三角形与四边形(数学奥林匹克)

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1、!“ “#! ! “!目!录“!三角形的基本概念和性质$ $ 0“!三角形的面积) 边角间关系定理$ $ 1#!全等三角形$ 0 1$!相似三角形$ ! $%!三角形中与比例线段有关的几个定理$ ! 则是凸五边形“ # $ 0 1内一点! 且$ ! 3 1 ; 3 1 ; 3 0 ; 3 0 ; 3 $ ; 3 $ ; 3 # ; 3 # ; 3 “ ; 3 $ “ 9时!#“ # $是什么三角形- 试证明你的结论! $! & # *年全国联赛题% 在#“ # $中!$“&( $!$#&“ $!试证#$#$%$ “% +“ #&# $+$ “!( 自#“ # $的顶点“引两条射线交# $于A“

2、B! 使$# “ A& $ “ B!求证# A+# B $ A+$ B&“ #“ $“!$! & # *年上海市竞赛题%) 设点在#“ # $的边“ #上! 且与顶点不重合!求证# $+“ #% “+ # $% #+“ $!$! & # 年捷克竞赛题%! * 已知“ # $ 0为四边形! 两组对边延长后得交点1“2! 对角线# 0)1 2!“ $的延长线交1 2于3!求证#1 3&3 2!$! & + #年全国高中竞赛题%! ! 在#“ # $中!0是# $边上的点! 已知“ #&! !“ 0&! “!“ $&! )!# 0&)! 那么0 $等于多少- $ 第届& 祖冲之 杯邀请赛题%67!“

3、#! “ )!“!三角形与四边形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形!其中互相重合的顶点叫做对应顶点! 互相重合的边叫做对应边! 互相重合的角叫做对应角!实现重合离不开运动! 完全重合是运动的结果!至于运动的过程! 则有不同的方式!因此! 全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式! $!%平移全等型! 如图 ! !图# !$“%对称全等型! 如图 “ !图# “$%旋转全等型! 如图 !图# #! “ *!$ !全等三角形“$(%以上类型的复合型! 如图 ( !图# $全等三角形的对应边相等! 对应角相等! 三角形中各种对应线段也相等!寻找对应边和对应角! 常用到以下方法# $!%全等三角

4、形对应角所对的边是对应边! 两个对应角所夹的边是对 应边! $“%全等三角形对应边所对的角是对应角! 两条对应边所夹的角是对 应角!$%有公共边的! 公共边常是对应边! $(%有公共角的! 公共角常是对应角! $)%有对顶角的! 对顶角常是对应角! $*%两个全等的不等边三角形中一对最长边$ 或最大角% 是对应边$ 或对 应角% ! 一对最短边$ 或最小角% 是对应边$ 或对应角%!要想正确表示两个三角形全等! 找出对应元素是关键!边角边定理!+ , +“!有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等!角边角定理!, + ,“!有两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等!推论!有两个角和其中

5、一个角的对边对应相等的两个三角形全等!边边边定理!+ + +“!三边对应相等的两个三角形全等!注!三角形的三边确定了! 那么它的形状“ 大小就确定了!三角形的这个性质! 就叫做三角形的稳定性!由于直角三角形的特殊性! 直角三角形全等的判定具有特殊的方法!从理论上讲! 不论是& 边角边 “ & 角边角 “ & 边边边 ! 还是& 角角边 都适用于直角三角形全等的判定!但直角三角形有如下特殊的判定定理#斜边#直角边定理!- .“!斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等!由上可知! 如果两个直角三角形中有两条边$ 不论是两条直角边还是斜边和一条直角边% 对应相等! 就足以判定它们全等!所以! 对于

