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1、土木工程学院有限单元法有限单元法P-1/58有限单元法有限单元法(The Finite Element Method )工业与民用建筑工程专业本科生郭玉荣 2012年秋土木工程学院有限单元法有限单元法P-2/58第二章 连续梁结构的有限单元法第二章 连续梁结构的有限单元法2-1 有限单元法原理及解题步骤2-2 平面杆件单元刚度矩阵2-3 矩阵位移法分析连续梁结构2-4 连续梁结构内力分析程序设计土木工程学院有限单元法有限单元法P-3/582-1 有限单元法原理及解题步骤有限单元法原理及解题步骤有限单元法有限单元法是近似求解一般连续域问题的数值方 法 , 它最先应用于结构的应力分析，1960年由
2、 R.W.Clough命名。用有限单元法来求解杆件结构问 题时，又称为杆系有限元法杆系有限元法。由于它与矩阵运算和 计算机紧密相关，故又称它为结构矩阵分析结构矩阵分析或结构 分析的计算机方法。结构矩阵分析有两种平行于经 典结构力学中力法和位移法的基本方法，结构矩阵 分析中的力法常称为柔度法或矩阵力法；结构矩阵 分析中的位移法称为刚度法或矩阵位移法矩阵位移法。与一般 连续域问题有限单元法不同，用杆系有限元法求解 所获得的解答是精确的。土木工程学院有限单元法有限单元法P-4/58有限单元法是把分析的结构物假想地看作是由有 限个单元组合而成的组合体。杆件结构是由有限个 梁 、柱杆件结合成的平面或空间
3、结构，因此把每个梁 和柱取作一个单元是很自然的。 如图所示平面刚架结构, 它是由两根梁(单元 ,) 和三根柱(单元,)通过结点刚性联结而成 。结构矩阵分析方法的基本思 路：先把结构拆成有限个独 立的单元(杆件)，再将这些 单元按一定原则组合成原来 的整体结构，在 “一分一合, 拆了再搭” 的过程中使问题 得到解答。土木工程学院有限单元法有限单元法P-5/58Pmij(e)mi j jvju(e)p4lh 深梁深梁 lqmij(e)mi j jvju(e)土木工程学院有限单元法有限单元法P-6/58编制结构分析程序时，首先必须选择一个适合 于分析对象的功能较好的分析方法。这种方法应能 满足如下要
4、求： 1. 所需原始数据少，且简单、统一； 2. 通用性强； 3. 计算速度快，占用计算机存储容量相对较小； 4. 程序编制不太复杂，结构化功能强, 且维护性、 扩展性好。 矩阵位移法中的直接刚度法便是这样一种能满 足上述要求的方法，因而被广泛应用于杆件结构分 析的计算机程序中。土木工程学院有限单元法有限单元法P-7/58直接刚度法与结构力学传统方法中的位移法并 无本质差别， 主 要是前者引进了矩阵这一适合于计 算机运算的数学工具。超静定梁位 移 法位 移 法直接刚度法直接刚度法土木工程学院有限单元法有限单元法P-8/58位 移 法位 移 法直接刚度法直接刚度法位移法基本结构单元划分以及单元和
5、结点编号基本未知数: Z1, Z2可动结点位移列阵: 转角位移竖向位移22 =V单跨超静定梁转角位移方程: 单元刚度方程: 下标A、B分别表示单跨超 静定梁左、右两端的编号， 为杆端转角，为旋转角形成单元刚度矩阵(不考虑轴向 变形) F ABABBAABMiM+=)32(2F BAABABBAMiM+=)32(2 eeeKF=(1)(2)土木工程学院有限单元法有限单元法P-9/58= 81241212241224412812122412242222)1(iLiiLiLi Li Li LiiLiiLiLi Li Li LiK= 464661261246466126122222)2(iLiiLiL
6、i Li Li LiiLiiLiLi Li Li LiK由转角位移方程求出的杆 端弯矩: F ACACACMiiZM+=1242F CAACCAMiiZM+=1282F CBCBCBMiiZM+=642F BCCBBCMiiZM+=622LEIi =LZ LZCBCA11=式中：土木工程学院有限单元法有限单元法P-10/58计算固端力: 形成与结点位移相对应的综合结 点荷载列阵: = + = =0 121222 22 22qL qLqLqLqLPPQMQ2122122122122222qLQqLMqLQqLMqLQqLMqLQqLMF BCF BCF CBF CBF CAF CAF ACF A
7、C=(3)土木工程学院有限单元法有限单元法P-11/58按平衡条件建立位移法 典型方程: 0=+=CBCACMMM0=CBCACQQQ按先处理法形成结构刚度方程: 得: 012611=+ZZLiqL LZZL=+2 12636= +04861261212242222qLViiLi LiLi Li Li Li= 0186636222qLViLiLi Li整理得: 解方程求基本未知数: EIqLZ3341=EIqLZ6632=解方程求可动结点独立位移分量: = =EIqLEIqL V6633 3422(4)(5)土木工程学院有限单元法有限单元法P-12/58(6)将Z1、Z2代入步骤(2) 求最后
