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1、第七章离散时间系统的时域分析1三三、 离散时间系统的描述和模拟离散时间系统的描述和模拟 （一）离散系统的数学模（一）离散系统的数学模型型型型差分方程差分方程 连续时间系统的数学模型连续时间系统的数学模型微分方程微分方程 微分方程：微分方程： 一阶一阶 )()()(tetyty=+差分方程：差分方程： 一阶一阶 )()() 1(kekyky=+)() 1()(kekyky=+前向形式前向形式 后向形式后向形式 问题问题: : : : 怎样由离散系统得到描述该系统的差分方程？怎样由离散系统得到描述该系统的差分方程？ 一质点沿水平方向作直线运动，其在某一秒内一质点沿水平方向作直线运动，其在某一秒内所
2、走过的距离等于前一秒所走过距离的所走过的距离等于前一秒所走过距离的2 2 2 2倍，试倍，试列出该质点行程的方程式。列出该质点行程的方程式。 例例1 1解：解： 设设k k k k秒末，质点的位移为秒末，质点的位移为y(ky(ky(ky(k) ) ) ) 某一秒：某一秒： 第（第（k+1k+1k+1k+1）秒秒第第( ( ( (k+2)k+2)k+2)k+2) 秒秒第七章离散时间系统的时域分析2位移位移 y(k+2) y(k+2) y(k+2) y(k+2) y(k+1) y(k+1) y(k+1) y(k+1) 前一秒：前一秒： 第第 k k k k 秒秒第第( ( ( (k+1)k+1)k
3、+1)k+1) 秒秒位移位移 y(k+1) y(k+1) y(k+1) y(k+1) y(ky(ky(ky(k) ) ) ) 依题意：依题意： )() 1( 2) 1() 2(kykykyky+=+ 即即 0)(2) 1(3)2(=+kykyky差分方程是处理离散变量的函数关系的一种数学工具，差分方程是处理离散变量的函数关系的一种数学工具，但离散变量并不限于时间变量。但离散变量并不限于时间变量。例例 2 2 2 2 下图示出电阻梯形网络，其中每一串臂电阻都为下图示出电阻梯形网络，其中每一串臂电阻都为R R R R，每一并臂电阻值都为，每一并臂电阻值都为aRaRaRaR，a a a a为某一正实
4、数。每个节为某一正实数。每个节点对地的电压为点对地的电压为 ， 。已知两边界节点电。已知两边界节点电压为压为 ， 。试写出求第。试写出求第k k k k个节点电压的差个节点电压的差分方程式。分方程式。 )(kunk, 2 , 1 , 0L=Eu=)0(0)(=nu第七章离散时间系统的时域分析3)0(u) 1 (u)2(u)1(nu)(nu R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R E E E E aR aR aR aR aRaRaRaR aRaRaRaR 解：解： 为了写出此系统的差分方为了写出此系统的差分方程，画出系统中第程，画出系统中第k k k k+
5、1+1+1+1个节点。个节点。)(ku) 1( +ku)2( +ku R R R R R R R R aRaRaRaR 对于任一节点对于任一节点k k k k+1+1+1+1，运用，运用KCLKCLKCLKCL不难写出不难写出 RkukuRkukuaRku) 1()2() 1()() 1(+=+再经整理即得该系统的差分方程再经整理即得该系统的差分方程 0)() 1(12) 2(=+kukuaaku再利用再利用 ， 两个边界条件，即可求得两个边界条件，即可求得 。 Eu=)0(0)(=nu)(ku差分方程与微分方程在形式上相似！差分方程与微分方程在形式上相似！第七章离散时间系统的时域分析4比较比
6、较)()()(tBetAydttdy+=)()() 1(kbekayky+=+与与可看出，若可看出，若 y(k) y(k) y(k) y(k) 与与 y(t) y(t) y(t) y(t) 相当，则相当，则 y(k+1) y(k+1) y(k+1) y(k+1) 与与 y y y y (t) (t) (t) (t) 相当。相当。在一定条件下可相互转化。在一定条件下可相互转化。一阶微分方程一阶微分方程 ) 1 ()()()(Ltetydttdy=+考虑离散值（考虑离散值（T T T T足够小）足够小）: : TtyTtydttdy)()()(+=令令t = 0 , T ,2T ,t = 0 ,
