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1、 杨新民等：不可微多目标规划的高阶对称对偶性 A i n t K ，V C ， O J i ，i= 1 ， 2 ， k， ( 1 2 b ) ( 1 2 c ) ( 1 2 d ) 其 中， Di 和 Ei ， i =1 ， 2 ， k分别为 和 中的紧 凸集； ： S 1 _ ， ： S 1 X m 和 -g ：S 1 X _ 是可微函数， i= 1 ， k 和 分别为 1和 的正极锥， = ( 1 ， A 2 ， ， ) T Ag a r wa l 等人 在高阶 F 一凸性假设下证明了弱对偶定理， 并得到了如下强对偶定理 定理 1 1 ( 强对偶定理) 设 ( ， 雷 ， ， ， ， ，
2、P l ， 2 ， ) 为问题 ( MP ) 的真有效解， ： s 1 s 2 在点 ( ， )处三阶可导， ： S I X 在点 ( ， ， A) 处二阶可导， g i ： S 1 X n 可微， i =1 ， 2 ， k 若 以下条件成立： ( I ) t ( ， ， 0 ) =0 ， g i ( 2 ， ， 0 ) =0 ， V p 。 h i ( 2 ， ， 0 ) =0 ， h i ( 2 ， ， 0 ) =0 ， h ( ， ， 0 ) =V n g ( 2 ， 雪 ， 0 ) ， i= 1， 2 ， ( I I ) 对所有的 i 1 ， 2 ， ) ， H e s s e 矩阵
3、m ( 孟 ， ， 西) 正定或负定； ( I I I ) 向量组 k ( 2 ， ) 一 +V h i ( 2 ， ， - ， k 1 线性无关； ( I V )向量组 k( 2 ， 9 ) 一磊+ t ( ， ， ) ， V k ( 2 ， 雪 ) 一 + p h ( 孟 ， ， A) ) 1 线性无关； ( V ) 对某 in t K 和 ” ， 0( i =1 ， 2 ， ) 意味着 ( ) 是满足条件 R 晕 的闭凸锥， 则有 ( i ) A：0 ， i =l ， 2 ， ； ( i i ) 存在 蛾 Di ， i =1 ， 2 ， ， k使得 ( ， ， ， W 一 1 ， 西 2
4、 ， 面 ， 1 ： 2 = =0 ) 为问题 ( MD) 的可行解 此外， 若文献 【2 ， 定理3 1 中的条件成立， 则 ( ， ， ， W一 1 ， W一 2 ， 矾 ， 1 = = ： ：0 ) 为问题 ( MD)的真有效解， 且原问题和对偶问题有相同的最优值 文献 2 中的强对偶定理存在以下的错误： ( a ) 定理 1 1 ( I V)中 与定理证明中获得 一般来讲是不相同的因此， 此定理的证明是错误的； ( b )基于定理 1 1 ( I ) ， 我们有 V p t ( ， 雪 ， 0 ) ：0 ， V h i ( 2 ， ， 0 ) ：0 ， i =1 ， 2 ， ， k 然
5、而， 定理 1 1 ( i ) 又为 霓 = 0 ， i= 1 ， 2 ， ， k 显然， 向量组 k( 2 ， ) 一 + ( ， ， 磊) ， k( 2 ， ) 一 + p t ( ， ， ) ， i =l ， 2 ， 不是线性 无关的 这表明， 定理中的条件 ( I V ) 是错误的； ( c ) 在上面的强对偶定理中， 条件 ( I V ) 蕴含着条件 ( I I I ) 事实上， 在文献 2 ， 定理3 3 ， 4 ， 定理 3 3 ， 3 4 和4 1 和 3 ， 定理4 3 5 fl 4 4 都存在同样的错误 0 U + + ， 0 从而 由 ( 2 1 1 ) 得 将 ( 2
6、1 1 ) 和 ( 2 1 2 ) 代入 ( 2 2 ) 得 8= 嘲 ( 2 1 2 ) k t ( V ( ， ) 一 + ( ， ， A ) ) 一 t V ( ， ) 一 + V p ( ， ， ) ) = 0 ( 2 1 3 ) t= l 由假设 ( I V ) 和 ( 2 1 3 ) 有 再 由假设 ( I I I ) 得 k ( t 一 ) ， ( ， ) 一 + h i ( 2 ， ， A ) = 0 t = 1 a ， i =1 ， 2 ， k ( 2 1 4 ) 由 0 ， i =1 ， 2 ， k和对某个 J ， J =0可知 =0 因此， 由 ( 2 1 2 ) ， (
7、 2 1 4 ) 和 =0得 =0 ： 啦 =0 ， i =1 ， 2 ， k 这与 ( O L ， ， ) 0矛盾从而， 对所有的 i 1 ， ) ， t 0 又因 O K R 生 ， 故 t 0，i= 1 ， 2 ， ， k 将 ( 2 1 1 ) ， 0和 0代入 ( 2 1 0 ) 得 这表明， V ( ， ) 一Z i + p 九 t ( ， ， t ) =0 ， i =1 ， 2 ， ， ， 由假设 ( V) 可得 A = 0 ， i = 1 ， 2 ， k 余下的证明可由文献 2 ， 定理3 2 中的证明得到 7 0 6 口 0 = 一 p h m L 一 一 一 一 一 中国科