6、直角三角形的全等的判定! & 边边边 是没有使用价值的!因此! 在两个直角三角形中! 如果! # !“!三角形与四边形图# %除了直角之外! 还有两个元素$ 不都是角% 对应相等!那么! 这两个直角三角形全等!例! !设8为等腰直角三角形“ $ #的斜边“ #上任意一点!8 1垂直“ $于点1!8 2垂直# $于点2!8 3垂直1 2于点3! 延长3 8并在延长线上取一 点0! 使得8 0&8 $!试证# $*# 0!且# $&# 0!$! & & +年全国联赛题% 证明!如图 )! 因$1 8 3& $1 2 8& $ 8 2!则$0 8 #& $“ 8 3&( ) %$1 8 3&( )

7、%$ 8 2& $# 8 2%$ 8 2& $# 8 $!又8 $&8 0!8 #为公共边! 则#8 0 #+ #8 $ #!从而# $&# 0!且$8 # 0& $ # 8&( ) %!因此$ # 0& $ %!故# $*# 0!例“!已知# 0“$ 1是#“ # $的高! 点8在# 0的延长线上!# 8&“ $! 点9在$ 1上!$ 9&“ #! 求证# $!%“ 8&“ 9* $“%“ 8*“ 9!$! & & *年 河南省竞赛题%图# &证明!如图 *! 设$ 1交# 0于2! $!%由# 0*$ “!$ 1*“ #! 知$# 1 2& $ %& $ 0 2!而$# 2 1& $ 2

8、0!故$“ # 8& $9 $ “!由已知! 有“ #&9 $!# 8&$ “! 从而#“ # 8+ #9 $ “!即有“ 8&“ 9!$“%由$!% 可得$“ 9 $& $8 “ #! 而$“ 9 $& $9 1 “%$9 “ 1& $ %$9 “ 1! # “!$ !全等三角形“$8 “ #& $8 “ 9%$9 “ 1!从而可得$8 “ 9& $ %!即“ 8*“ 9!例# !在正#“ # $内部有一点! 已知$“ # ! ! %!$# $ ! “ % !若一个三角形的边长等于 “ #“ $!试求# 这个三角形的各角度数!$ 第 届莫斯科奥林匹克题%图# 解!如图 +! 以“ 为一边作等

9、边#“ 0 ! 连# 0!由“ 0&“ !“ #&“ $!$0 “ #&* $ %)$# “ & $ “ $!则有#“ 0 #+ #“ $! 所以0 #& $!$“ 0 #& $“ $&! “ ( % !又 0& “!则# 0 #的三边的长分别等于 “ #“ $! 而$0 #& $“ #)$“ 0&! ! %)* $ %&) %!$ 0 #& $“ 0 #)$“ 0 &! “ ( %)* $ %&* ( %!$ # 0&! # $ %) %)* ( %&* % !故所求三角形内角分别为) %“* ( %“* % !例$ !如图 #! 在#“ # $中!“ #&“ $!0是底边# $上一点!1是

10、线 段“ 0上一点! 且$# 1 0&“ $ 1 0& $# “ $! 求证# 0&“$ 0!$! & & “年全国联赛题%图# (证明!作$# 1 0的平分线交# $于2! 又过“作“()1 2交# 1于3! 交# $于(! 则知$1 “ 3& $0 1 2& $# 1 2& $“ 3 1&! “$# “ $!从而3 1&“ 1!又$“ 3 1&! “$# 1 0& $ 1 0! 则$“ 3 #& $ 1 “!由$“ # 1%$# “ 1& $# 1 0& $# “ $& $ “ 1%$# “ 1!有$“ # 3& $ “ 1! # #!“!三角形与四边形注意到“ #&$ “! 故有#“ #

11、 3+ #$ “ 1!从而!# 3&“ 1!“ 3&$ 1!于是# 3&3 1!又由“ ()1 2! 有# (&( 2!3 (&! “1 2!且“ ( 1 2&( 0 2 0!而$ 1 0& $2 1 0! 从而$ 0 2 0&1 $1 2&“ 31 2&“ ()3 ( 1 2&“ (1 2)!“&( 0 2 0)!“!即$ 0&( 0)!“2 0&( 2%!“2 0&! “# 2%!“2 0&! “# 0!故# 0&“$ 0!例% !在#“ # $中!$# “ $&# $ %!$“ #$&* $ %!0为三角形内一点!且$0 “ #&! $ %!$0 # “&“ $ % !求$“ $ 0的度