7、T ,2T ,t = 0 , T ,2T ,t = 0 , T ,2T , , , ,kTkTkTkT t t t t kTkTkTkT ： e(te(te(te(t) ) ) ) e(kTe(kTe(kTe(kT) = ) = ) = ) = e(ke(ke(ke(k) ) ) ) , , , , y(ty(ty(ty(t) ) ) ) y(kTy(kTy(kTy(kT) = ) = ) = ) = y(ky(ky(ky(k) ) ) ) , , , , y(t+Ty(t+Ty(t+Ty(t+T) ) ) ) y(k+1)T = y(k+1) y(k+1)T = y(k+1) y(k+1)T
8、 = y(k+1) y(k+1)T = y(k+1) ()TkTyTkydttdy)(1)(+=第七章离散时间系统的时域分析5dtdyy=Tkyky)() 1(+=)(1) 1(1kyTkyT+=代入（代入（1 1 1 1）式得：）式得： )()()1 () 1(kTekyTky=+)()()1 () 1(kTekyTky+=+二阶二阶: :)(22dtdydtddtyd=)()()()2(1TtyTtyTTtyTtyT+=)(1) 1(2)2(1222kTtkyTkyTkyT+=令)() 1()2(012kyAkyAkyA+=)() 1(01kyAkyA+=n n n n阶：阶： )() 1
9、()(01kyAnkyAnkyAdtydnnnn+=L差分方程的阶数：差分方程的阶数：差分方程中未知函数中变量的最高差分方程中未知函数中变量的最高和最低序号的差数。和最低序号的差数。 第七章离散时间系统的时域分析6n n n n阶微分方程：阶微分方程： eBdtedBdtedByAdtdyAdtydAdtydAmmmmmmnnnnnn011101111+=+LLT T足够小时可近似为差分方程：足够小时可近似为差分方程： )() 1() 1()(011kyakyankyankyann+L)() 1() 1()(011kebkebmkebmkebmm+=L( ( ( (二二) ) ) ) 差分方程
10、的算子形式差分方程的算子形式 连续系统的微分算子：连续系统的微分算子： ,dtdp=,nnndtdp=dtp1 定义：定义： dtdytpy=)(n n n n阶微分方程的算子形式：阶微分方程的算子形式： )()()()(011011teBpBpBtyApApAmmmmnnnn+=+LL第七章离散时间系统的时域分析7),()()()(tepDpNty=)()()()()(pDpNtetypH=离散系统移序算子：离散系统移序算子：S S 定义：定义： ),1()(+=kykSy),()(nkykySn+=) 1()(1=kykySn n n n阶差分方程的算子形式：阶差分方程的算子形式： )()
11、()()(011011kebSbSbkyaSaSammmmnnnn+=+LL)()()()(keSDSNky=)()()()()(SDSNkekySH=离散时间系统的转移算子离散时间系统的转移算子 （三）离散时间系统的模拟（三）离散时间系统的模拟 离散时间系统基本运算单元：离散时间系统基本运算单元： 延时器、标量乘法器、加法器延时器、标量乘法器、加法器 第七章离散时间系统的时域分析8延时器：延时器： Dx(kx(kx(kx(k) ) ) ) y(ky(ky(ky(k) ) ) ) ) 1()(1)(=kxkxSkyD y(0)y(0)y(0)y(0) x(kx(kx(kx(k) ) ) ) y
12、(ky(ky(ky(k) ) ) ) 初始状态为零初始状态为零 ) 0 () 1()(ykxky+=初始状态不为零初始状态不为零 1 1 1 1一阶差分方程的模拟一阶差分方程的模拟 前向：前向： )()() 1(kekayky=+)()() 1(kekayky+=+框图：框图： D y(k+1) y(k+1) y(k+1) y(k+1) y(ky(ky(ky(k) ) ) ) e e e e(k(k(k(k) ) ) ) - aaSSH+=1)(与连续时间系统的模拟框图非常相似（延时器代替积分器！）与连续时间系统的模拟框图非常相似（延时器代替积分器！） 后向：后向： )() 1()(kekay
13、ky=+)() 1()(kekayky+=D y(ky(ky(ky(k) y(k-) y(k-) y(k-) y(k-1)1)1)1) e e e e(k(k(k(k) ) ) ) - a y(ky(ky(ky(k) ) ) ) )()()1 (kekySa=+aSSSaSH+=+=11)(第七章离散时间系统的时域分析92. 2. 2. 2. n n n n阶差分方程的模拟阶差分方程的模拟 )() 1()()() 1() 1()(01011kebkebmkebkyakyankyankymn+=+LL)()()()(01110111kebSbSbSbkyaSaSaSmmmmnnn+=+LL011
