《求解具有多个右端项线性方程组的总体CGS算法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《求解具有多个右端项线性方程组的总体CGS算法（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 0 0 8 年 1 2月 高等 学校计 算数 学学报 第 3 O卷第 4期 求解具有多个右端项线性方程组 的总体CGS 算法 术 张建华 ( 安徽科技大学理学院， 凤阳 2 3 3 1 0 0 ) 戴华 ( 南京航空航天大学理学院， 南京 2 1 0 0 1 6 ) GL0BA L CGS A LG0RI THM FoR LI N EAR S Y STEM S W I TH M U I I PLE RI GH T H AN D S I D ES Z ha n g J i a n h u a ( C o l l e g e o f s c ie n c e ，A n h u i S c i
2、e n c e a n d T e c h n o l o g y U n i v e r s i t y ， F e n g y a n g 2 3 3 1 0 0 ) Dai Hua ( C o l l e g e o f S c i e n c e ， Na n j in g U n i v e r s i t y o f A e r o n a u t i c s a n d A s t r o n a u t i c s ， N a n j i n g 2 1 0 0 1 6 ) Abs t r a c t I n t h i s p a p e r ， we p r e s e n
3、 t a n e w t r a n s p o s e f r e e g l o b a 1 me t h o d f c a l l e d t h e g l o b a l C O n j u g a t e g r a d ie n t s q u a r e d a lg o r it h m( G 1 一 C G S ) ) f o r s o lv in g l a r g e n o n s ymme t r i c l i ne a r s y s t e ms o f e qu a t i o n s wi t h mul t i pl e r i g h t ha n
4、 d s i de s The me t h od i 8 b a s e d o n g l o b a l o b l i q u e p r o j e c t i o n s o f t h e i n i t i a l r e s i d u a l o n t o a ma t r i x Kr y l o v s u b s p a c e A l t h o u g h r e l a t e d t o t h e g l o b a l b i c o n j u g a t e g r a d i e n t ( G1 一 B CG) a l g o r i t h m
5、， t he Gl CGS a l g o r i t hm d o e s no t ne e d mu l t i p l i c a t i o n b y t he t r a ns p o s e o f a m a t r i x To a vo i d t h e i r r e g u l a r c o n ve r g e n c e be ha vi o r o f t h e r e s i du a l n o r m i n t h e G1 CGS a l g o r i t h m ，we d e v e l o p a g l o b a l s mo ot
6、hi n g t e c h ni q u e Ap pl y i n g t he t e c h ni q u e t o t h e Gl CGS a l g o r i t h m ，we o b t a i n t h e s moo t h e d G1 CGS a l g o r i t h m Fi na l l y s o me n ume r i c a l e xa mpl e s a r e g i v e n t o i l l us t r a t e t he e f f e c t i v e ne s s o f t h e pr o po s e d me
7、t h od K e y wor ds no n s ymme t r i c l i n e a r s ys t e ms ，mul t i pl e r i g ht ha nd s i d e s ，ma t r i x Kr y l o v s ub s pa c e ， bl o c k me t h o ds ，g l o b a l CGS a l g o r i t h m AM S ( 2 0 0 0 1 s u b j e c t c l a s s i fi c a t i o n s 6 5 F1 0 中图法分类号O 2 4 1 6 安徽科技学院引进人才项目 ( Z