12、数!图# )解!如图&! 延长# 0交“ $于1! 则$“ 1 #& # $ %& $# “ 1!“ #&# 1!在# $上截取 # 2&# “! 连“ 2! 则#“ # 2为等边三角形!在“ $ 上截取“ 3&“ #! 连# 3“0 3“1 2“2 3!由边角边定理# 知等腰#“ 2 3+等腰# “ 1!在# 1 2中! 因# 1&# 2!$1 # 2&( $ %! 则$# 1 2&+ $ %! 易得$2 13& $ %& $“ 0 1!由角边角定理! 知#2 13+ #“ 0 1!于是1 3&0 1!注意到$1 #$&( $ %& $1 $ #! 故1 $&1 #!又由边角边定理! 知#1

13、 0$+ #1 3 #! 从而$“ $ 0& $1 # 3!在#“ # 3中! 因“ #&“ 3!$# “ 3&# $ %!则$“ # 3&) $ %!从而$1 # 3& $ % !故$“ $ 0& $ % ! 例& !在#“ # $中!$# “ $&) ! “ ) %!“ 0是$# “ $的平分线! 过“作0 “的垂线交直线# $于点4!若# 4&# “%“ $! 试求$“ # $和$“ $ #的 度数!$! & & !年北京市竞赛题%! # $!$ !全等三角形“图# ! *解!由于点4在直线# $上! 因而应分两种情况讨论计算#$!%如图 ! $! 过“作“ 0的垂线交# $延长线 于点

14、4! 延长# “到$! 使$“ 4 $!& $“ 4 $! 由题设“ 0平分$# “ $知$ “4& $!“ 4!注意到“4为公共边! 则由角边角定理得#“ $ 4+ #“ $!4!于是! 有“ $!&“ $!又由# 4&# “%“ $! 知# $!&# 4!从而$“ $!4& $# 4 $!在# $!4中!$#&! # $ %)“ $“ $!4&! # $ %)“ $“ $ 4&! # $ %)“$#%) ! “ ) %&! # $ %)“ $#)! $ ! ) %!因此!$“ #$&) * ! ) %!$“ $ #&! # $ %) ! “ ) %) * ! ) %&! ! # ! “ )

15、 % !图# ! !$“%如图 ! ! 过“作“ 0的垂线交$ #延长 线于点4! 延长# “到$! 使$“ 4 $!& $“ 4 $! 由题设“ 0平分$# “ $知$ “ 4& $!“ 4! 注意到“ 4为公共边! 则#“ $ 4+ #“ $!4! 即有$“ $ 4& $“ $!4且“ $!&“ $! 又由# 4&# “%“ $! 知# $!&# 4!从而$“ $!4& $# 4 $!于是! 在#4 $ $!中! $“ $ 4%“ $“ $ $!& $“ $ 4%$# “ $&! # $ %!即有$“ $ 4&! $! # $ %)$# “ $%&) # ! “ ) % !即$“ $ #&

16、) # ! “ ) %!$“ #$&! # $ %) # ! “ ) %) ! “ ) %&! ! * ! ) % !例 !求证# 如果两个三角形有两条边和第三条边上的中线对应相等! 那么这两个三角形全等!已知# 如图 ! “! 在#“ # $和#“ , # , $ ,中!“ 0“ , 0 ,分别是边# $“! # %!“!三角形与四边形图# ! “# , $ ,上的中线!“ #&“ , # ,!“ $&“ , $ ,!“ 0&“ , 0 ,! 求证#“ #$+ #“ , # , $ ,!证明!分别延长“ 0“ , 0 ,至1“1 ,!使0 1&“ 0!0 , 1 ,&“ , 0 ,!连结# 1“# , 1 ,! 则“ 1&“

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