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1、常用的巧算和速算方法 【顺逆相加】常用的巧算和速算方法 【顺逆相加】用“顺逆相加”算式可求出若干个连续数的和。例如著名的大数学家高斯(德国)小时候就做过的“百数求和”题,可以计算为 所以,123499100 =1011002 =5050。 又如,计算“3+5+7+97+99=?”,可以计算为 所以,3+5797+99=(993)492= 2499。 这种算法的思路,见于书籍中最早的是我国古代的张丘建算经。张丘建利用这一思路巧妙地解答了“有女不善织”这一名题: “今有女子不善织,日减功,迟。初日织五尺,末日织一尺,今三十日织讫。问织几何?” 题目的意思是:有位妇女不善于织布,她每天织的布都比上一
2、天减少一些,并且减少的数量都相等。她第一天织了 5 尺布,最后一天织了 1 尺,一共织了30 天。问她一共织了多少布? 张丘建在算经上给出的解法是: “并初末日织尺数,半之,余以乘织讫日数,即得。”“答曰:二匹一丈”。 这一解法,用现代的算式表达,就是 1 匹=4 丈,1 丈=10 尺, 90 尺=9 丈=2 匹 1 丈。(答略) 张丘建这一解法的思路,据推测为: 如果把这妇女从第一天直到第 30 天所织的布都加起来,算式就是 51 在这一算式中,每一个往后加的加数,都会比它前一个紧挨着它的加数,要递减一个相同的数,而这一递减的数不会是个整数。 若把这个式子反过来,则算式便是 1+5 此时,每
3、一个往后的加数,就都会比它前一个紧挨着它的加数,要递增一个相同的数。同样,这一递增的相同的数,也不是一个整数。 假若把上面这两个式子相加,并在相加时,利用“对应的数相加和会相等”这一特点,那么,就会出现下面的式子: 所以,加得的结果是 630=180(尺) 但这妇女用 30 天织的布没有 180 尺,而只有 180 尺布的一半。所以,这妇女 30 天织的布是 1802=90(尺) 可见,这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。 【分组计算】 【分组计算】一些看似很难计算的题目,采用“分组计算”的方法,往往可以使它很快地解答出来。例如 求 1 到 10 亿这 10 亿个自然数的数字之和。 这道题是
4、求“10 亿个自然数的数字之和”,而不是“10 亿个自然数之和”。什么是“数字之和”?例如,求 1 到 12 这 12 个自然数的数字之和,算式是 12345+6+78+9+10+1+1+1+12=5l。 显然,10 亿个自然数的数字之和,如果一个一个地相加,那是极麻烦,也极费时间(很多年都难于算出结果)的。怎么办呢?我们不妨在这 10 亿个自然数的前面添上一个“0”,改变数字的个数,但不会改变计算的结果。然后,将它们两两分组: 0 和 999,999,999;1 和 999,999,998; 2 和 999,999,997;3 和 999,999,996; 4 和 999,999,995;5
5、 和 999,999, 994; 依次类推,可知除最后一个数,1,000,000,000 以外,其他的自然数与添上的 0 共 10 亿个数,共可以分为 5 亿组,各组数字之和都是 81,如 0+9+9+9+999999=81 1+9+9999+9+9+98=81 最后的一个数 1,000,000,000 不成对,它的数字之和是 1。所以,此题的计算结果是 (81500,000,000)1 =40,500,000,0001 =40,500,000,001 【由小推大】 【由小推大】 “由小推大”是一种数学思维方法,也是一种速算、巧算技巧。遇到有些题数目多,关系复杂时,我们可以从数目较小的特殊情况