8、杆端弯矩，再 由平衡条件求杆端剪 力。由结点位移 及约束条件 形成单元杆端位移: T 222T 2210000=VV）（）（将其代入单元刚度方程并加上 固端力即得最后杆端力Fe由计算机程序控制实现的，求解杆件结构的直接刚 度法解题步骤与上表所列基本相同，只是表述方式 改用有限单元法中的一些常用术语。土木工程学院有限单元法有限单元法P-13/58第一步第一步：离散离散。将结构划分成若干单元单元；其计算简 图为由若干根两端固定梁拼装成的组合体（杆件之 间在其结点刚结）。 第二步第二步：单元分析单元分析。取出其中一个或几个典型单元 加以研究，获得其单元刚度矩阵。 第三步第三步：整体分析整体分析。如何
9、将离散的单元装配成整体 结构。根据各单元在结构中的固定位置和某些条件 将其集合成总体刚度矩阵(又称结构刚度矩阵，简称 总刚)；根据荷载情况形成综合结点荷载列向量，从 而获得求解结点位移的、类似于位移法典型方程的 线性方程组结构刚度方程: PK=K结构的总体刚度矩阵; 结点独立位移分量列阵; P作用于结点上的综合结点荷载 列阵。土木工程学院有限单元法有限单元法P-14/58从上式求解出各结点的位移分量后，根据 单元刚度矩阵、结点位移与杆端位移的对应关 系以及单元的荷载情况，便可计算出每一单元 两端的杆端力和任意截面上的内力。 这与结构力学中基本结构与原结构保持一 致的道理一致。力法：原结构 基本
10、结构 位移条件 位移法：原结构 基本结构 平衡条件土木工程学院有限单元法有限单元法P-15/58有限元法则一般要同时考虑这些因素，即所谓的解 题三条件解 题三条件： 1. 静力平衡条件静力平衡条件：各单元结点力应与汇交结点的外力 平衡。 2. 几何条件几何条件：各单元在同一结点上产生的位移应协调 一致。 3. 物理条件物理条件：单元结点位移与结点力关系（应力、应 变等） 据此便可获得与原结构情形相同的解答。 龙驭球院士曰：有限单元法的解题过程可归纳为四个 字：先分后合先分后合。 分即离散单元分析 合装 配 整体分析 使问题在一分一合的过程中得到解决。 杆系结构是由若杆根杆件组成的，结构力学中的
11、位 移法实际上就是一个离散和装配的过程，只是未象有限 元中一样明显提出。土木工程学院有限单元法有限单元法P-16/58输入原始数据 CAI (前处理) 形成右端项(荷载矩阵) 形成整体刚度阵引入支承条件解方程、求基本未知量求单元力：内力应力计算结果输出(后处理) END 计算固端力单元定位向量单刚坐标变换直接刚度法作结构静力分析的程序总框图直接刚度法作结构静力分析的程序总框图图 2-3 矩阵位移法静力 分析总框图土木工程学院有限单元法有限单元法P-17/582-2 平面杆件单元刚度矩阵平面杆件单元刚度矩阵一、单元刚度矩阵的推导一、单元刚度矩阵的推导单元刚度矩阵的作用单元刚度矩阵的作用：建立起单
12、元结点力与结点位 移之间的关系，用于装配结构的整体刚度矩阵和计 算单元杆端力 。如一根杆件的杆端位移是已知的，那么我们便可 根据该杆的弹性性质, 求出产生该位移所需要的杆 端力 。使j 端产生转角j所需要的力偶是：jjLEIM*)/4(=土木工程学院有限单元法有限单元法P-18/58杆件结构单元刚度矩阵的作用杆件结构单元刚度矩阵的作用:建立每根杆件的杆端力 与杆端位移之间的关系，常称为单元刚度方程。用矩阵 形式表示: eeeKF=Fe单元e的杆端力列向量; Ke单元e的刚度矩阵; e单元e的杆端位移列向量。 杆端力列阵: 杆端位移列阵为:T jjjiiievuvu =T jjjiiieM V
13、N M VNF =土木工程学院有限单元法有限单元法P-19/58 =460 260 120 6120 0 0 460 120 2232323lEI lEI lEI lEIlEI lEI lEIlEA lEAlEI lEIsymmetriclEIlEAKe单元刚度矩阵Ke为一对称的66阶方阵E弹性模量; A杆件横截面积; I杆件截面惯性矩; L单元长度土木工程学院有限单元法有限单元法P-20/58推导上述单元刚度矩阵Ke的方法很多，从结构力学中的转 角位移方程出发，即可推导出上述单刚。把杆端位移和单元 刚度矩阵相乘，得到对照结构力学中的等截面直杆单跨超静定梁转角位移方程等截面直杆单跨超静定梁转角
14、位移方程二者是一致的，即杆件结 构的单元刚度方程可由力 法获得土木工程学院有限单元法有限单元法P-21/58单刚中的每一列元素对应于当单元两端固定仅沿 该列所对应的位移分量方向发生一单位位移时所产生 的当单元两端固定仅沿 该列所对应的位移分量方向发生一单位位移时所产生 的6个杆端力个杆端力。如单刚中第二列元素便对应于下图所 示杆端力。所以单刚中的元素被称为刚度系数刚度系数。必须指出，单刚中元素的正负号和排列顺序与坐标方 向的选取和杆端位移列向量的排列顺序有关。土木工程学院有限单元法有限单元法P-22/58二、单元刚度矩阵的特性二、单元刚度矩阵的特性1.对称性对称性单元刚度矩阵Ke是一对称矩阵，即单刚中的 元素具有如下性质：kij=kji根据弹性结构互等定理中的反力互等定理得 到。即，由第j个单位位移分量引起的第i个杆端力 分量等于等于由第i个单位位移分量引起的第j个杆端力 分量2. 奇异性奇异性单元刚度矩阵Ke是一奇异矩阵，即单刚的行 列式等于零： 0Ke=土木工程学院有限单元法有限单元法P-23/58Ke不存在逆矩阵。即，如果给定了结点位移 e，由式Fe=K e e可以得出杆端力Fe的唯 一解。但是，它的逆转换是不存在的，即如果给定了 杆端力Fe，则不能得出结点位移e的唯一解。如 图所示，端点i、j的位移一经给定，则杆端力也跟着 确定了。但如果只给定了杆端力，则结点位移并
