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1、导导数的基本公式与运算法则数的基本公式与运算法则基基本初等函数的导数公式本初等函数的导数公式(x ) = x - -1 . (ax) = ax lna .(ex) = ex.0 (cc为任意常数).ln1)(logaxxa .1)(lnxx (sin x) = cos x.(cos x) = sin x.(tan x) = = sec2x .(cot x) = = - - csc2x . (sec x) = = sec x tan x .(csc x) = = - - csc x cot x ., 11)(arcsin 2xx 另外还有反三角函数的导数公式：另外还有反三角函数的导数公式：, 1
2、1)(arccos 2xx ,11)(arctan2xx .11)cotarc(2xx 定理定理2.2. 1 设函数设函数 u(x)、v x 在在 x 处可导处可导，)0)()()( xuxuxv在在 x 处也可导，处也可导，(u(x) v(x) = u (x) v (x);(u(x)v(x) = u(x)v (x) + + u (x)v(x);.)()()()()( )()(2xuxvxuxvxu xuxv 导导数的四则运算数的四则运算导导数的四则运算数的四则运算且且则它们的和则它们的和、差差、积与商积与商推论推论 1 (cu(x) = cu (x) (c 为常数为常数).推论推论 2.)(
3、)( )(12xuxu xu ()uvwu vwuv wuvw乘法法则的推广：乘法法则的推广：补充例题：补充例题： 求下列函数的导数：求下列函数的导数：解 解 根据推论根据推论 1 可得可得 (3x4) = 3(x4) ， (5cos x) = 5(cos x) ，(cos x) = - - sin x，(ex) = ex， (1) = 0，故故f (x) = (3x4 ex + 5cos x 1) = (3x4) ( (ex ) ) + (5cos x) (1) = 12x3 ex 5sin x .f (0) = (12x3 ex 5sin x)|x=0 = 1又又(x4) = 4x3，例例
4、 1 设 设 f (x) = 3x4 ex + 5cos x - - 1，求，求 f (x) 及及 f (0). 例例 2 设 设 y = xlnx ， 求求 y .解解 根据乘法公式，有 根据乘法公式，有y = (xlnx) = x (lnx) (x) lnxxxxln11 .ln1x 解解 根据除法公式，有 根据除法公式，有22222)1()1()1()1)(1( 11 xxxxx xxy例例 3 设 设,112 xxy求求 y .2222)1()1()1()()1()(1( xxxxx.)1(12 )1()1(2)1(222222 xxx xxxx教材教材P32 P32 例例2 2 求下
5、列函数的导数：求下列函数的导数： 3(1)cosyxx2(2)xyx e2(3)1xyx32(4)23 sinyxxxe解：解： 332(1)(cos )() (cos )3sinyxxxxxx2222(2)()()()2(2)xxxxxxyx exex exex exxe22222(1)(1)(3)()1(1)xxxxxyxx2221( 2 ) (1)xxx x222)1 (1 xx 32(4)(2) (3 sin ) ()yxxxe0)sin(3)(23xxx)cos(sin362xxxx高阶导数高阶导数 高阶导数高阶导数如果可以对函数如果可以对函数 f(x) 的导函数的导函数 f (x)
6、 再求导，再求导，所得到的一个新函数，所得到的一个新函数， 称为函数称为函数 y = f(x) 的二阶导数，的二阶导数，.dd22xy记作记作 f (x) 或或 y 或或 如对二阶导数再求导，则 如对二阶导数再求导，则称三阶导数，称三阶导数，.dd33xy记作记作 f (x) 或或 四阶或四阶以上导 四阶或四阶以上导数记为数记为 y(4)，y(5)， ，y(n),dd44xy,ddnnxy或或 ， 而 把 而 把 f (x) 称为称为 f (x) 的一阶导数的一阶导数.例例3 3 求下列函数的二阶导数求下列函数的二阶导数 (1)cosyxx(2)arctanyx(1)cos( sin )cos
