实验设计与数据分析-4方差分析1

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1、1实验设计与数据分析实验设计与数据分析城环学院硕士课程城环学院硕士课程 04 授课人：阳春授课人：阳春Experimental Design and Data Analysis2方差分析方差分析 Analysis of Variance (ANOVA)3几个重要概念几个重要概念 因素因素(因子因子)：在实验中或在抽样时发生变化的 “量”，常用A、B、C、表示。方差分析的目的就 是分析因子对实验或抽样的结果有无显著影响分析因子对实验或抽样的结果有无显著影响。若 仅1个因素就是单因素方差分析单因素方差分析(one-way ANOVA)，多个因素就是多因素方差分析。多因素方差分析。 水平水平：因子在

2、实验中的不同状态称作水平 (level/treatment)。如果因子A有r个不同状态， 就称它有 r 个水平。 交互作用交互作用：一个因素的各水平对试验结果的影响随 另一个因素水平的改变而改变。4几个重要概念几个重要概念 方差的分解方差的分解 样本数据波动就有二个来源：一个是随机波动， 一个是因子影响。组间方差组间方差反映出不同的因子对 样本波动的影响；组内方差组内方差则是不考虑组间方差 的纯随机影响。 均方差与自由度均方差与自由度 ? 为消除独立变量个数对方差大小的影响，用方 差除以独立变量个数，得到均方差均方差(mean square)，作为不同来源方差比较的基础。 ? 引起方差的独立变

3、量的个数，称作“自由度”。5方差分析的原理方差分析的原理 通常使用方差来描述数据的离散程度，而离散可能是由什么原因造成的呢？通常使用方差来描述数据的离散程度，而离散可能是由什么原因造成的呢？随机误差随机误差是由于个体差异造成的，是一种随机 现象，是不可以消除的其他原因其他原因正是我们要找的，要分析的 方差分析就是将全部观察值的变异（总变异）按设计和需要分解成两个或多个组成部分，再进行变异来源和大小的分析。方差分析就是将全部观察值的变异（总变异）按设计和需要分解成两个或多个组成部分，再进行变异来源和大小的分析。6方差分析的原理方差分析的原理 方差分析就是肢解方差，然后进行比较的方法。方差分析就是

4、肢解方差，然后进行比较的方法。 是一种典型的“还原论”思想。是一种典型的“还原论”思想。7方差分析的原理方差分析的原理 通过总变异（总方差、SS总、LXX总）分解，得到：SS误差SS其他因素 显然 SS总 SS误差SS其他因素 其他因素是什么呢？ 可以是干预措施，可以是其他一切非随机的因素非随机的因素8方差分析的原理方差分析的原理 看看“其他因素”引起的变异究竟有多大。 如何判断大小的呢？ 通过比较！ 和谁比？ 和试验的误差（SS误差）比！9方差分析的原理方差分析的原理 如何比？（SS其他因素/1）_ （SS误差/ 2)F统计量，当12= 22时：F= S12/S22所以， F= （MS其他因

5、素）/（MS误差)=（MS其他因素）/（MS误差)10方差分析的原理方差分析的原理 有了F值，如何推断结论。 F= （MS其他因素其他因素）/（MS误差误差)假若前述其他因素导致的变异大小与随机导致的变异相同，则F值等于1，说明其他因素并未起作用。 但还是因为随机，由于抽样误差，F值很难正好等于1，但应该不会和1相差太大；如果和如果和1相差太大，说明其他因素起了作用相差太大，说明其他因素起了作用。11方差分析的原理方差分析的原理 F值多大算和1差别大呢？ 和其他假设检验一样，我们可以：查自由度为1 2的F界值表或用软件计算12为什么不采用为什么不采用t t 检验检验 两个组之间的比较当然可以！

6、 同批数据多次反复使用同批数据多次反复使用t检验显然会使范错误的概率增大。检验显然会使范错误的概率增大。统计学上的显著性差异从来就不是绝对的，而是概 率，=0.05，表示实际无差异，而检验得到有差异结果的概率。 如：三组之间的相互比较，共3次。则不犯I型错误的概率为（10.05）30.857375， 被放大为0.14262513方差分析的应用条件方差分析的应用条件 各样本是相互独立相互独立的随机样本随机样本 各样本来自正态分布总体正态分布总体 各总体方差相等各总体方差相等，即方差齐。14单因素方差分析单因素方差分析 单因素方差分析的目的是考查一个因素一个因素的m个水 平个水 平对实验结果是否存

7、在显著性差异。 单因素条件下离差平方和的数据分解结构表样本 因素 水平 1 2 n 合计 均值 1A 11X12X nX1 . 1X .1X2A 21X22X nX2. 2X . 2X M M M M M M rA 1rX2rX rnX.rX .rX 合计 .X X 15 H0: 1= 2= 3= . = p 所有总体均值相等所有总体均值相等 无处理效应无处理效应 H1: j不全相等不全相等 至少至少 1 个总体均值不同个总体均值不同 存在处理效应存在处理效应 ? 1 2 . pX Xf(X)f(X) 1 1= = 2 2= = 3 3X Xf(X)f(X) 1 1= = 2 2 3 3单因素

