粘性流体动力学基础

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1、第十章 粘性流体动力学基础 本章概述:粘性是流体的重要属性之一，自然界中存在的流 体都具有粘性。理论和实验表明，对于气体绕物体的流动，粘 性影响主要在靠近物体表面的薄层内（称为附面层）。这样求 解粘性流动的问题，可以通过求解粘性流动的基本方程，也可 以求解附面层内的流动。因此研究附面层的目的，一方面是解 决计算气流绕物体的摩擦阻力，而另一方面是估算物体上各点 的热流量。从而寻求减小摩擦阻力，减轻气动加热的途径，采 取必要的设计措施。本章首先讨论粘性流动的基本方程，由于连续方程并不涉及到 粘性问题，因此本章主要讨论动量方程和能量方程，然后导出 湍流流动的雷诺方程，最后讨论附面层基本知识。本章内容

2、构 成了粘性流体流动的基本知识。 10.1微分形式的动量方程（N-S） 10.2微分形式的能量方程 10.3 初始条件和边界条件 10.4 雷诺方程和雷诺应力 10.5附面层基本知识 10.6附面层微分方程 10.7附面层积分方程 10.1微分形式的动量方程（N-S）图10.1动量方程推导用图 与第八章分析质量守恒方法类似，我们可以针对微元控制体图 10.1,列出动量方程F= V ) ( Vi)out ( Vi)in （10.1 ） 同样，由于控制体为微元体，所以上式积分可以近似为V ) V)dxdydz （10.2） （10.3 ）动量流量发生在六个面上，三个流入三个流出.F= V) VxV

3、) VyV)+ VzV) dxdydz 上式为矢量方程，右边中括号内可以改写成V) VxV) VyV)+ VzV) =V + V)+ （10.4 ）根据连续方程上式中右边中括号内为零，第二大项括号内为 加速度，因此方程（10.3） 可以写为F= （10.5） （10.6） 上式说明，微元控制体内流体的加速度乘以控制体内流体的质 量，等于控制体所受的合外力。控制体所受的外力有两大类， 质量力和表面力。质量力是在某种外部场的作用下使得所有流 体质量受到的力，如重力、离心力、电磁力等等。表面力是由 于控制面上应力的作用而产生的力，这些应力包括压强p和流体 运动而产生的粘性应力 ,其中压强的作用方向垂

4、直指向控制面 。表示在与i轴垂直的面上j方向的应力。 下面来分析控制体所受表面力的合力。为了简单起见，以x方 向为例。图10.2给出了六个面上x方向应力作用的表面力。图10.2分析控制体所受表面力 将这些力进行矢量和可得出微元控制体所受表面力在x方向的 分量为 （10.7） 将式（10.6）的第一行代入，两边同除以 得（10.8 a ） 同理可以得出y，z方向的合力 （10.8 b ） （10.8 c ） 将上式写成矢量形式为 （10.9） 上式右边第二项为粘性力项，由九个分量组成（10.10） 式（10.10）还可以简写成如下的散度形式（10.11） 式中 （10.12） 称为粘性应力张量，

5、 为对称张量，即 ，当 时 ，因此该张量有6个独立分量。表面力的合力包含压强梯度和 粘性应力散度两部分。将(10.11 ) ，(10.9) ，代入（10.5） 最后 得出对于无限小微元体的微分形式动量方程（10.13 ） 式中 为单位体积所受的质量力用文字表示该方程的物理意义为单位体积所受的质量力单位体积所受的压力单位体积所受的粘性力密度加速度 （10.14 ） 将方程（10.13）写成分量式为（10.15a ） （10.15b ） （10.15c ） 对于无粘流动 因此方程（10.13） 变成（10.16) 式（10.16）即为描述理想流动的欧拉方程(Eulers equation)。对于牛

6、顿流体，粘性应力与流体的变形以及粘性系数成正 比，具体关系为 V)V)V)（10.17） 式(3.118 ) 又称为广义牛顿内摩擦定律。将(3.118 ) 代入到 (3.116 ) 可得出= V) （10.18 a ） = V) （10.18 b ） = V) （10.18 c ） 式（10.18）即为描述牛顿粘性流体运动的微分方程式，又称为 纳维尔斯托克斯（Navier-Stokes）方程，简称N-S方程。它是 由C.L.M.H.Navier(1785-1836) 和Sir George G. Stokes(1819- 1903)分别独立导出的，方程即以他们的名字联合命名。 该方程可以写成矢

7、量形式，并用 代替（10.19） 对于不可压流动，上式为 （10.20） 式中 称为运动学粘性系数。N-S方程为二阶非线性偏微分方程组。在一般情况下，从数 学上精确求解此方程是不可能的。但是对于一些简单的流动 ，如平行平板的定常层流流动、圆管内的定常层流流动等是 可以得到精确解的，而且这些精确解与实验结果完全一致。 10.2微分形式的能量方程类似于3.8节，由式（3.72）同样可以针对微元控制体列出能 量方程(Vn)dA (10.21)因为在微元控制体中没有轴功，所以 。采用与导出式 （10.3）完全相同的方法，可以得出(10.22 ) 式中 .类似于式（10.4）,考虑到连续方程，上式成为(