14、10111)(aSaSaSbSbSbSbSHnnnmmmm+=LL引进辅助函数引进辅助函数q(kq(kq(kq(k) ) ) )： +=+=)()()()q(k)aSaSa(Se(k)0111011 -n1 -nnkqbSbSbSbkymmmmLL令)() 1() 1()()(011kqakqankqankqken+=L即即)() 1() 1()()(011kqbkqbmkqbmkqbkymm+=L第七章离散时间系统的时域分析10)()() 1() 1()(011kekqakqankqankqn+=+L框图框图( (m=nm=n) )： DDDb0-an-1-a1-a0b1bn-1bn e(k
15、e(ke(ke(k) ) ) ) q(k+nq(k+nq(k+nq(k+n) q(k+n-1) q(k+1) ) q(k+n-1) q(k+1) ) q(k+n-1) q(k+1) ) q(k+n-1) q(k+1) q(kq(kq(kq(k) ) ) ) y(ky(ky(ky(k) ) ) ) 注注意意 : : : : 在连续时间系统中在连续时间系统中, , , ,可能可能mn mn mn mn ; ; ; ; 但在离散时间系统中但在离散时间系统中, , , , m m m mn n n n 如如y(ky(ky(ky(k)=e(k+1)+e(k)=e(k+1)+e(k)=e(k+1)+e(k
16、)=e(k+1)+e(k) (n=0,m=1)(n=0,m=1)(n=0,m=1)(n=0,m=1)意味着意味着k k k k时刻的响应依赖时刻的响应依赖于于( ( ( (k+1)k+1)k+1)k+1)时刻的激励时刻的激励 第七章离散时间系统的时域分析11四、离散时间系统的时域分析四、离散时间系统的时域分析 离散时间系统的分析方法离散时间系统的分析方法: : : : 1) 1) 1) 1) 迭代法迭代法 : : : : 以初始值为起点以初始值为起点y(-1)=0 y(-1)=0 y(-1)=0 y(-1)=0 y(0) y(0) y(0) y(0) y(1) y(1) y(1) y(1) y
17、(2) y(2) y(2) y(2) 2) 2) 2) 2) 时域经典法时域经典法 : : : : y(ky(ky(ky(k)=)=)=)=y y y yh h h h(k)+y(k)+y(k)+y(k)+yp p p p(k(k(k(k) ) ) )3) 3) 3) 3) 分别求零输入响应和零状态响应分别求零输入响应和零状态响应( ( ( (时域卷积时域卷积和和) : ) : ) : ) : 全响应全响应= = = =零输入响应零输入响应+ + + +零状态响应零状态响应4) 4) 4) 4) 变换域解法变换域解法 : : : : Z Z Z Z变换变换第七章离散时间系统的时域分析12( (
18、 ( (一一) ) ) ) 迭代法迭代法例例 y(ky(ky(ky(k) ) ) ) a y(k-1) = a y(k-1) = a y(k-1) = a y(k-1) = x(kx(kx(kx(k) ) ) ) , , , , y(-1) = 0 y(-1) = 0 y(-1) = 0 y(-1) = 0 ， x(kx(kx(kx(k) = ) = ) = ) = (k) , (k) , (k) , (k) , 求求 y(ky(ky(ky(k) ) ) ) 解解 : : : : y(ky(ky(ky(k) = a y(k-1) + ) = a y(k-1) + ) = a y(k-1) +
19、) = a y(k-1) + (k) (k) (k) (k) k = 0 :k = 0 :k = 0 :k = 0 : y(0) = a y(0-1) + y(0) = a y(0-1) + y(0) = a y(0-1) + y(0) = a y(0-1) + (0) = 1 (0) = 1 (0) = 1 (0) = 1 k = k = k = k = 1 :1 :1 :1 : y(1) = a y(1-1) + y(1) = a y(1-1) + y(1) = a y(1-1) + y(1) = a y(1-1) + (1) = a y(0) = a(1) = a y(0) = a(1)
