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1、1 高等数学高等数学 高中公式高中公式 三角函数公式三角函数公式 和差角公式和差角公式 和差化积公式和差化积公式 sin()sincoscossincos()coscossinsin()11()tgtgtgtgtgctgctgctgctgctgsinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos-2sinsin22积化和差公式积化和差公式 倍角公式倍角公式 1sin cossin() sin() 21cos sinsin() sin() 21cos coscos() cos() 21sin sincos() cos() 22222 22 222
2、33322tansin22sincos1 tan cos22cos1 1 2sin1 tancossin1 tan 212 212sin33sin4sincos34cos3cos331 3tgctgtgctgtgctgtgtgtgtg 半角公式半角公式 1 cos1 cossin cos22221 cos1 cossin21 cossin1 cos1 cos1 cossin21 cossin1 costgctg 11V=SH V=SH V=H(S+S )33SS棱柱棱锥棱台球的表面积：4R2 球的体积：34 3R椭圆面积：ab 椭球的体积：4 3abc第第 1 章章 极限与连续极限与连续 1.
3、1 集合、映射、函数集合、映射、函数 空集，子集，有限集，无限集，可列集，积集，区间，邻域，上界，下界， 上有界集，下有界集，无界集，上确界，下确界 确界存在定理：凡有上(下)界的非空数集必有有限的上(下)确界。 映射，象，原象，定义域，值域，满映射，单映射，双射，函数，自变量， 因变量，基本初等函数 1.2 数列的极限数列的极限 性质： 1. （唯一性）收敛数列的极限必唯一。 2. （有界性）收敛数列必为有界数列。 3. （子列不变性）若数列收敛于 a，则其任何子列也收敛于 a。 注1. 一个数列有若干子列收敛且收敛于一个数， 仍不能保证原数列收敛。 注2. 若数列xn有两个子列xp,xq均
4、收敛于 a，且这两个子列合起来 就是原数列，则原数列也收敛于 a。 注3. 性质 3 提供了证明了某数列发散的方法，即用其逆否命题：若能从 该数列中选出两个具有不同极限的子列，则该数列必发散。 4. （对有限变动的不变性）若数列xn收敛于 a，则改变xn中的有限项所 得到的新数列仍收敛于 a。 5. （保序性）若lim,limnnnnxayb ，且 aN 时，有xnN 时，xnynzn，且lim nxn=lim nzn=a, 则lim nyn=a。 2.单调收敛原理：单调有界数列必收敛。 注：任何有界的数列必存在收敛的子数列。 3.柯西收敛准则：数列xn收敛的充要条件是：对于任意给定的正数 ，
5、都存 在正整数 N ，使得当 m，nN 时，有|xm-xn|0, 0, x,x 0(, )oU x,有|f(x)-f(x)|0() f(x1)+(1-) f(x2), (0,1). 3. f(x0)()0. 若函数 f(x)在点 x0处凹凸性相反，则点 x0称为 f(x)的拐点。 拐点的必要条件：f(x0)=0 或 f(x0)不存在。 拐点的充要条件：f(x)经过时变号。 渐近线：1.垂直渐近线：x=a 是垂直渐近线 0lim xa 或 0lim xa . 3 2.斜渐近线：f(x)=ax+b,( )lim,lim( ( ) xxf xabf xaxx或 ( )lim,lim( ( ) xxf
6、 xabf xaxx（水平渐近线为其特例） 。 函数作图的步骤： 1. 确定函数的定义域； 2. 观察函数的某些特性，奇偶性，周期性等； 3. 判断函数是否有渐近线，如有，求出渐近线； 4. 确定函数的单调区间，极值，凹凸区间，拐点，并列表； 5. 适当确定一些特殊点的函数值； 6. 根据上面提供的数据，作图。 第第 4 章章 积分积分 4.1 不定积分不定积分 4.1.1.基本积分表基本积分表 1111ln|1lnsincoscossintanln|cos |cotln|sin |secln|sectan |cscln|csccotln|csccotln|tanxxx dxxCdxxCa d
7、xaCxaxdxxCxdxxCxdxxCxdxxCxdxxxCxxdxxxCxxC 2222|2sectancsccottan secseccsc cotcsc1arcsinarccos 1 1arctanarccot1CxdxxCxdxxCxxdxxCxxdxxCdxxCxC xdxxCxCx 或或222222 222222 22222 22222222111arctanarcsin111ln|ln|2111ln|ln()2arcsin222xxdxCdxCaxaaaax axdxCdxxxaCaxaaxxa xadxCdxxxaCxaaxaxaxaxax dxaxCa xxa dxxa 2