7、sinyxxxxxxxxxxxxxycossin2)cos(sinsin“21(2)1yx222)1 ()1 (“xxy22)1 (2 xx 解：解：二阶以上的导数可利用后面的数学软件二阶以上的导数可利用后面的数学软件来计算来计算 2.2.4 复合函数的求导法则2.2 ( )( )( ( )( )( )dydy du dxdu dx dyfuu xduu xxyf uuyf u xxx定理若函数在点 可导，函数 在点 处可导，则复合函数在点 可导，且或记作：推论推论 设设 y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均均可导可导，则复合函数则复合函数 y = f ( (x) 也可
8、导也可导，.xvuxvuyy 以上法则说明：复合函数对自变量的导数等于复合以上法则说明：复合函数对自变量的导数等于复合 函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数. .23tan4.1(31) ; 2)sin(2); 3)lncos ;4);5)2xxyxyxyxyey例 求下列函数的导数：）32322222222(1)( ), ( )31,( )3( )( )3(31)(31)3(31)618 (31)yux u xxyuxuxu xxxxxxx解： 函数可以分解为(2)2cos(2) (2) 1cos(2)2cos(2) 2xyxxxxx
9、x把当作中间变量，(3)cos 1sin(cos )tancoscosx xyxxxx 把当作中间变量，tantan2tan(4)tan()(tan )secxxxxyeexxe把当作中间变量，(5)(2 )2 ln2 ()2 ln2xxxxyx 把当作中间变量，先将要求导的函数分解成基本初等函数先将要求导的函数分解成基本初等函数,或或 常数与基本初等函数的和、差、积、商常数与基本初等函数的和、差、积、商.任何初等函数的导数都可以按常数和基本任何初等函数的导数都可以按常数和基本 初等函数的求导公式和上述复合函数的求导初等函数的求导公式和上述复合函数的求导 法则求出法则求出.复合函数求导的关键复
10、合函数求导的关键: 正确分解初等函数正确分解初等函数 的复合结构的复合结构.求导方法小结：求导方法小结：2 3221( 1) ; (2)cos3 (3)32 4 lgcos(32)xyxyyxxx 练习：求下列函数的导数(课堂练习)（）；（ ）22222 22 22(1) 6 ( 1)(2) 3 ln3 sin323(3) 232cos(32)sin(32)(4) (32)4 tan(32)cos(32)cos(32)xxyxxyxy xxxxyxxxxx 解:例例5 5：求下列函数的导数：求下列函数的导数（1） （2）（3） （4）2cosxy 232xxeyxylnlnln)1ln(2xx
11、y2.2.5 隐函数的导数00( )yxF xyF xyyy x与 的关系由方程（ ， ） 确定，未解出因变量的方程（ ， ）= 所确定的函数称为隐函数6( )1.ydyyy xyxedx 例 设函数由方程所确定，求(1) (),()(1) 1yyyyyyyyyxyxeyexeex eyxeyeeyxe解：上式两边对 求导，则有 即1;2.xyyy隐函数的求导步骤：（）方程两边对 求导，求导过程中把 视为中间变量，得到一个含有 的等式（ ）从所得等式中解出227( )cos().dyyy xyxyxdx例 设函数由方程所确定，求222222222222222222 sin() ()1 sin(
12、) (22)1 2 sin()2 sin()12 sin() 1 2 sin()1 2 sin()12 sin()xxyxyxyyxyxyyyxxyyxyyyxyyxxyxxyyyxy 解：方程两边分别对 求导，得2( )2.dyyy xxyyxdx练习：设函数由方程所确定，求2() ()2 22 (2 )2 22xxyy yx yy y xyyy yyxy 解：两边分别对 求导，得二元函数的偏导数的求法二元函数的偏导数的求法求 对自变量 (或 )的偏导数时,只须将另一 自变量 (或 )看作常数,直接利用一元函数求导公式和 四则运算法则进行计算.),(yxfz xyyx例例1 1 设函数设函数324( , )23,f x yxx yy求求( , ),xfx y( , ),yfx y(1,1),xf(1, 1),yf解：解：xyxyyxxyxfxx43)32(),(242332423122)32(),(yxyyxxyxfyy 111413) 1 , 1 (2xf14) 1(1212) 1, 1 (32yf例例2 2 设函数设函数 求),ln()(2222yxyxzxz yz 解：解： xxyxyxyxyxxz