20、 = a y(0) = a(1) = a y(0) = a k = 2 :k = 2 :k = 2 :k = 2 : y(2) = a y(1) + y(2) = a y(1) + y(2) = a y(1) + y(2) = a y(1) + (2) = a y(1) = a(2) = a y(1) = a(2) = a y(1) = a(2) = a y(1) = a2 2 2 2 MM y(ky(ky(ky(k) = ) = ) = ) = a a a ak k k k , k , k , k , k 0 0 0 0 )()(kakyk=( ( ( (公比为公比为a a a a的等比序列
21、的等比序列) ) ) ) ( ( ( (二二) ) ) ) 零输入响应零输入响应y y y yZiZiZiZi(k(k(k(k) ) ) ) 1 1。零输入响应的求取。零输入响应的求取 一阶一阶: : : : y(k+1) + a y(k+1) + a y(k+1) + a y(k+1) + a y(ky(ky(ky(k) = ) = ) = ) = e(ke(ke(ke(k) ) ) ) , , , , 已知已知 y y y yZiZiZiZi(0) , (0) , (0) , (0) , 求求y y y yZiZiZiZi(k(k(k(k) ) ) ) 第七章离散时间系统的时域分析13y
22、y y yZiZiZiZi(k+1) + a (k+1) + a (k+1) + a (k+1) + a y y y yZiZiZiZi(k(k(k(k) = 0) = 0) = 0) = 0 ( ( ( (S+ a) S+ a) S+ a) S+ a) y y y yZiZiZiZi(k(k(k(k) = 0) = 0) = 0) = 0 y y y yZiZiZiZi(k+1) = - a (k+1) = - a (k+1) = - a (k+1) = - a y y y yZiZiZiZi(k(k(k(k) ) ) ) akykyZiZi=+)() 1(令= ( ( ( (S - ) S
23、 - ) S - ) S - ) y y y yZiZiZiZi(k(k(k(k) = 0) = 0) = 0) = 0 此式表明此式表明: : : : y y y yZiZiZiZi(k(k(k(k) ) ) )是一个公比为是一个公比为 ( ( ( (= - = - = - = - a)a)a)a) 的等比序列的等比序列 kkZiaccky)()(=求求c :c :c :c : y y y yZiZiZiZi(0) = c(-a)(0) = c(-a)(0) = c(-a)(0) = c(-a)0 0 0 0 = c = c = c = c kZiZiayky)(0()(=n n n n阶阶
24、: : : : y y y yZiZiZiZi(k+n(k+n(k+n(k+n) + a) + a) + a) + an-1n-1n-1n-1y y y yZiZiZiZi(k+n-1) + (k+n-1) + (k+n-1) + (k+n-1) + + a + a + a + a0 0 0 0y y y yZiZiZiZi(k) = 0(k) = 0(k) = 0(k) = 0 ( ( ( (S S S Sn n n n + a + a + a + an-1n-1n-1n-1S S S Sn-1n-1n-1n-1 + + + + +a +a +a +a1 1 1 1S+ aS+ aS+ aS
25、+ a0 0 0 0) ) ) ) y y y yZiZiZiZi(k(k(k(k) = 0) = 0) = 0) = 0 单根单根: : : : ( ( ( (S - S - S - S - 1 1 1 1)(S - )(S - )(S - )(S - 2 2 2 2) ) ) ) (S - (S - (S - (S - n n n n) ) ) ) y y y yZiZiZiZi(k(k(k(k) = 0) = 0) = 0) = 0 第七章离散时间系统的时域分析14( ( ( (S - S - S - S - i i i i ) ) ) ) y y y yZiZiZiZi(k(k(k(k
26、) = 0 ) = 0 ) = 0 ) = 0 kiiiZicky=)(kiiniZicky=1)(m m m m 阶重根的情况阶重根的情况 : : : : ( ( ( (S - S - S - S - 1 1 1 1) ) ) )m m m m(S - (S - (S - (S - m+1m+1m+1m+1) ) ) ) (S - (S - (S - (S - n n n n) ) ) ) y y y yZiZiZiZi(k(k(k(k) = 0) = 0) = 0) = 0 y y y yZiZiZiZi(k(k(k(k) = (c) = (c) = (c) = (c1 1 1 1 + c