8、 222 2222222222ln2ln()22cos( cossin)sin( sincos)ax axax axaxxaCxaxa dxxaxxaCeebxdxabxbbxCab eebxdxabxbbxCab不可积的几个初等函数：2221sincossincoslnxxxexxxxx4.1.2.换元积分法和分部积分法换元积分法和分部积分法 换元积分法： 1.第一类换元积分法，即凑微分法，合并。 2.第二类换元积分法，拆分。 分部积分法：( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v x dxu x v xu x v x dx4.1.3.有理函数和可化为有理函数的积分有理函数和可化为
9、有理函数的积分 有理函数有理函数( )( )( )P xR xQ x的积分可以归结为下列四种简单分式的积分： （1）Adxxa； （2）A()ndxxa； （3） 2Mx+Ndxxpxq； （4） 2Mx+N ()ndxxpxq12222212123()2(1) ()2(1)nnnndxxnIIxaa nxaa n三角函数有理式三角函数有理式的积分一般用万能代换tan 2xt，对于如下 形式可以采用更灵活的代换： 对于积分22(sin,cos)Rxx dx，可令 tanx=t； 对于积分(sin )cosRxxdx，可令 sinx=t； 对于积分(cos )sinRxxdx，可令 cosx=t
10、，等等。 某些可化为有理函数的积分可化为有理函数的积分 1.( ,)naxbR xdxcxd 型积分，其中 n1，其中 ad bc。 这里的关键问题是消去根号，可令axbtcxd。 2.2( ,R xaxbxcdx型 积 分 , 其 中240bac， a 0 。 由 于2 22 24()24bacbaxbxca xaa，故此类型积分可以化为以下三种类型： 22( ,)R ukudx，可用三角替换sinukt； 22( ,)R uukdx，可用三角替换secukt； 22( ,)R uukdx，可用三角替换tanukt。 1 21tantan1nn nnIxdxxIn 倒代换：241 1xdxx
11、 ，241 1xdxx ， 由此还可以求出 41 1dxx，241xdxx2211sincos,(0)sincosaxbxdx abaxbx解：设11sincos( sincos )( cossin )axbxA axbxB ax bx，为此应有11aA bBabAaBb ，解得1111 2222,aabbabbaABabab，故 11sincos( sincos ) sincossincosaxbxaxbxdxA dxBdxaxbxaxbx1111 2222ln|sincos|aabbabbaxaxbxCabab4.2 定积分定积分 4.2.1.可积条件可积条件 可积的必要条件：若函数 f(
12、x)在闭区间a,b上可积，则 f(x)在a,b上有界。 可积函数类：闭区间上的连续函数，单调函数，有界且只有有限个间断点。 4.2.2.定积分的计算定积分的计算 1.换元积分法( )( ( )( )baf x dxftt dx从右到左，相当于不定积分的第一类换元积分法，从左到右，相当于第二类 换元积分法。 2.分部积分法( ) ( )( ) ( )|( ) ( )bbb aaau x v x dxu x v xu x v x dx常见的积分和式 11() ()( )lim()(1)() ()( )lim()nbaninbanii babaf x dxf ann ibabaf x dxf ann
13、4 1011lim( )( )nniiff x dxnn22 002 002 000(sin )(cos )(sin )2(sin )(sin )(sin )(sin )2fx dxfx dxfx dxfx dxxfx dxfx dxfx dx22 2001sincos,nn nnnnIxdxxdx IIn使用分部积分法的常见题型： 被积函数的形式 所用方法 ( ) ,( )sin ,( )cosx nnnP x e P xx P xx 进 行 n 次 分 部 积 分 ， 每 次 均 取,sin,cosxexx为( )vx( )ln ,( )sin ,( )arctannnnP xx P x arcx P xx 取( )nP x为( )v xsin,cosxxex ex取xe为( )v x，进行两次分部积分 4.2.3.定积分的应用定积分的应用 (1)平面图形的面积 21( )( )( )2dSf x dxy dyrd(2)旋转体的体积 22( )( )2( )dVfx dxy dyxf x dx(3)弧长、曲率 弧微分公式：2222()()1( )1( )dsdxdyfx dxy dy2222( )( )( )( )xtyt dtrrd曲率： 223/223/2|( ) ( )( )( )|( )( )(1)dy t x ty t x tyK