6、入手,研究题目特点,找出一般规律,再推出题目的结果。例如: (1)计算下面方阵中所有的数的和。 这是个“100100”的大方阵,数目很多,关系较为复杂。不妨先化大为小,再由小推大。先观察“55”的方阵,如下图(图 4.1)所示。 容易看到,对角线上五个“5”之和为 25。 这时,如果将对角线下面的部分(右下部分)用剪刀剪开,如图 4.2 那样拼接,那么将会发现,这五个斜行,每行数之和都是 25。所以,“55”方阵的所有数之和为 255=125,即 53=125。 于是,很容易推出大的数阵“100100”的方阵所有数之和为 1003=1,000,000。 (2)把自然数中的偶数,像图 4.3 那
7、样排成五列。最左边的叫第一列,按从左到右的顺序,其他叫第二、第三第五列。那么 2002 出现在哪一列: 因为从 2 到 2002,共有偶数 20022=1001(个)。从前到后,是每 8 个偶数为一组,每组都是前四个偶数分别在第二、三、四、五列,后四个偶数分别在第四、 三、 二、 一列 (偶数都是按由小到大的顺序) 。 所以, 由 10018=1251,可知这 1001 个偶数可以分为 125 组,还余 1 个。故 2002 应排在第二列。 【凑整巧算】 【凑整巧算】用“凑整方法”巧算,常常能使计算变得比较简便、快速。例如 (1)99.9+11.1=(9010)+(9+1)(0.9+0.1)
8、=111 (2)9979986=(9+1)(973)(9982) =101001000 =1110 (3)125125125125120125125125 =155125125125(120+5)125125+125-5 =1258-5 =1000-5 =995 【巧妙试商】 【巧妙试商】除数是两位数的除法,可以采用一些巧妙试商方法,提高计算速度。 (1)用“商五法”试商。 当除数(两位数)的 10 倍的一半,与被除数相等(或相近)时,可以直接试商“5”。如 7014=5,12525=5。 当除数一次不能除尽被除数的时候,有些可以用“无除半商五”。“无除”指被除数前两位不够除,“半商五”指若被
9、除数的前两位恰好等于(或接近)除数的一半时,则可直接商“ 5”。例如 124824=52,238545=53 (2)同头无除商八、九。 “同头”指被除数和除数最高位上的数字相同。“无除”仍指被除数前两位不够除。这时,商定在被除数高位数起的第三位上面,再直接商 8 或商 9。 574258=99,417648=87。 (3)用“商九法”试商。 当被除数的前两位数字临时组成的数小于除数, 且前三位数字临时组成的数与除数之和,大于或等于除数的 10 倍时,可以一次定商为“9”。 一般地说,假如被除数为 m,除数为 n,只有当 9nm10n 时,n 除 m 的商才是 9。同样地,10nmn11n。这就
10、是我们上述做法的根据。 例如 450849=92,648072=90。 (4)用差数试商。 当除数是 11、12、1318 和 19,被除数前两位又不够除的时候,可以用“差数试商法”,即根据被除数前两位临时组成的数与除数的差来试商的方法。若差数是 1 或 2,则初商为 9;差数是 3 或 4,则初商为 8;差数是 5 或 6,则初商为 7;差数是 7 或 8,则初商是 6;差数是 9 时,则初商为 5。若不准确,只要调小 1 就行了。例如 147618=82(18 与 14 差 4,初商为 8,经试除,商 8正确);127817=75(17 与 12 的差为 5,初商为 7,经试除,商 7 正
11、确)。 为了便于记忆,我们可将它编成下面的口诀: 差一差二商个九,差三差四八当头; 差五差六初商七,差七差八先商六; 差数是九五上阵,试商快速无忧愁。 【恒等变形】 【恒等变形】 恒等变形是一种重要的思想和方法, 也是一种重要的解题技巧。它利用我们学过的知识,去进行有目的的数学变形,常常能使题目很快地获得解答。例如 (1)183268=(1832-32)(68+32) =1800100 =1900 (2)359.7-9.9=(359.7+0.1)-(9.9+O.1) =359.8-10 =349.8 【拆数加减】 【拆数加减】在分数加减法运算中,把一个分数拆成两个分数相减或相加,使隐含的数量关