27、+ c+ c+ c2 2 2 2 k + k + k + k + +c +c +c +cm m m m k k k km-1m-1m-1m-1) ) ) ) 1 1 1 1k k k k + + + +c c c cm+1m+1m+1m+1 m+1m+1m+1m+1k k k k + + + + + + + + c c c cn n n n n n n nk k k k c c c c1 1 1 1 , c, c, c, c2 2 2 2 , , , , c c c cn n n n 由初始条件由初始条件y y y yZiZiZiZi(0) , y(0) , y(0) , y(0) , yZi
28、ZiZiZi(1) , (1) , (1) , (1) , y y y yZiZiZiZi(n-1)(n-1)(n-1)(n-1) 确定确定 例例1 1 1 1 已知已知 y(k+2) y(k+2) y(k+2) y(k+2) 5 y(k+1) + 6 5 y(k+1) + 6 5 y(k+1) + 6 5 y(k+1) + 6 y(ky(ky(ky(k) = e(k+2) ) = e(k+2) ) = e(k+2) ) = e(k+2) ， y y y yZiZiZiZi(0) = 1 , y(0) = 1 , y(0) = 1 , y(0) = 1 , yZiZiZiZi(1) = 4 ,
29、 (1) = 4 , (1) = 4 , (1) = 4 , 求求y y y yZiZiZiZi(k(k(k(k ) ) ) )解解: : : : (1) (1) (1) (1) 求特征根求特征根, , , , 写出写出y y y yZiZiZiZi(k(k(k(k) ) ) ) 的表达式的表达式S S S S2 2 2 2 - 5S + 6 = (S - 5S + 6 = (S - 5S + 6 = (S - 5S + 6 = (S 2)(S 2)(S 2)(S 2)(S 3) = 0 3) = 0 3) = 0 3) = 0 第七章离散时间系统的时域分析15 1 1 1 1 = 2 , =
30、 2 , = 2 , = 2 , 2 2 2 2 = 3 = 3 = 3 = 3 y y y yZiZiZiZi(k(k(k(k) = c) = c) = c) = c1 1 1 1 2 2 2 2k k k k + c + c + c + c2 2 2 2 3 3 3 3k k k k (2) (2) (2) (2) 求求 c c c c1 1 1 1 , , , , c c c c2 2 2 2 ： y y y yZiZiZiZi(0) = c(0) = c(0) = c(0) = c1 1 1 1 + c + c + c + c2 2 2 2 = 1 = 1 = 1 = 1 y y y
31、yZiZiZiZi(1) = c(1) = c(1) = c(1) = c1 1 1 1 2 + c2 + c2 + c2 + c2 2 2 2 3 = 4 3 = 4 3 = 4 3 = 4 c c c c1 1 1 1 = -1 , c = -1 , c = -1 , c = -1 , c2 2 2 2 = 2 = 2 = 2 = 2 y y y yZiZiZiZi(k(k(k(k) = (-1)(2) = (-1)(2) = (-1)(2) = (-1)(2)k k k k + 2(3) + 2(3) + 2(3) + 2(3)k k k k = 2(3)= 2(3)= 2(3)= 2(
32、3)k k k k (2) (2) (2) (2)k k k k , k , k , k , k 0 0 0 0 = 2(3) = 2(3) = 2(3) = 2(3)k k k k (2) (2) (2) (2)k k k k (k)(k)(k)(k) 例例2 2 2 2 已知已知 y y y yZiZiZiZi(k+2) + 4 y(k+2) + 4 y(k+2) + 4 y(k+2) + 4 yZiZiZiZi(k+1) + 4 (k+1) + 4 (k+1) + 4 (k+1) + 4 y y y yZiZiZiZi(k(k(k(k) = 0) = 0) = 0) = 0，y y y