8、方差分析的假设单因素方差分析的假设16单因素方差分析总偏差分解单因素方差分析总偏差分解17单因素方差分析总偏差分解单因素方差分析总偏差分解总偏差总偏差18单因素方差分析总偏差分解单因素方差分析总偏差分解分组造成的偏差总偏差分组造成的偏差总偏差19单因素方差分析总偏差分解单因素方差分析总偏差分解分组造成的偏差随机取样偏差总偏差分组造成的偏差随机取样偏差总偏差20单因素方差分析总偏差分解单因素方差分析总偏差分解分组造成的偏差随机取样偏差总偏差分组造成的偏差随机取样偏差总偏差 Sum of Squares Among Sum of Squares Between Sum of Squares Tre

9、atment 组间偏差21单因素方差分析总偏差分解单因素方差分析总偏差分解分组造成的偏差随机取样偏差总偏差分组造成的偏差随机取样偏差总偏差 Sum of Squares Within Sum of Squares Error (SSE) 组内偏差平方和 Sum of Squares Among Sum of Squares Between Sum of Squares Treatment (SST) 组间偏差平方和22偏差平方和偏差平方和 X XGroup 1Group 1Group 2Group 2Group 3Group 3Response, XResponse, X()()()()22

10、212 11XXXXXXTotalSSij+=K()()()()22 212 11XXXXXXTotalSSij+=K23组间偏差平方和组间偏差平方和 X X X X3 3 X X2 2 X X1 1Group 1Group 1Group 2Group 2Group 3Group 3Response, XResponse, X()()()22 222 11XXnXXnXXnSSTpp+=K()()()22 222 11XXnXXnXXnSSTpp+=K24组内偏差平方和组内偏差平方和 X X2 2 X X1 1 X X3 3Group 1Group 1Group 2Group 2Group 3

11、Group 3Response, XResponse, X()()()22 1212 111ppjXXXXXXSSE+=K()()()22 1212 111ppjXXXXXXSSE+=K25SS=SSE+SST()()() += =11112.11.ninjiiijninjijiiXXXXXXSS()()()(). 11.112. 112.1112 XXXXXXXXininjiijninjininjiijiii + + =26但是()()()()()()01111.11. 11.= =niiiininjiijiininjiijXnXnXXXXXXXXXXii27所以所以 SS=SSE+SST(

12、)()()()111112. 112.112. 112.SSTSSEXXnXXXXXXSSniiininjiijninjininjiijiii+=+ = + = = = =28 检测统计量 F = MST / MSE MST：组间均方差Mean Square for treatment MSE：组内均方差Mean Square for Error 自由度 ?1= p -1 ?2= n - p p = 水平数 n = 总样本数() ()pnSSEpSST =/1/方差分析的统计学检验方差分析的统计学检验29Source of VariationVariationDegreesDegrees of

13、of FreedomFreedomSum ofSum of SquaresSquaresMeanMean SquareSquare (Variance)(Variance)F FTreatmentTreatmentp p - - 1 1SSTSSTMST =MST = SST/(p SST/(p - - 1)1)MSTMSTMSEMSEErrorErrorn n - - p pSSESSEMSE =MSE = SSE/(n SSE/(n - - p)p)TotalTotaln n - - 1 1SS(Total) =SS(Total) = SST+SSESST+SSE方差分析表方差分析表30

14、两种自由度 增加任何一个自由度均会减小 F-alpha i.e., 分布曲线被压向左侧。 F F v1v1 v2v2( (, ,) )0 0 F FF 分布分布31 如果均值相等如果均值相等如果均值相等如果均值相等, ,则则则则 F F = = MSTMST / / MSEMSE 1. 1. 拒拒拒拒 绝较大的绝较大的绝较大的绝较大的 F F! !用单侧用单侧用单侧用单侧F F分布分布分布分布! !F Fa ap pn n p p( (, ,) ) 1 10 0拒绝拒绝拒绝拒绝 H H0 0不拒绝不拒绝不拒绝不拒绝 H H0 0F F 19841984- -1994 T/Maker Co.19

15、94 T/Maker Co.32 为了检测3中添加机的平 均添加时间是否有显著差 异，安排15位有相似经验 的操作工人操作， 在 0.05 显著性水平下三种 机器的平均添加时间是否 有显著差异?Mach1Mach1 Mach2Mach2 Mach3Mach3 25.4025.4023.4023.4020.0020.00 26.3126.3121.8021.8022.2022.20 24.1024.1023.5023.5019.7519.75 23.7423.7422.7522.7520.6020.60 25.1025.1021.6021.6020.4020.40单因素方差分析实例单因素方差分析实例33F F0 03.893.89 H0: 1= 2= 3 H1: 不全相等不全相等