 3.2 二维圆柱坐标系中第二类边界条件的传热问题二维圆柱坐标系中第二类边界条件的传热问题 此问题为二维圆柱坐标系下的稳态导热问题，求解区域周向均匀，如图 1 所示（R=b，h=a

7、） ， 由于此问题的对称性， 我们取二分之一圆柱。 右边界的温度为 T1， 左边界为定温 T2=0。上边界和下边界为绝热。没有内热源，物性为常数。控制方程及边界条件，以及各参数选择如下： =+=21202222/0)0(0 ,001TTTTTTrrThzRrzT rT rrTRrhxx(10)其中， 0101121=TThR (11)这个问题的精确解8是： ( )( )( )( ) =rRJhRzRJTzrTmnmmmm00 100)0( 101sinhsinh)(2),(12)其中，)0( m为( )xJ0=0 的第 m 个正根。在计算时，我们分别采用了它的前 9 个和前 16个正根来计算精

8、确解（如表 2） 。 表 2 贝塞尔方程( )xJ0=0 的正根 m 1 2 3 4 5 6 7 8 （0） 2.4050 5.520 8.653 11.792 14.931 18.070 21.212 24.353 m 9 10 11 12 13 14 15 16 （0） 27.494 30.634 33.776 36.746 36.839 37.103 39.391 39.850 http:/ -4- （a）取 9 个根时 （b）取 16 个根时 数值解 精确解 图 3 数值解和精确解的比较 计算采用均匀正交网格（如图 1） ，计算结果如图 3 所示。从图 3 我们可以看出运用数值计算的方

9、法可以得出更精确的结果。 3.3 圆柱坐标系中第三类边界条件的传热问题圆柱坐标系中第三类边界条件的传热问题 此问题为二维圆柱坐标系下的稳态导热问题，无内热源，常物性。左边界温度为 T1，右边界为 T2， 在柱面上即 r=b 时， 为对流换热边界条件 （见图 1，x方向即为z方向， c = a） 。 222201210 00/0/, /r bZZ CTTTrbzcrr rz ThHTHrk TT TT=+= += = (13)2, 6=kh, 0,10, 1, 121=TTcb (14)该问题的精确解为9： ()() ()bJrJ czc HH bTzrTmmnmmm 001221 sinh)(

10、sinh2),(= += (15)其中，m为超越方程m()()bHJrJmm00=的正根，其前 12 个正根如表 3 所示。计算时分别取其前 7 个根和前 12 个根，其计算结果如图 4 所示。 表 3 方程m()()bHJrJmm00=的正根 m 1 2 3 4 5 6 1.78874.46347.410310.456613.5434 16.6499 m 7 8 9 10 11 12 19.767126.018732.282535.416941.6890 47.9640http:/ -5- （a）取 7 个根时 （b）取 12 个根时 图 4 数值解与精确解的比较 4. 比较结果与讨论比较结

11、果与讨论 通过上面三个算例计算分析， 我们可以看到数值解对于导热方程的精确解的求解过程有一定的指导意义。目前国内外，热传导和偏微分方程求解的教科书中，在求解解析解时，给出超越方程的根数十分少1，5-6，以致基本上达不到计算的精度。所以用数值解可以确定精确解取根的最佳数目。 如果我们用热力学第二定律熵TdQdS =来阐述上述现象的物理含义，可以认为在高温区，也就是熵值小的区域，椭圆方程的分析解更依赖于根的数量。在信息熵理论中，高温区正好是信息源，是一个敏感区域，超越方程根的个数对这一区域影响尤为明显。偏微分方程的精确求解过程在科学发展史上， 对我们理解和探索大千世界做出了巨大贡献。 随着计算机技

12、术的普及，数字化时代的到来，这种辉煌将让位于数值计算。 http:/ -6- 参考文献参考文献 1M. N. 奥齐西克 著, 俞昌铭 译. 热传导M. 北京：高等教育出版社, 1984. 2Carslaw, H.S. and Jaeger, J.C., Conduction of Heat in Solids. Oxford University Press, 1986. 3Myers, G E Analytical Methods in Conduction Heat Transfer, 2nd Edition, Amcht Publications, 1998. 4Zhang, M. Mo

13、deling of Radioactive Heat Transfer and Diffusion Processes Using Unstructured Grid. Ph.D. Dissertation, 2000, Tennessee Technological University, USA. 5Chai, J. C., Zhang, M., Moder, J. P., and Patankar, S. V., 2001, “Conduction Heat Transfer Calculations Using Structured and Unstructured Grids,“ I

14、CHMT Symposium CHT01 - Advances in Numerical Heat Transfer, Vol. 1, pp. 519 - 526. (Palm Cove, Cairns, Queens land, Australia.) 6Patankar, S. V., Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. New York, Hemisphere Publishing, 1981. 7Kakac, S. and Yener, Y. Heat ConductionM. Third Edition, Taylor & Francis, Publisher, 1993. 8东南大学数学系. 数学物理方程和特殊函数M. 北京：高等教育出版社, 2004. 9Ozisik, M.N., Boundary Value Problems of Heat Conduction (Dover Phoenix Editions). Dover Publications, 2002. Analyzing Exact Solutions of Heat Conduction Equation by Compa