8、10.23 ) 传热量 可以分为两大类，一类是由于热传导对微元控制体 的传热，另一类是辐射、化学反应等其它形式的热量传递。 用来表示第二种形式对控制体内单位质量流体的传热量。 下面推导由于热传导而产生的传热量，根据傅立叶热传导定律 有 其中k为导热系数，与分析质量流率和动量流率相同，我们可 以得出6个面上由于热传导而产生的热流率,将6个面上的热流 量代数求和得出 q dxdydz (10.24) 将傅立叶热传导定律代入上式得出(10.25) 粘性应力做功率等于粘性应力分量、相应的速度分量和相应 的面积三项的乘积，见图10.3，与x轴垂直的左侧面上粘性应 力做功率为其中 (10.26) 图10.

9、3分析粘性应力做功率 与上述分析质量流量、动量流量和热流量完全相同可以得出 ，在与x轴垂直的两个面上粘性应力的做功率为同理可以得出另外两个方向上的功率，因此总的粘性应力做功 率应为V (10.27) 将式(10.27)、(10.25) 代入到(10.23) 便得到微分形式的能量方程V V (10.28) 其中上式中粘性力做功项还可以分解为 V V (10.29) 其中 为粘性耗散函数，对于牛顿不可压流体，该耗散函数为 通过上式可以看出 0，也就是说耗散项永远是正的，即粘 性应力所做的功总是消耗机械能，使流体的内能增加。 将式(10.29) 代入到(10.28) 中，并采用（10.13）消去 ，

10、 得到内能形式的能量方程V (10.31) 根据连续方程有 V (10.32) 它表示单位时间内单位体积流体在压强p的作用下所作的膨胀 （或压缩）功。对于完全气体，由热力学公式 (10.33) (10.34) 因此可以将式(10.31) 写成熵或焓的形式(10.35) (10.36) 注意到 ， ， (10.37) 式(10.31) 和式(10.36) 又可以写成用温度表示的能量方程V (10.38) (10.39) 10.3 初始条件和边界条件 通过上边的推导，我们得出了描述牛顿流体运动的微分方程 组，共5个方程，包括连续方程（1个），动量方程（3个）， 能量方程（1个），而未知量有6个 （

11、以直 角坐标为例，柱坐标结果一样），因此方程并不封闭，所以 还要补充一个热力学的关系式即，完全气体状态方程(10.40) 这样包括状态方程在内，基本方程组共有6个方程，构成封闭 的方程组。但是要得到具体的解还要给定相应的初始和边界条 件，这些条件统称为定解条件。（一）初始条件 在初始时刻，方程组的解应该等于该时刻给定的函数值。在 数学上可以表示为 在V (x, y, z, t0) = V0 (x, y, z)p (x, y, z, t0) = p0 (x, y, z)(x, y, z, t0) = 0(x, y, z)T(x, y, z, t0) = T0 (x, y, z) (10.41)

12、式中V0 (x, y, z) ，p0 (x, y, z) ，0(x, y, z) ，T0 (x, y, z) 均为时刻的 已知函数。 （二）边界条件 在运动流体的边界上，方程组的解所应满足的条件称为边界 条件。边界条件随具体问题而定，一般来讲可能有以下几种 情况：固体壁面（包括可渗透壁面）上的边界条件；不同流 体的分界面（包括自由液面、气液界面、液液界面）上的边 界条件；无限远或管道进出口处的边界条件等。对于不可渗漏的固体边界速度为无滑移条件、温度为无突跃 条件，即Vfluid = Vwall， Tfluid = Twall (10.42) 如果固体边界为可渗漏，则边界条件要根据具体情况来确定

13、 。对于所有的流动进出口截面，应给出每时刻截面上速度、压 力和温度的分布。对于流体绕流物体的问题，进出口边界变 成了无穷远边界，应给出无穷远边界条件。10.4 雷诺方程和雷诺应力从对湍流的研究可知，湍流运动中任何物理量都随时间和空 间不断的变化，所以要想用方程求解这种运动的瞬时速度是 非常困难的。研究表明，虽然湍流运动十分复杂，但是它仍 然遵循连续介质运动的特征和一般力学规律，因此，雷诺提 出用时均值概念来研究湍流运动的方法，导出了以时间平均 速度场为基础的雷诺时均NS方程。雷诺从不可压缩流体的NS方程导出湍流平均运动方程（后 人称此为雷诺方程）并引出雷诺应力的概念。之后，人们引 用时均值概念导出湍流基本方程，使湍流运动的理论分析得 到了很大的发展。 10.4.1常用的时均运算关系式 设A、B、C为湍流中物理量的瞬时值， 为物理量的时 均值， 为物理量的脉动值，则具有以下的时均运算 规律。（1）时均量的时均值