33、yZiZiZiZi(0) = (0) = (0) = (0) = y y y yZiZiZiZi(1) = 2 , (1) = 2 , (1) = 2 , (1) = 2 , 求求y y y yZiZiZiZi(k(k(k(k) ) ) ) 解解: : : : S S S S2 2 2 2 + 4 S + 4 = 0 + 4 S + 4 = 0 + 4 S + 4 = 0 + 4 S + 4 = 0 1 1 1 1 = = = = 2 2 2 2 = -2 = -2 = -2 = -2 y y y yZiZiZiZi(k(k(k(k) = (c) = (c) = (c) = (c1 1 1 1
34、 + c + c + c + c2 2 2 2 k)(-2)k)(-2)k)(-2)k)(-2)k k k k y y y yZiZiZiZi(0) = c(0) = c(0) = c(0) = c1 1 1 1 =2 =2 =2 =2 y y y yZiZiZiZi(1) = (c(1) = (c(1) = (c(1) = (c1 1 1 1 + c + c + c + c2 2 2 2)(-2)(-2)(-2)(-2) = 2= 2= 2= 2 c c c c1 1 1 1 = 2 , c = 2 , c = 2 , c = 2 , c2 2 2 2 = -3 = -3 = -3 = -3
35、 y y y yZiZiZiZi(k(k(k(k) = (2 - 3) = (2 - 3) = (2 - 3) = (2 - 3 k)(-2)k)(-2)k)(-2)k)(-2)k k k k (k)(k)(k)(k) 第七章离散时间系统的时域分析162 2。系统的自然响应和稳定。系统的自然响应和稳定 系统的零输入响应是系统无外激励时的自然响应系统的零输入响应是系统无外激励时的自然响应 : : : : y y y yZiZiZiZi(k(k(k(k) = c ) = c ) = c ) = c k k k k 系统的稳定性由特征根系统的稳定性由特征根 确定确定 (1) (1) (1) (1)
36、= = = = 实数实数 1时时 , , , , y y y yZiZiZiZi(k(k(k(k) ) ) ) 发散发散( ( ( (响应幅度随响应幅度随k k k k增大而增大增大而增大) ) ) ) 不稳定不稳定1= 时时 , , , , y y y yZiZiZiZi(k(k(k(k) ) ) )有界有界 = 1= 1= 1= 1 时时 , , , , y y y yZiZiZiZi(k(k(k(k) = c) = c) = c) = c = - 1 - 1 - 1 - 1 时时 , , , , y y y yZiZiZiZi(k(k(k(k) = - c ,c , - c , c ,
37、) = - c ,c , - c , c , ) = - c ,c , - c , c , ) = - c ,c , - c , c , 临界稳定临界稳定 (2) (2) (2) (2) = = = = 复数复数 设设 TjTjeee)(+=令Te=kTjkTjkkkeee=其中其中 ，T=第七章离散时间系统的时域分析17当当 为一对共轭复根时为一对共轭复根时 21,)(1kTjSinkTCoseekTkTjk+=+)(2kTjSinkTCoseekTkTjk=kk21,组成变幅正弦序列组成变幅正弦序列 （ ）kTCosekTkk221=+角频率角频率 T= 当当 时时 , , , , 011
38、 自然响应为增幅振荡自然响应为增幅振荡 , , , , 系统不稳定系统不稳定 当当 时时 , , , , 0=1=自然响应为等幅振荡自然响应为等幅振荡 , , , , 系统临界稳定系统临界稳定 如把特征根如把特征根 画入一个复数平面内画入一个复数平面内( ( ( (Z Z Z Z平面平面), ), ), ),则系统是否稳则系统是否稳定决定于确定的定决定于确定的Z Z Z Z平面中的点是否在该平面的单位圆之内平面中的点是否在该平面的单位圆之内 1时时, , , ,特征根位于单位圆外特征根位于单位圆外, , , ,系统不稳定系统不稳定 1=时时, , , ,特征根位于单位圆上特征根位于单位圆上, , , ,系统临界稳定系统临界稳定第七章离散时间系统的时域分析18作业作业四版四版: 7.9 7.13 7.14(2)(3) 7.17: 7.9 7.13 7.14(2)(3) 7.17: 7.9 7.13 7.14(2)(3) 7.17: 7.9 7.13 7.14(2)(3) 7.17三版三版: 7.8 7.12 7.13(2)(3) 7.16: 7.8 7.12 7.13(2)(3) 7.16: 7.8 7.12 7.13(2)(3) 7.16: 7.8 7.12 7.13(2)(3) 7.16