8、 学 ： 数学第 4 3卷第 7期 同理， 我们对文献 2 ， 定理 3 3 进行 了如下修正 定理 2 2 ( 逆对偶定理) 设 ( ， ， ， 西 1 ， 面 2 ， W一 ， 1 ， W一 2 ， )为问题 ( MD )的真有效解， 假 设 ： s 1 一 在点 ( 面 ， )处三阶可导， h t ： S 1 在点 ( 面 ， ， ) 处二阶可导， g ： S 1 _ 酞可微， i ：1 ， 2 ， k 若如下条件成立： ( I ) t ( ， ， 0 ) =0 ， g t ( ， ， 0 ) =0 ， n h i ( fi ， ， 0 ) =0 ， h ( fi ， ， 0 ) ：0
9、， h ( fi ， ， 0 ) = p 9 ( ， ， 0 ) ， i= 1 ， 2 ， ； ( I I ) 对每个 i =1 ， 2 ， k ， H e s s e矩阵 r i r i t ( 霞 ， ， ) 正定或负定； ( I I I ) 向量组 V ( ， ) + + ( ， ， ?- t J k 1 线性无关； f I v) 存在 函数 无和 无满足 t ( ， ， ) = t ( ， ， ) ， ( ， ， ) =h i ( t ， 雷 ， r i ) i ( V ) ， ( 1 ， ， ) 0蕴含着 ( V I ) 为满足条件 的闭凸锥， 则有 ( i ) =0 ， i =1
10、， 2 ， ； ( ii ) 存在 E i ， i =1 ， 2 ， ， 使得 ( 面 ， ， ， 乏 1 ， 乏 2 ， Z k ， P一 1 = 2 ： = =0 ) 为问题 ( MP ) 的 可行解 此外， 若文献 2 ， 定理3 1 】 中的条件成立， 则 ( ， ， ， Z一 1 ， Z一 2 ， Z k , P一 1 = 2 = = =0 ) 为 问题 ( MP )的真有效解， 且原 问题和对偶问题有相 同的最优值 注 2 1 ( i ) 定理 2 1和 2 2修正了文献 2 ， 定理3 2 和3 3 中的错误 若 D t = 0 ) ， = 0 ) ， i =1 ， 2 ， k
11、， 则问题 ( MP ) 和 ( MD ) 退化为文献 4 】 中考虑的问题 而定理 2 1 和 2 2也对文献 4 ， 定 理3 3 ， 3 4 和4 1 】 进行了修正 此外， 若 K= ， 定理 2 1 和 2 2也修正了文献 3 ， 定理4 3 和4 4 ( i i ) 若 1 1 t ( ， ， P ) ： I p tT V ( ， ) p t ， l9 u ， ， r ) = 去 r ( ， ) r i ， 则问题 ( MP ) 和 ( MD ) 退化为文献 6 】 中考虑的二阶对偶模型 而定理 2 1 和 2 2 可以退化为文献 6 ， 定 理3 4 和3 5 此外， 若 K =
12、 ， C 1 = ， = ， 问题 ( MP ) 和 ( MD ) 退化为文献 7 中考虑的 对偶问题， 当把定理 2 1和 2 2中的有真效解换为弱有效解时， 定理 2 1和 2 2中的结论就退化为文 献 f 7 ， 定理 2 1 和 2 2 1 相应 的结论 参考文献 1 Ch e n X H Hi g h e r - o r d e r s y mme t r i c d u a l i t y i n n o n d i ff e r e n t i a b l e mu l t i o b j e c t i v e p r o g r a mmi n g p r o b l e m
13、s J Ma t h An a l Ap pl ，2 0 0 4，2 9 0：42 3 4 3 5 2 Ag a r wa l R P ， Ah ma d I ， J a y s wa l A Hi g h e r o r d e r s y mme t r i c d u a l i t y i n n o n d i ff e r e n t i a b l e mu l t i o b j e c t i v e p r o g r a mmi n g pr o bl e ms i n vo l vi ng g e n e r a l i z e d c on e c o n ve x
14、f unc t i on s M a t h Co mpu t Mod e l l i ng，2 0 1 0，5 2：1 6 44 1 6 5 0 3 Gu p t a S K， K a i l e y N ， S h a r ma M K Hi g h e r - o r d e r( ， P ， d ) 一 c o n v e x i t y a n d s y mme t r i c d u a l i t y i n mu l t i o b j e c t i v e p r o - gr a mmi ng Co mpu t M a t h App l ，2 01 0 ，6 0：2 3 7 3 2 38 1 4 Gu p t a S KJ a y s wa l AMu l t i o b j e c t i v e h i g h e r o r d e r s y mme t r i c d u a l i t y i n v