12、系明朗化,并抵消其中的一些分数,往往可大大地简化运算。 (1)拆成两个分数相减。例如 又如 (2)拆成两个分数相加。例如 又如 【同分子分数加减】 【同分子分数加减】同分子分数的加减法,有以下的计算规律: 分子相同,分母互质的两个分数相加(减)时,它们的结果是用原分母的积作分母,用原分母的和(或差)乘以这相同的分子所得的积作分子。 分子相同,分母不是互质数的两个分数相加减,也可按上述规律计算,只是最后需要注意把得数约简为既约(最简)分数。 例如 (注意:分数减法要用减数的原分母减去被减数的原分母。) 由上面的规律还可以推出,当分子都是 1,分母是连续的两个自然数时, 关系,我们也可以简化运算过
13、程。例如 【先借后还】 【先借后还】“先借后还”是一条重要的数学解题思想和解题技巧。例如 做这道题, 按先通分后相加的一般办法, 势必影响解题速度。 现在从 “凑整”着眼,采用“先借后还”的办法,很快就将题目解答出来了。 【个数折半】 【个数折半】下面的几种情况下,可以运用“个数折半”的方法,巧妙地计算出题目的得数。 (1)分母相同的所有真分数相加。求分母相同的所有真分数的和,可采用“个数折半法”,即用这些分数的个数除以 2,就能得出结果。 这一方法,也可以叙述为分母相同的所有真分数相加,只要用最后一个分数的分子除以 2,就能得出结果。 (2)分母为偶数,分子为奇数的所有同分母的真分数相加,也
14、可用“个数折半法”求得数。比方 (3)分母相同的所有既约真分数(最简真分数)相加,同样可用“个数折半法”求得数。比方 【带分数减法】 【带分数减法】带分数减法的巧算,可用下面的两个方法。 (1)减数凑整。例如 (2)交换位置。例如 在这两种方法中,第(1)种“凑整”法,也可以运用到带分数的加法中去。例如 【带分数乘法】 【带分数乘法】有些特殊的带分数相乘,可以采用一些特殊的巧算方法。 (1)相乘的两个带分数整数部分相同,分数部分的和是 1,则乘积也是个带分数,它的整数部分是一个因数的整数部分乘以比它大 1 的数,分数部分是两个因数的分数部分的乘积。例如 (2)相乘的两个带分数整数部分相差 1,
15、分数部分和为 1,则积也是个带分数,它用较大数的整数部分的平方,减去分数部分的平方,所得的差就是这两个带分数的乘积。例如 (注:这是根据“(ab)(a-b)=a2-b2”推出来的。) (3)相乘的两个带分数,整数部分都是 1,分子也都是 1,分母相差 1,则乘积也是个带分数。这个带分数的整数部分是 1,分子是 2,分母与较大因数的分母相同。例如 读者自己去试一试,此处略)。 【两分数相除】 【两分数相除】有些分数相除,可以采用以下的巧算方法: (1)分子、分母分别相除。在个别情况下,分数除法可沿用整数除法的做法:用分子相除的商作分子,用分母相除的商作分母。不过,这只有在被除数的分子、分母,分别
16、是除数的分子、分母的整数倍数的情况下,计算才比较简便。例如 (2)分母相除,一次得商。在两个带分数相除的算式中,当被除数和除数的整数与分母调换了位置,而它们的分子又相同时,根据分数除法法则,只要用原除数的分母除以被除数的分母,所得的数就是它们的商。 例如 (注:用除法法则可以推出这种方法,此处略。) 小数的速算与巧算凑整 【知识精要】 凑整法是小数加减法速算与巧算运用的主要方法。用的时候主要看末位。但是小数计算中“小数点”一定要对齐。 【例题精讲】 凑整法 例1、 计算 5.6+2.38+4.4+0.62。 【分析】5.6 与 4.4 刚好凑成 10,2.38 与 0.62 刚好凑成 3,这样先凑整运算起来会更加简便。 【解答】原式=(5.6+4.4)+(2.38+0.62) =10+3