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1、复旦大学 20042005 学年第二学期期末考试试卷 复旦大学 20042005 学年第二学期期末考试试卷 课程名称：课程名称： 数学分析II 数学分析II 课程代码： 课程代码： 218.121.2.01 218.121.2.01 开课院系：开课院系： 数学科学学院 数学科学学院 学生姓名： 学生姓名： 学号： 学号： 专业： 专业： 题 目 题 目 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 总 分总 分得 分 得 分 填充题填充题 1 （每空格（每空格 5 分，共分，共 30 分）分） （1）=20sin)(xdttxf， 则当时，是关于0x +)(xfx的 阶无穷小
2、量。 （2）21ln xdxx+=。 （3）幂级数1( 2)(1)n nnxn=的和函数与收敛范围为 。 （4）的幂级数展开中的系数为 )21ln(2xx +nx。 （5）反常积分dxxxx+0sin)1ln(收敛，则的取值范围为 。 （6） 函数项序列2( )nx nSxn x e=在区间1 , 0上一致收敛， 则的取值范围为 。 1解答题（每题解答题（每题 10 分）分） 2计算积分201nnxdxx+。 3. ，收敛，问是否有0nx=1nnx0lim= nnnx？是的话证明之，不一定的话举出反例。 4求曲线2xyxe=(0x)绕x轴旋转所得旋转体的体积。 25. 求xxxf2121arc
3、tan)(+=在0=x的幂级数展开，并求=+04) 12() 1(nnnn的值。 6设底面直径为 2 米，高为 5 米的圆柱体形状的浮桶横躺在 100 米深的海底，打捞作业时需要将桶内的水“抽”到海面上，问将桶内的水全部抽干要做多少功？（答案可保留水的比重与重力加速度） 。 g37判断与 在=12)1 (nnxx=12)1 (nnxnx1 , 0上的一致收敛性，并证明你的断言。 8 设函数在 ,上一致连续， )(xf)a+( ) af x dx+收敛， 证明。 lim( )0 xf x +=4复旦大学 20052006 学年第一学期期末考试试卷 复旦大学 20052006 学年第一学期期末考试
4、试卷 课程名称：课程名称： 数学分析III 数学分析III 课程代码： 课程代码： 318.157.3.01 318.157.3.01 开课院系：开课院系： 数学科学学院 数学科学学院 学生姓名： 学生姓名： 学号： 学号： 专业： 专业： 题 目 题 目 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 总 分总 分得 分 得 分 填充题填充题 1 （每空格（每空格 6 分，共分，共 30 分）分） （1）3333xyzxyz+=，则dz = 。 （2）曲线22206xyz2xyza+ = +=在( , , 2 )a aa处的切线方程为 。 （3）22rxyz=+2，则divg
5、radr = 。 （4）2sin( )xxxtI xdtt=，则dI dx= 。 （5）44200xx4x edxx edx+= 。 解答题（每题解答题（每题 10 分，共分，共 70 分）分） 2通过变量代换 yxzwxvyxu=,，变换方程xyz yzy2222 =+。 13设四边形的边长分别为，利用 Lagrange 乘数法求出当四边形面积最大时四边形的顶角所满足的条件（不必求出最大面积） 。 a,b,c,d4计算闭曲面5 222222()2xyzzxy+=所围体积。 25在平面上单位质点受力PF作用，力F的方向与OPuuu r垂直（逆时针转 90 度为OPuuu rF的方向） ，大小与
6、OPuuu r成反比，比例系数为 ，求质点从点沿位于第一象限的曲线移动到点，力kP(0,1)A(1,0)BF所作的功。 6计算积分 ，其中是曲面 介于 的部分，积分沿曲面下侧。 dxdyzdzdxydydzxS333+S22yxz+=10 z37积分 +022 xdx关于在下述范围是否一致收敛? 证明你的断言。 （1）+=xxg（0+=xxxxf （0x（4）求曲线的凸性与拐点。 )7ln12(4=xxy（5）计算不定积分 )1 (2xxdx。 2讨论函数 +=为无理数为有理数，xxxxxxxf),1 (),1 ()( 的连续性与可微性。 3问函数xxxxf1sin12)(+=在上是否一致连续
7、？请对你的结论说明理由。 ) 1, 0(4设函数在点可导，且)(xf1=x1) 1 (=f，2) 1 (= f，求nnfnf+) 1 (11 lim。 5设函数满足)(xfxxxf)1ln()(ln+=，求dxxf)(。 6证明：当时成立 0。因为+12)1 (cosdtttxt一致收敛，所以存在1A，使得2)1 (cos2XXx 2)1 (cos12=+x00y00z0P二求球面（）被平面2222azyx=+0a4az =与2az =所夹部分的面积。 三计算二重积分()+Ddxdyxyx24 ，其中是由Dx轴，直线xy =以及曲线1=+yx，2=+yx所围成的平面闭区域。 四计算三重积分，其
8、中。 dxdydzez|1| ),(222+=zyxzyx五 计算曲线积分 +Ldszy222， 其中L是球面（）与平面2222azyx=+0ayx =相交而成的圆周。 六计算曲面积分，其中 +dxdyzdzdxydydzx222 为锥面在平面与（）之间的部分，定向为下侧。 222zyx=+0=zhz =0h七设是右半平面ji)()(2),(24224yxxyxxyyxA+=0| ),(=xyxD上的向量场，试确定常数，使得为上函数的梯度场，并求出。 ),(yxAD),(yxu),(yxu八 将|（sin|)(xxf=x） 展开为 Fourier 级数， 并分别求级数=12141nn，()=1
9、22141nn的和。 九设+= 12)1 (cos)(dtttxtxf，),(+x。 （1）证明积分+12)1 (cosdtttxt关于x在),(+上一致收敛； （2）证明； 0)(lim= +xf x（3）证明在上一致连续。 )(xf),(+复旦大学 20052006 学年第一学期期末考试试卷 复旦大学 20052006 学年第一学期期末考试试卷 课程名称：课程名称： 数学分析I 数学分析I 课程代码： 课程代码： 318.157.1.01 318.157.1.01 开课院系：开课院系： 数学科学学院 数学科学学院 学生姓名： 学生姓名： 学号： 学号： 专业： 专业： 题 目 题 目 1
10、1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 总 分总 分得 分 得 分 填充题填充题 1 （每空格（每空格 5 分，共分，共 40 分）分） （1）111lim3nnnnnabc+= 。 （2）210arctanlimxxx x=。 （3）设1sin0( ) 00xxf xx x= ， 当在 范围时，)(xf 在连续； 0=x当在 范围时，)0(f 存在。 （4）2221(arcsin2)xyx， 则axaa=+ y = 。 （5）21xyx+=， 则2d y =。 （6）曲线在(0点处的切线方程为 234xyeyx+=,1) 。 （7）不定积分2cosdx x=。 2求不定积分：1 1xxedxe +（10 分） 。 13设 证明：0x，使过()00, yx点的切线与x轴，轴所围的三角形面积最小？并求出最小的面积（10 分） 。 y25. 设，问是否存在0()0fx0，使( )f x在00(,xx)+上单调增加？是的话，证明你的断言，不一定的话，举出反例（10 分） 。 6设23 ( )12!3!nnxxxP xxn= +L，1( )( )( )nnF xP x Px+=，证明有唯一的实根（10 分） 。 ( )0F x =37. 讨论函数32(1)xyx=的单调性、凹凸性、极值与拐点、渐近线，并作出它的图象（10 分） 。 4