8、R C 2 0 0 8 1 7 2 ) 收稿 日期：2 0 0 7 - 0 3 1 3 2 0 0 8 年 1 2月 高 等 学 校 计 算 数 学 学 报 3 9 1 1 引 言 在电磁场散射 1 等一些应用问题中， 人们需要计算如下具有多个右端项大型非对称 线性方程组的解 Ax( i )= b ( ， i =1 ， 一， s ， ( 1 1 ) 其中 A是 N非对称可逆矩阵， s： 。 V 记 ( ， V ) = s p a n ( A - ， 4 一 ) i =0 本文的结构安排如下： 第 2节简要回顾 G 1 一 B C G算法 第 3 节给出求解方程组 ( 1 2 ) 的 G1 CG
9、 S算法 为克服 G1 一 C GS算法的不规则收敛性， 第 4节提出光滑 G 1 一 CG S算法 最 后第 5节给出一些数值算例 2 G1 BCG 算法 类似文献 2 6 给出的双共轭梯度算法 ( B C G ) ， J b i lo u 等 【2 1 基于总体 L a n c z o s 过程， 提出了求解方程组 ( 1 2 ) 的 G 1 一 BC G算法 记 X0 为方程组 ( 1 2 ) 的初始估计， R 0：B 0 为相应残量 G 1 一 BC G算法描述如下： 算法 2 1 2 1 G1 一 B C G 算法 1 选择初始估计矩阵 ， 计算 R 0 =BA ， 选择矩阵 五 0
10、 满足 ( R o ， R o ) 0 ； 2 置P 0 =R 0 和磊：凰； 3 对 J=0 ， 1 ， ， 计算 3 1 ) + + J ， 其中 ( R , R A F ； 3 2 ) + 1 = 一a j A P j ； 3 3 ) Rj + 1 =R j a j AT ； 3 4 ) P 5+ + + ， 其 中 = 笔 ； 3 5 ) P j + 1 =R j + 1 + 记 Kk ( A ， R o ) =s p a n ( R o ， A R o ， ， A R 0 ) ， Kk ( A T ， 五 0 ) =s p a n ( 0 ， A T 五 0 ， ， ( A T )
11、k R 0 ) 在第 步， 算法2 1 产生的残量R k 满足R k R 0 K k ( A ， R 0 ) ， 并且 上K k ( A T ， 凰) 即 有如下结果 。 定理 2 1 2 1 】 由 G 1 - B CG算法产生的矩阵满足如下关系式： 1 ( ， R z F=0和 ( A ， ) =0 ， 尼2 ； 2 s p a n ( P o ， P l ， ， P k ) = s p a n ( R 0 ， A R o ， ， R o ) ； 3 s p a n ( P o ， 磊， ， ) = s p a n ( R 0 ， A T E ， ( A T ) k R 0 ) ； 4 一
12、RoKk ， R o ) 和 正交于 ( ， R o ) 注若对某些 J 值 F= ( y ( A ) R o , R O F0 4 AC j A ) R o A R o ( 3 5 ) = = 一 = = 一 1 h l ( ( ， (T ) R 0 ) F ( 咖 ； ( ) R 0 ， ) 上式表明 ， 如果能得到矩阵孵( A ) R o 和矩阵 ( ) 0 的递推式， 那么计算迭代系数O lJ 和 就不需要 A的转置 因此， 现在的基本思想是给出一个新算法， 使它产生的迭代量所对 应的残量矩阵 满足 R j = ( A ) R o ( 3 6 ) 为了建立平方多项式的递推式， 首先建立
13、 和 的递推式， 它们分别 由下式给出： + 1 ( t ) = ( t ) 一 J t 咖( ) ， ( 3 7 ) + 1 ( t ) = + 1 ( t ) + 奶( t ) ( 3 8 ) 若右端没有交叉项 C j ( t ) ( ) 和 + ( ) ( ) ， 则这些递推式就可形成一个可更新的递推 关系 我们把交叉项 + ( ) ( t ) 作为第三个递推式， 则另一个交叉项 ( t ) ( ) 可由上 式推出 ( ) ( ) = ( t ) ( ( ) + 一 1 一 1 ( t ) ) =孵( ) + 一 1 ( ) 一 l ( t ) 综合上述关系式， 易推出如下关 系式： (
14、 3 9 ) 卜 孵 槛嗍 孵螗 = ll 螃 3 9 4 张 建华 等 ： 求 解 具 有多 个 右 造 垡 丝 堡 璺 堡 曼 竺 鎏 第4 期 若定义 R j= ( ) R 0 = ( ) o Qj =1 f ， j + 1 ( A) ( A ) ， 则上面多项式的递推关系式可转化为 Rj + 1 =R j a j A( 2 R j +2 一 l Q ， 一 1 一A P j ) ， Qj = R j + 8 j 一 1 Qj 一 1 一a j AP 5 + 1 ： 十 1 + 2 j Q j + 鳄P j 为了简洁，定义辅助矩阵如下 ：2 R j +2 一 1 Qj 一 1 一 j A 由此可得计算近似解的运算关系式如下： 使用辅助矩阵 R o=B A Xo ， P o= ， Qo =0 ， =0 j DJ =2 R j +2 一 1 Q J 一 1 一 J AP ) Qj = R j + 8 j 一 1 Qj 一 1 一Q j AP j ， X = X j+ o j Dj ， +1= Rj aj ADj ， ( R j + I ， R o F 一( ， 豆 o ) F + 1 =R j + I + j ( 2 Q j + P j ) U
